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2024-2025 学年浙江省强基联盟高二下学期 5 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为 ，集合 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { | < 7, ∈ }，则 ∩ =( )
A. { |1 ≤ ≤ 3} B. { |1 ≤ < 7} C. {1,2} D. {1,2,3}
2.已知 为虚数单位，若 = 4 + 2 ，则 的实部为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
3.若 为圆 2 + 2 = 4 内的一个动点，且 ( 2,0)， (2,0)，则| | + | |的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 4
4.已知 ( )是定义在 上的奇函数，若 ∈ [ 4, 2]时，函数 ( )的值域是[ 6, 3]，则函数 ( )在[2,4]
区间上的最大值为( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
5.已知向量 ， 满足 ( 2 ) = 0，则 在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 12 C. 2 D. 2 2
6.从 1，2， ，9 中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为( )
A. 5 184 B. 21 C.
1
14 D.
1
42
7.若过点(0,4)且与圆( 2)2 + 2 = 2 相切的两条直线的夹角为 ，则 tan =( )
A. 43 B.
3 3 1
5 C. 4 D. 3
8.已知函数 ( ) = 14 +1 + 2
3 + 32，若对任意 ∈ [ 2,2]，都有 ( + 1) + (
2) > 2，则实数 的取值
范围是( )
A. { | < 45 } B. { | < 5} C. { |0 < <
4
5 } D. { | > 5}
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( ) = cos2 sin2 ，则( )
A. ( )是奇函数 B. ( )的最小正周期是
C. ( ) 图象的一个对称中心是点( 4 , 0) D. ( )在[0,

4 ]上单调递减
10.“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早
393 年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个
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数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和.则下列命题中正确的是( )
A.第 6 行中，有两个相等的最大数
B.第 3 行以后，第一次出现全为奇数的行是第 8 行
C.第 行所有数之和为2
D. 1 +1 = + ( , ∈ , 1 ≤ ≤ )
11.已知递增数列{ }的各项均为正整数，且 = 3 ，则( )
A. 1 = 3 B. 5 = 6 C. > D. 2025 = 81 25
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆台的上、下底面半径分别为 2 和 4，母线为 4，则圆台的侧面积为 ．
2cos 1 2
13 .定义： = .已知 ， ， 分别为△ 的三个内角 ， ， 所对的边，若 = 0，cos + 1 cos
且 + = 10，则△ 面积的最大值为 ．
14.抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，准线为 ， 和 为 上位于第一象限的两点，若| | = 1，过 ，
分别作 的垂线，垂足分别为 和 ，已知∠ = 6，则△ 的外接圆的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位：小时)，从这批次电池中随机抽取 50 组进行
测试，把测得的数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值;
(2)从抽取的 50 组电池中任取 3 组，求恰有 1 组电池续航时间不少于 35 小时的概率;
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(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取 3 组，设 为续航时间不少于 35 小时的
电池组的数量，求 的分布列及数学期望．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1， ( ) = ln .
(1)若 ( )存在极小值，且极小值为 0，求 ;
(2)若不等式 ( ) ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图， 是圆柱 1的一条母线， 是底面的一条直径， 是圆 上一点，且 = = 5．
(1)求三棱锥 的体积最大值;
(2)求直线 与平面 所成角正弦值的最大值．
18.(本小题 17 分)
梅纳库莫斯(前 375 前 325)首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点 1发出
2 2
的光线经椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)反射后必过另一焦点 2.椭圆 的中心在原点，法线 ′表示与椭圆
的切线垂直且过相应切点的直线，焦点 1( 1,0)， 2(1,0)，由 1发出的光线经椭圆反射后至 2的路径长为
4.任取椭圆 上非长轴端点 ，其切线为 ， 1在 上的射影为点 ．
(1)求椭圆 的方程;
(2)证明：| |为定值;
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(3)已知切线 与直线 = ， = 相交于 ， 两点， 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆过点 ，
若存在，求出 点，若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
对三元正整数数列 = ( 1, 2, 3)，定义 变换为： ( ) = (| 1 2|, | 2 3|, | 3 1|)，持续操作直至数
列全零时终止．
(1)写出数列 = (2,6,4)经过 5 次“ 变换”后得到的数列;
(2)设初始数列( , + 3,3)( > 20)，求经过 6 次“ 变换”后得到的最终数列，并判断最终数列与初始数列
是否有结构上的关联;
(3)设数列(400,2,403)经过 次“ 变换”后得到的数列各项之和最小，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.24
13.25 34
14. 3
15.解：(1)根据频率之和等于 1 可得，
5 × 0.01 + 0.06 + 0.07 + + 0.02 = 1，解得 = 0.04；
(2)由频率分布图可知，
电池续航时间不少于 35 小时的频率等于 0.04 + 0.02 × 5 = 0.3，
所以电池续航时间不少于 35 小时的电池有 50 × 0.3 = 15 组，
电池续航时间少于 35 小时的电池有 50 × 0.7 = 35 组，
所以从抽取的 50 组电池中任取 3 组，
2 1 35×34×15
恰有 1 组电池续航时间不少于 35 小时的概率为 35 15 = 2 51
3 50×49×48
=
50 112
．；
3×2×1
(3)由(2) 3知，每次抽到电池续航时间不少于 35 小时的概率等于10，
由题可知，随机变量 服从二项分布，所以 (3, 310 )，
所以 所有可能的取值有 0，1，2，3
7 3 343
所以 ( = 0) = 03( 10 )
3( )010 = 1000，
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( = 1) = 13(
7 2 3 1 441
10 ) ( 10 ) = 1000，
( = 2) = 23(
7 )1( 310 10 )
2 = 1891000，
( = 3) = 33(
7
10 )
0( 3 )3 = 2710 1000，
所以 的分布列如下，
0 1 2 3
343 441 189 27
1000 1000 1000 1000
343 441 189 27所以 的数学期望为 ( ) = 0 × 1000 + 1 × 1000 + 2 × 1000 + 3 × 1000 = 0.9．
16.解：(1) ∵ ′( ) = ， ∈ ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )无极值，
当 > 0 时，由 ′( ) = = 0，得 = ln ，
当 < ln 时， ′( ) < 0，
当 > ln 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞, ln )上单调递减，在(ln , + ∞)上单调递增，
所以 ( )的极小值为 (ln ) = ln 1 = 0，
解得 = 1．
(2)由 ( ) ≥ ( )可得 1 ≥ ln ，
因为 > 0(ln 中 的定义域为 > 0)，
ln 1
移项可得 在(0, + ∞)上恒成立．

