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高考押题预测 空间直角坐标系
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，﹣1，4），B（﹣2，﹣1，﹣4），则点A和点B关于（　　）
A．x轴对称 B．平面yOz对称
C．y轴对称 D．平面xOz对称
2．（2025 吉州区校级开学）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（　　）
A． B． C． D．5
4．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（　　）
A． B． C．7 D．
5．（2024秋 呼和浩特期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，﹣3），B（﹣1，0，1），则（　　）
A． B． C． D．4
6．（2025 泸县校级开学）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，﹣2，3）关于xOy平面对称的点为（　　）
A．（1，2，﹣3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，﹣2，﹣3）
7．（2024秋 福建期末）已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（　　）
A． B． C．2 D．2
8．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系中有一点P（2024，2025，2026），则该点关于x轴对称点P′的坐标为（　　）
A．（2024，﹣2025，﹣2026）
B．（﹣2024，2025，2026）
C．（﹣2024，﹣2025，﹣2026）
D．（﹣2024，﹣2025，2026）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（　　）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
（多选）10．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（　　）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
（多选）11．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
（多选）12．（2024秋 水城区期中）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，则（　　）
A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O为底面ABCD的中心，点P为D1B1上的动点（包括端点），则当△PA1O的面积最小时，线段DP的长为 　 　．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为AB＝5cm，BC＝4cm，CD＝3cm，则折后的两个端点A、D之间的距离AD＝ 　 　cm．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，3），则点A关于xOz平面的对称点的坐标为 　 　．
16．（2025 邵阳模拟）已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 潮阳区期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．
（1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记d（M，l）为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值．
（i）已知点M（1，﹣1），求d（M，O）；
（ii）已知点M（x0，y0），直线l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求证：．
（2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足d（O，P）＝1，求动点P围成的几何体的体积．
18．（2024秋 广州期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，，2．
（1）设平面ABE与棱PD相交于点G．
（i）求证：EG∥CD；
（ii）求截面ABEG的面积；
（2）设平面BEF与棱PD相交于点H，求FH的长．
19．（2025 下开学）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，M，N分别是AD，BC的中点．用向量法求：
（1）异面直线BM，DN所成角的余弦值；
（2）MN的长．
20．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
高考押题预测 空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，﹣1，4），B（﹣2，﹣1，﹣4），则点A和点B关于（　　）
A．x轴对称 B．平面yOz对称
C．y轴对称 D．平面xOz对称
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案．
【解答】解：因为点A和B的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数，
所以点A和点B关于y轴对称．
故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标的特点，是基础题．
2．（2025 吉州区校级开学）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式；空间向量的数量积运算．
【专题】对应思想；向量法；立体几何；运算求解．
【答案】A
【分析】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可．
【解答】解：由原题图可知，，
又AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，
∴
43，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，考查空间向量的应用，是基础题．
3．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（　　）
A． B． C． D．5
【考点】空间中的点在坐标平面内的射影；空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合射影的定义，求出点M，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，
则M（2，1，0），
故，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．
4．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（　　）
A． B． C．7 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】D
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为M（﹣4，2，﹣3），N（﹣1，﹣2，2），
所以．
故选：D．
【点评】本题考查空间两点间的距离求法，属基础题．
5．（2024秋 呼和浩特期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，﹣3），B（﹣1，0，1），则（　　）
A． B． C． D．4
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出向量坐标，再利用向量模的坐标表示得解．
【解答】解：由A（1，2，﹣3），B（﹣1，0，1），
可得，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量模的计算，属基础题．
6．（2025 泸县校级开学）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，﹣2，3）关于xOy平面对称的点为（　　）
A．（1，2，﹣3） B．（﹣1，2，3） C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，﹣2，﹣3）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．
