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高考数学押题预测 相等关系与不等关系
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 昆明期末）已知m＞0，n＞0，且m+n＝mn，则4m+n的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
2．（2025 浙江模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{x∈R|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{1，2} D．
3．（2025 安徽模拟）已知x＞0，y＞0，x+3y＝x3y2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 泰山区校级期末）已知集合A＝{x|0≤log3x≤1}，B＝{x||x﹣3|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2] B．[1，4] C．[2，3] D．[2，4]
5．（2025 广东开学）已知a＞b＞0且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
6．（2025 广东模拟）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|log2x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{2，4} B．{4，6} C．{0，2，4} D．{2，4，6}
7．（2024秋 普宁市期末）若正数a，b满足ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2025 南阳模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且ln（b+1）＝﹣ln（a+1），则a+2（b+1）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 柘荣县校级月考）已知实数a，b满足a＞0，b＞0且a+2b＝1，则下列说法正确的有（　　）
A．若a＞b，则对任意实数c，ac2＞bc2
B．若a＞b，则
C．的最小值是
D．a2+4b2的最小值是
（多选）10．（2024秋 许昌期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2≤2”的否定是“ x∈R，x2＞2”
B．与表示同一函数
C．已知x＞1，则的最小值为5
D．函数y＝ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象过定点（3，3）
（多选）11．（2024秋 会泽县期末）若0＜a＜b＜1，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C．a2+b2＜1 D．0＜b﹣a＜1
（多选）12．（2025 市中区校级模拟）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（　　）
A．xy最大值为 B．4x2+y2的最小值为
C．最小值为 D．最小值为9
三．填空题（共4小题）
13．（2025 东昌府区校级模拟）已知集合A＝{x|ex＜e﹣1}，集合B＝{x|ln（x2+4x+4）≤0}，则A∩B＝ 　 　．
14．（2025 孝义市模拟）正数x，y满足x+y＝xy，则x+9y的最小值是 　 　．
15．（2025 西乡塘区校级开学）已知函数，则f（x）的最小值等于 　 　．
16．（2025 重庆模拟）已知实数m，n满足m＞2n＞0，则的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浙江月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，．
（1）求A∪B；
（2）若﹣x2+2x+m≤0的解集为C， R（A∪B） C，求实数m取值范围．
18．（2024秋 红桥区期末）已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
19．（2024秋 南昌县校级期末）问题：正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值：
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
20．（2024秋 金山区期末）设全集为R，集合A＝{x||x﹣a|＜2}，．
（1）求集合A，B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
高考数学押题预测 相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 昆明期末）已知m＞0，n＞0，且m+n＝mn，则4m+n的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【解答】解：因为m+n＝mn，m＞0，n＞0，
所以，
所以，
当且仅当n＝2m，即，n＝3时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
2．（2025 浙江模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{x∈R|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{1，2} D．
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据对数运算得出集合B，再应用交集定义计算求解．
【解答】解：由log2（x﹣1）≤1可得，0＜x﹣1≤2，
解得1＜x≤3，
所以B＝{x|1＜x≤3}，
又因为集合A＝{1，2}，
则A∩B＝{2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
3．（2025 安徽模拟）已知x＞0，y＞0，x+3y＝x3y2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，化简已知等式得出，然后运用基本不等式计算的最小值，进而可得答案．
【解答】解：由x+3y＝x3y2，两边都除以xy，可得，
所以（） x2y4x212，
结合0，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的最小值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
4．（2024秋 泰山区校级期末）已知集合A＝{x|0≤log3x≤1}，B＝{x||x﹣3|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2] B．[1，4] C．[2，3] D．[2，4]
【考点】指、对数不等式的解法；交集及其运算．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，解对数不等式、绝对值不等式，求出A和B，再根据两个集合的交集，求出A∩B．
【解答】解：∵集合M＝{x|0≤log3x≤1}＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x||x﹣3|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣3≤1}＝{x|2≤x≤4}，
