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高考押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南平期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，若，，，则（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2024秋 辛集市期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 河南校级二模）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2024秋 五华区校级期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M，N分别为棱OC，AB的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 河南期末）已知向量，，且，则x+y＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
7．（2025 鄄城县校级开学）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点．用基底表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 邢台期末）已知空间向量，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
（多选）10．（2024秋 大连校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．若，则存在唯一实数λ使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D．若点G为△ABC的重心，则
（多选）11．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（　　）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
（多选）12．（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（　　）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乐山期末）已知（﹣1，2，0），（3，1，2），则2 　 　．
14．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　 　．
15．（2024秋 大连校级期末）在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足．设s，t分别为四边形ABCD与△PAB的面积，则　 　．
16．（2024秋 遂宁期末）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，1），若k与互相垂直，则实数k的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 永州期末）已知空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．
（1）若向量与相互垂直，求实数k的值；
（2）求△ABC的面积．
18．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
19．（2024春 江宁区校级期中）已知空间中三点A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3），设．
（1）若，且，求向量；
（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积S．
20．（2024秋 无锡校级期中）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，用向量表示．
高考押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南平期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，若，，，则（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数λ，μ，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论．
【解答】解：在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，
若，，，
因为D，E，F，M四点共面，
所以存在实数λ，μ，使，
所以，，
所以
，所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2024秋 辛集市期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】转化思想；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】解：在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC中点，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3．（2025 河南校级二模）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件，即可求解．
【解答】解：由共面向量的充要条件可得：
对于A选项，（）（），所以，，三个向量共面；
对于B选项，同理：，，三个向量共面；
对于D选项，，所以三个向量共面；
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
4．（2024秋 五华区校级期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M，N分别为棱OC，AB的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：由于点N为AB的中点，所以，
故．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5．（2024秋 青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量基底的定义判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于，故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B：由于，故不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C：由于，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D：由于，无解，故能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（2024秋 河南期末）已知向量，，且，则x+y＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可．
【解答】解：因为，，，
所以，即，解得，
所以x+y＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
7．（2025 鄄城县校级开学）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点．用基底表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量基本定理表示并判断即可．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点．用基底表示，
如图，
由题意，得．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 邢台期末）已知空间向量，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用空间向量坐标的加法运算可求的坐标，结合模长公式可得结果．
【解答】解：由题意，，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），
所以，，，
对于A，故，所以A错误；
对于B，可得，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得t＝3，所以C正确；
对于D，若且，因为，可得，解得k＝﹣2，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查空间向量的相关知识，考查计算能力，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 大连校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．若，则存在唯一实数λ使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D．若点G为△ABC的重心，则
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；充要条件的判断；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A，若、为零向量，则λ不唯一，即可判断；B，根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C，根据基底的性质判断；D，由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断．
【解答】解：选项A：若、为零向量，满足，
但λ不唯一，故A错误；
选项B：若，但与方向不确定，
显然不一定成立；
若，则必有，
故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
选项C：设，
又为平面内两个不共线的向量，
则有，显然λ无解，
所以不共线，
故可作为平面的一组基底，故C正确；
选项D：由重心是中线的交点，如图所示，
BGCD为平行四边形，AD过BC的中点，
则，且，
故，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查平面向量基本定理及空间向量的线性运算，考查充要条件的判定，属中档题．
（多选）11．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（　　）
A．存在实数x，使
B．存在实数x，使
C．若为锐角，则
D．若为一组基底，则x≠7
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量的模长公式求出x的值，可判断B选项；分析可知，且、不共线，利用空间向量数量积的坐标运算以及空间向量共线的坐标表示可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项．
【解答】解：A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），
则，，
所以，，
因此，不存在实数x，使得，A错；
对于B选项，若存在实数x，使，
，，
即20+（x﹣1）2＝5+（x﹣4）2，解得x＝0，B对；
对于C选项，由题意可得，
若为锐角，则，解得，
且、不共线，若、共线，则，解得x＝7，
所以，当、不共线时，x≠7，
因此，若为锐角，则且x≠7，C错；
对于D选项，若、、共面，则存在m、n∈R，使得，
则，解得，
因此，若为一组基底，则x≠7，D对．
故选：BD．
【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（　　）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求x，y，进而逐项判断即可．
【解答】解：因为，，，所以3x﹣12+6＝0，所以x＝2，A正确；
对于B，因为，，，所以，所以y＝﹣4，B错误；
对于C，，，可得，所以，C正确；
对于D，，
则，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查空间向量共线、垂直的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乐山期末）已知（﹣1，2，0），（3，1，2），则2 　（﹣7，0，﹣4）．　．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（﹣7，0，﹣4）．
【分析】结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：（﹣1，2，0），（3，1，2），
则2（﹣1，2，0）﹣（6，2，4）＝（﹣7，0，﹣4）．
故答案为：（﹣7，0，﹣4）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
14．（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ 　　．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解．
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，又不共面，
因此，解得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15．（2024秋 大连校级期末）在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足．设s，t分别为四边形ABCD与△PAB的面积，则　　．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】若E，F分别为BD，AC的中点，得到，根据已知得，且ABCD为梯形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形ABCD与△PAB的面积，即可结果．
【解答】解：由已知条件：在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，
故，
所以，若E，F分别为BD，AC的中点，如下图，
则，即，又，则AD//EF//BC，
故，所以，
综上，，
令梯形ABCD的高为h，则，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，四边形的面积，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2024秋 遂宁期末）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，1），若k与互相垂直，则实数k的值为 　2　．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；空间想象．
【答案】2．
【分析】根据空间垂直向量的坐标表示建立关于k的方程，解之即可求解．
【解答】解：向量（1，1，0），（﹣1，0，1），
则，
k与互相垂直，
则，解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查空间垂直向量的坐标表示，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 永州期末）已知空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．
（1）若向量与相互垂直，求实数k的值；
（2）求△ABC的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】（1）求出（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），（1﹣5k，﹣4k，﹣4+3k），再由向量与相互垂直，利用向量垂直的性质能求出实数k；
（2）由（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），求出cos，，再利用同角三角函数关系式求出sin，△ABC的面积为S，由此能求出结果．
【解答】解：（1）空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0），
（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），（1﹣5k，﹣4k，﹣4+3k），
∵向量与相互垂直，
∴（） 1﹣5k﹣4（﹣4+3k）＝0，
解得实数k＝1；
（2）∵（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），
∴cos，，
∴sin，
∴△ABC的面积为：
S
．
【点评】本题考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、同角三角函数关系式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解；
（2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
19．（2024春 江宁区校级期中）已知空间中三点A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3），设．
（1）若，且，求向量；
（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积S．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）或；
（2）3．
【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；
（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可．
【解答】解：（1）由B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3）可得，
若，则，
又，
所以，
解得t＝±1，
所以或；
（2）由A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3）可得，，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于中档题．
20．（2024秋 无锡校级期中）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，用向量表示．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】；．
【分析】根据M是BC的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果．
【解答】解：因为M是BC的中点，所以，
所以；
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【点评】本题考查向量的加减，数乘运算的性质的应用，属于基础题．
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