【答案】D
【分析】由空间直角坐标系的对称关系即可得到答案．
【解答】解：由题意，点A（1，﹣2，3）关于xOy平面对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查空间直角坐标系的点的应用，属于基础题．
7．（2024秋 福建期末）已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（　　）
A． B． C．2 D．2
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】函数思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解．
【解答】解：点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A（2，﹣1，1），
∴由空间中两点间距离公式得：
．
故选：C．
【点评】本题考查点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（2024秋 肇庆期末）在空间直角坐标系中有一点P（2024，2025，2026），则该点关于x轴对称点P′的坐标为（　　）
A．（2024，﹣2025，﹣2026）
B．（﹣2024，2025，2026）
C．（﹣2024，﹣2025，﹣2026）
D．（﹣2024，﹣2025，2026）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】A
【分析】根据对称性即可求解．
【解答】解：由空间点对称的定义可知，P（2024，2025，2026）关于x轴对称点P′的坐标（2024，﹣2025，﹣2026），
故选：A．
【点评】本题主要考查空间点对称的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（　　）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可．
【解答】解：点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于x轴对称，故A错误；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称，故B正确；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）不关于平面xOz对称，故C错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查空间点对称的性，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（　　）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分．
【解答】解：（1，﹣1，0）与（1，1，0）关于x轴对称，A正确；
（﹣3，﹣1，6）关于z轴的对称点是（3，1，6），B错误；
（2，5，7）与（2，5，﹣7）关于平面xOy对称，C正确；
坐标轴两两确定的平面分空间为8个部分，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间中的点的应用，属于基础题．
（多选）11．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为（0，0，c），根据空间两点间距离公式列式求解．
【解答】解：设点B的坐标为（0，0，c），
由空间两点间距离公式可得，
解得：c＝﹣2或10，
所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，﹣2）．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间两点间距离公式，是基础题．
（多选）12．（2024秋 水城区期中）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，则（　　）
A．A（2，0，0） B．C（2，0，0） C．C1（2，0，0） D．F（0，2，1）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AD
【分析】结合空间直角坐标系中各条边的长度，即可求解．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，|BA|＝|BC|＝|BB1|＝2，F是棱CC1的中点，
则A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），F（0，2，1），A，D正确，B，C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查空间点坐标的求解，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，O为底面ABCD的中心，点P为D1B1上的动点（包括端点），则当△PA1O的面积最小时，线段DP的长为 　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象；运算求解．
【答案】．
【分析】如图以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据题意设P（a，2a，2），然后利用空间向量求出点P到A1O的最小距离，从而可求出点P的坐标，进而可求出DP的长．
【解答】解：如图以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，D1（0，0，2），B1（1，2，2），
则，
设P（a，b，2），则，
因为∥，所以b＝2a，
所以P（a，2a，2）（0≤a≤1），则，
设点P到A1O的距离为d，
则
，
根据二次函数的性质可知，当a时，d取得最小值，此时△PA1O的面积取得最小值，
所以，D（0，0，0），则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了空间向量在空间距离求解中的应用，属于中档题．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为AB＝5cm，BC＝4cm，CD＝3cm，则折后的两个端点A、D之间的距离AD＝ 　5　cm．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据题意画出图形，得出AD是以AB、BC、CD为三条棱的长方体的对角线，由此求解即可．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
AD是以AB、BC、CD为三条棱的长方体的对角线，
所以AD．
故答案为：5．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离计算问题，是基础题．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，3），则点A关于xOz平面的对称点的坐标为 　（﹣1，﹣1，3）　．
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解．
【解答】解：A（﹣1，1，3），则点A关于xOz平面的对称点的坐标为（﹣1，﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，﹣1，3）．
【点评】本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．
16．（2025 邵阳模拟）已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到MB＝2MA，结合解析几何中的圆的知识，得到M，N，D三点共线时，MN+ND取得最小值，得到结果．
【解答】解：如图（一），因为，，
又tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，所以MB＝2MA，
如图（二），建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（0，3），设点M（x，y），
根据MB＝2MA，所以，化简得：（x+1）2+y2＝4（x≥0，y≥0），
该方程表示圆心为P（﹣1，0），r＝2的圆的一部分，又点D（0，3）关于BC的对称点D′（6，3），
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属于中等题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 潮阳区期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）之间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|+|z2﹣z1|．