设 ( ) = ln 1 ( > 0)，
则 ( )min，

( ) = ( 1)+1 = ( 1)(
1)
求导 ′ 2 2 ，
( 1)( 1)
令 ′( ) = 0，即 2 = 0，
因为 2 > 0， 1 > 0( > 0 时)，
所以 1 = 0，
解得 = 1，
当 0 < < 1 时， 1 < 0， 1 > 0，
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则 ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 > 1 时， 1 > 0， 1 > 0，
则 ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
1 1×ln1 1
由单调性可知 ( )在 = 1 处取得最小值， (1) = 1 = 1，
所以 的取值范围是( ∞, 1]．
17.解：(1)由于三棱锥 的高 = 5，
所以当底面△ 面积最大时，三棱锥的体积最大，
又 是底面圆的一条直径，
所以当 ⊥ 时，底面△ 的面积最大，
此时 1 1 1 = 3 △ = 3 × 2 × 5 ×
5 125
2 × 5 = 12，
即三棱锥 125的体积最大值为 12．
(2)如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,5)，
设平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
记∠ = ，
则 (5cos sin , 5cos cos , 0)，
所以 = (5cos sin , 5cos cos , 5)，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 sin = |cos < |
> | = |，
| || |
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|5cos sin |
=
25cos2 sin2 + 25cos2 cos2 + 25
|5cos sin | |cos sin |
= =
25cos2 + 25 cos2 + 1
cos2 sin2 cos2 (1 cos2 )
= cos2 + 1 = cos2 + 1
= 3 (cos2 + 1 + 2 ) ≤ 3 2 2 = ( 2 1)2cos2 +1 = 2 1，
当且仅当cos2 + 1 = 2时等号成立，
故直线 与平面 所成角正弦值的最大值为 2 1．
18.解：(1)根据题意，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为 1( 1,0)， 2(1,0)，
2 2
所以椭圆的方程为 + 2 2 = 1，其中 = 1，且
2 = 2 2，
又因为由 1发出的光线经椭圆一次反射后到 2经过的路程为 4，
所以 2 = 4， = 2，
因此 = 3，
2 2
则椭圆方程为
4 + 3 = 1；
(2)延长 1 ， 2 交于点 ，
则| | = 12 | 2 | =
| 2 |+| 1 | 2
2 = 2 = = 2，
故| |为定值；
(3) ( , ) 设椭圆上点 0 0 ，其切线方程为：
0 0
4 + 3 = 1，
3(1+ 0) 3(1 0)
切线与直线 = 2 和 = 2 的交点分别为 ( 2, 2 )和 (2,
2 ，
0
)
0
0 0
以 3(1+ ) 3(1 )为直径的圆的方程为：( + 2)( 2) + ( 2 )(
2 ) = 0，
0 0
若存在满足条件的定点 ，则可设 ( , 0)在圆上，
0 0 23(1+ 0
代入得：( + 2)( 2) + ( 2
) 3(1 )
)( 2 ) = 0，化简得： 2 9(1 ) 4 +
4 = 0，
0 0 20
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2 2 2 2利用椭圆方程 0 + 04 3 = 1，可得 1
0 = 0，4 3
02
因此： 9· 2 4 + 3 = 2 4+ 3 = 0，即 2 = 1， 02
所以 =± 1，
即 的坐标为( 1,0)或(1,0)．
19.解：(1)由题知，5 次变换后得到的数列依次为(4,2,2) → (2,0,2) → (2,2,0) → (0,2,2) → (2,0,2)，
所以数列 = (2,6,4)经过 5 次“ 变换”后得到的数列为(2,0,2)．
(2)对于初始数列( , + 3,3)( > 20)，6 次“ 变换”过程依次为：(3, , 3) → ( 3,3, 6) → (
6, 9,3) → (3, 12, 9) → ( 15,3, 12) → ( 18, 15,3)，
所以该数列经过 6 次“ 变换”后得到的结果为( 18, 15,3)，
最终数列与初始数列结构上一致，均为( , + 3,3)型数列．
(3)数列(400,2,403)经过一次“ 变换”后得到数列 = (398,401,3)，
其结构为( , + 3,3)型数列，
依据(2)结论可知，数列 经过 6 次“ 变换”后仍保持该结构，
其变化规律为：除数值 3，其余两项各递减 18，
∵ 398 = 18 × 22 + 2，故数列 经过 6 × 22 = 132 次“ 变换”后得(2,5,3)，
随后实施变换所得数列依次为：(3,2,1) → (1,1,2) → (0,1,1) → (1,0,1) → (1,1,0) → (0,1,1) → (1,0,1)，
此时数列和最小值 2 已达成，后续变换进入循环周期，各项和不再递减，
故经 1 + 132 + 3 = 136 次“ 变换”后数列各项和取得最小值，即 的最小值为 136．
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