∴A∩B＝{x|2≤x≤3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数不等式、绝对值不等式的解法，求两个集合的交集，属于基础题．
5．（2025 广东开学）已知a＞b＞0且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞b＞0且，
则（）（）＝22+2，
当且仅当a，即a，b＝1时取等号．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6．（2025 广东模拟）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|log2x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{2，4} B．{4，6} C．{0，2，4} D．{2，4，6}
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|log2x＜3}＝{x|0＜x＜8}，
则A∩B＝{2，4，6}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
7．（2024秋 普宁市期末）若正数a，b满足ab＝2，则（a+1）（b+2）的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得．
【解答】解：正数a，b满足ab＝2，
则，
当且仅当b＝2a＝2时取等号，
所以当a＝1，b＝2时，（a+1）（b+2）取得最小值8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8．（2025 南阳模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且ln（b+1）＝﹣ln（a+1），则a+2（b+1）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．2
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由对数的运算可得（a+1）（b+1）＝1，再由基本不等式即可求得．
【解答】解：由ln（b+1）＝﹣ln（a+1），可得ln[（a+1）（b+1）]＝0，
所以（a+1）（b+1）＝1，
所以，
当且仅当，时取等号，
所以a+2（b+1）的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查对数的运算，基本不等式的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 柘荣县校级月考）已知实数a，b满足a＞0，b＞0且a+2b＝1，则下列说法正确的有（　　）
A．若a＞b，则对任意实数c，ac2＞bc2
B．若a＞b，则
C．的最小值是
D．a2+4b2的最小值是
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BCD
【分析】应用特殊值c＝0判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D．
【解答】解：A：当c＝0，A显然错；
B：由a＞b，则，即，对；
C：，
当且仅当时取等号，对；
D：由题意可得，故，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，对．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了基本不等式，二次函数性质在最值求解中的应用，还考查了不等式性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 许昌期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2≤2”的否定是“ x∈R，x2＞2”
B．与表示同一函数
C．已知x＞1，则的最小值为5
D．函数y＝ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象过定点（3，3）
【考点】基本不等式及其应用；判断两个函数是否为同一函数；指数函数的特征及解析式；求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，利用含存在量词命题的否定要求判断即可；对于B，判断两函数定义域不同即得；对于C，拼凑项后利用基本不等式求解即得；对于D，利用指数幂的运算性质易得．
【解答】解：对于A，因命题“ x∈R，x2≤2”的否定是“ x∈R，x2＞2，故A正确；
对于B，因函数的定义域为{x|x≠0}，而函数的定义域为R，故B错误；
对于C，由x＞1可得x﹣1＞0，，
当且仅当x＝3时等号成立，此时的最小值为5，故C正确；
对于D，当x＝3时，ax﹣3＝1，则y＝4，
即函数的图象经过定点（3，4），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 会泽县期末）若0＜a＜b＜1，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C．a2+b2＜1 D．0＜b﹣a＜1
【考点】不等式比较大小．
【专题】整体思想；作差法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质及作差法判断出所给命题的真假．
【解答】解：A中，因为0＜a＜b＜1，可得1，1，所以2＞1，所以A正确；
B中，因为0＜a＜b＜1，可得b﹣a＞0，可得0，所以，所以B正确；
C中，因为0＜a＜b＜1，可得0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a2+b2＜2，所以C不正确；
D中，因为0＜a＜b＜1，所以0＜b﹣a＜1，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
（多选）12．（2025 市中区校级模拟）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（　　）
A．xy最大值为 B．4x2+y2的最小值为
C．最小值为 D．最小值为9
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：因为知x，y是正数，且2x+y＝1，
所以1＝2x+y，当且仅当y＝2x，即y，x时取等号，
所以xy，A正确；
4x2+y2，且仅当y＝2x，即y，x时取等号，B正确；
2，且仅当y＝2x，即y，x时取等号，C错误；
（）（2x+y）＝59，当且仅当x＝y时取等号，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 东昌府区校级模拟）已知集合A＝{x|ex＜e﹣1}，集合B＝{x|ln（x2+4x+4）≤0}，则A∩B＝ 　{x|﹣3≤x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1}　．
【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；求集合的交集．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；运算求解．