（1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记d（M，l）为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值．
（i）已知点M（1，﹣1），求d（M，O）；
（ii）已知点M（x0，y0），直线l：Ax+By+C＝0（A2+B2≠0），求证：．
（2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足d（O，P）＝1，求动点P围成的几何体的体积．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】分类讨论；转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）（i）2；（ii）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；
（ii）在直线l上取点，按AB≠0与A，B之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可．
（2）设P（x，y，z），利用用曼哈顿距离的定义列式，考查x≥0，y≥0，z≥0时点P所围图形，再利用对称性即得几何体，由等体积法求出体积．
【解答】解：（1）（i）因为M（1，﹣1），O（0，0），
由曼哈顿距离的定义，d（M，O）＝|1﹣0|+|﹣1﹣0|＝2；
（ii）证明：当AB≠0时，设直线l上任意一点N（，），
d（M，N）＝|x0|+|y0|
，
因此d（M，l）＝d（M，N）min；
当A＝0，B≠0时，设N（x，），
则d（M，N）＝|x﹣x0|+|y0|，
因此d（M，l）＝d（M，N）min；
当A≠0，B＝0时，同理d（M，l）＝d（M，N）min，
所以d（M，l）．
（2）设P（x，y，z），依题意，d（O，P）＝|x|+|y|+|z|＝1，
当0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1时，设M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），
则（x﹣1，y，z）＝（﹣y﹣z，y，z），（﹣1，1，0），（﹣1，0，1），
所以yz，可得四点P，M1，M2，M3共面，
点P围成的图形是边长为的正三角形及内部，
由对称性知，动点P围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形，
其体积等于8个与三棱锥M3﹣M1M2O全等的三棱锥体积之和，
所以动点P围成的几何体的体积为V＝8881×1×1．
【点评】本题考查了新定义的距离计算问题，也考查了转化思想，是中档题．
18．（2024秋 广州期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，，2．
（1）设平面ABE与棱PD相交于点G．
（i）求证：EG∥CD；
（ii）求截面ABEG的面积；
（2）设平面BEF与棱PD相交于点H，求FH的长．
【考点】空间两点间的距离公式；直线与平面平行．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．
【答案】（1）（i）证明详见解析；
（ii）截面ABEG的面积为；
（2）FH．
【分析】（1）（i）根据线面平行的性质定理进行证明；
（ii）结合（i）的结论作出截面，根据条件证明其为直角梯形，从而求出面积；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线求出H的坐标，从而求出FH的距离．
【解答】解：（1）（i）证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD∥AB，
因为CD 平面ABE，AB 平面ABE，所以CD∥平面ABE，
因为CD 平面PCD，平面PCD∩平面ABE＝EG，所以EG∥CD；
（ii）如图，
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，
因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
因为AG 平面PAD，所以AB⊥AG，
因为4，EG∥CD，CD∥AB，
所以PGPD，EG∥AB且EGCDAB，
所以四边形ABEG为直角梯形，其中EG＝1，AB＝4，
因为PA＝AB＝AD，PA⊥AD，所以∠APG＝45°，
则AG2＝PA2+PG2﹣2PA PG＝16+2﹣2×4cos45°＝10，
AG，
所以直角梯形ABEG的面积为（1+4），即截面ABEG的面积为；
（2）如图，
延长BF交CD于点Q，连接EQ，则EQ与PD交点即为点H，
因为2，所以F为线段AD中点，
又因为AB∥CD，所以△ABF≌△DQF，所以DQ＝AB ＝CD，
以A为原点建立空间直角坐标系如图，则P（0，0，4），Q（﹣4，4，0），F（0，2，0），E（1，1，3），
设点H（0，a，4﹣a），则（﹣1，a﹣1，1﹣a），（﹣5，3，﹣3），
因为∥，所以，解得a，
所以H（0，，），FH．
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和性质定理以及空间中点的距离的计算，属于中档题．
19．（2025 下开学）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，M，N分别是AD，BC的中点．用向量法求：
（1）异面直线BM，DN所成角的余弦值；
（2）MN的长．
【考点】空间两点间的距离公式；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据异面直线所成角的性质即可求解；
（2）利用空间两点间的距离公式即可求解．
【解答】16．解：（1）以，，为基，因为M，N分别是AD，BC的中点，
所以，，
由题意，得△ABD≌△BDC≌△BAC，
在△ABD中，因为AB＝BD＝3，AD＝2，所以，
由余弦定理得，
所以，
，
，
则，
，
则，
因为，
所以，所以异面直线BM，DN所成角的余弦值为；
（2），
所以，
由（1）知，，，
所以，所以，即．
【点评】本题考查了空间两点间的距离公式，属于中档题．
20．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）9；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；
（2）设直线4x﹣y+2＝0上任意一点坐标为P（x，y），然后表示d（B，l），分类讨论求d（C，B）的最小值即可；
（3）不妨将A平移到A（0，0，0）处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积．
【解答】解：（1）∵A（1，4），B（3，﹣3），
∴d（A，B）＝|1﹣3|+|4﹣（﹣3）|＝9；
（2）设动点P（x，y）为直线l上一点，则y＝4x+2，
∴d（B，l）＝|x﹣1|+|4x+2﹣1|＝|x﹣1|+|4x+1|，
即，
当x≥1时，d（B，l）≥5；
当时，；
当时，；
综上所述，d（B，l）为；
（3）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积为．
证明如下：
不妨将A平移到A（0，0，0）处，设P（x，y，z），
若d（A，P）＝1，则|x|+|y|+|z|＝1，
当x，y，z≥0时，有x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1），
设M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），
则，，
∴，
∴P，M1，M2，M3四点共面，
则当x，y，z≥0时，P在边长为的等边三角形M1M2M3内部（含边界），
同理可知等边三角形内部任意一点Q（x′，y′，z′），均满足x′+y′+z′＝1，
可得满足方程x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1）的点P构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界），
由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形，
故该几何体表面积．
【点评】本题考查了新概念问题，考查共面向量基本定理及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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