【答案】{x|﹣3≤x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1}．
【分析】分别求出集合A，B，再根据交集定义求解．
【解答】解：由B＝{x|ln（x2+4x+4）≤0}，
则，或﹣2＜x≤﹣1}，
A＝{x|ex＜e﹣1} A＝{x|x＜﹣1}，
所以A∩B＝{x|﹣3≤x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1}．
故答案为：{x|﹣3≤x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1}．
【点评】本题主要考查不等式的求解，考查集合的基本运算，属于基础题．
14．（2025 孝义市模拟）正数x，y满足x+y＝xy，则x+9y的最小值是 　16　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】16．
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：由正数x，y满足x+y＝xy，得，
则，
当且仅当，即x＝4，y取等号．
故答案为：16，
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
15．（2025 西乡塘区校级开学）已知函数，则f（x）的最小值等于 　5　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】5．
【分析】凑项利用基本不等式即可求得f（x）的最小值．
【解答】解：因为x＞2，
则，
因，当且仅当时，即x＝3时等号成立，
即当x＝3时，f（x）取得最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16．（2025 重庆模拟）已知实数m，n满足m＞2n＞0，则的最小值为 　8　．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】由m＝（m﹣2n）+2n，得，变形后两次运用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为m＞2n＞0，所以m﹣2n＞0，n（m﹣2n）＞0，
所以
＝（m﹣2n）2+4n（m﹣2n）+4n2
＝[（m﹣2n）2+4n2]+4n（m﹣2n）
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浙江月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，．
（1）求A∪B；
（2）若﹣x2+2x+m≤0的解集为C， R（A∪B） C，求实数m取值范围．
【考点】分式不等式；解一元二次不等式；集合的包含关系的应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）（0，2]；
（2）（﹣∞，0]．
【分析】（1）先求出集合A，B，再求集合A∪B；
（2）记f（x）＝﹣x2+2x+m，由 R（A∪B） C得，解出即可．
【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝[1，2]，
（0，1]，
所以A∪B＝（0，2]；
（2）记f（x）＝﹣x2+2x+m，
因为 R（A∪B）＝（﹣∞，0]∪（2，+∞）， R（A∪B） C，
故，所以m≤0．
即实数m取值范围为（﹣∞，0]．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．
18．（2024秋 红桥区期末）已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a；
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
【考点】其他不等式的解法；指数函数的单调性与最值；对数函数的图象；函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依题意，可求得A（2，2），将其代入f（x）的解析式即可求得实数a的值；
（2）利用对数函数的性质即可求得不等式f（x）a的解集；
（3）由|g（x+2）﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，通过对x的符号分类讨论可求得|2x﹣1|的范围，从而可求得b的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）2，
∴2+a3，
∴a＝1…4分
（2）f（x）a 0…6分
0＜x+1＜1 ﹣1＜x＜0，
不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；…8分
（3）|g（x+2）﹣2|＝2b，
|2x+1﹣2|＝2b |2x﹣1|＝2b，…10分
若x＜0，0＜2x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜0；
∴0＜|2x﹣1|＜1；
若x＞0，则2x＞1，
∴2x﹣1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查解不等式，考查转化思想与分类讨论思想，考查综合分析与运算的能力，属于难题．
19．（2024秋 南昌县校级期末）问题：正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值：
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）5+2；
（2）详见解答过程；
（3）M的最小值为，m．
【分析】（1）直接利用乘1法，结合基本不等式即可求解；
（2）由a2﹣b2＝（a2﹣b2）（）＝x2+y2﹣（），然后结合基本不等式可证；
（3）利用换元法，x，y，则x2﹣3y2＝1，即1，然后结合（2）的结论即可求解．
【解答】（1）解：若正实数x，y满足x+y＝1，
则5，当且仅当且x+y＝1，即x2，y＝3时取等号，
此时取得最小值5+2；
（2）证明：若实数a，b，x，y满足，
则a2﹣b2＝（a2﹣b2）（）＝x2+y2﹣（）≤x2+y2﹣2x2+y2﹣2|xy|≤x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2，
当且仅当且xy≥0时取等号，
所以a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）令x，y，则x2﹣3y2＝1，即1，
由（2）得，x﹣y，
当且仅当且x2﹣3y2＝1，即x，y时取等号，此时m，
故M的最小值为．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键，属于中档题．
20．（2024秋 金山区期末）设全集为R，集合A＝{x||x﹣a|＜2}，．
（1）求集合A，B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【考点】分式不等式；集合的包含关系的应用．
【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维．
【答案】（1）集合A＝{x|﹣2+a＜x＜a+2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}；
（2）a∈[0，1]．
【分析】（1）分别解出A、B中的不等式，可得集合A、B；
（2）若A B，讨论A是否为空集，再根据A为B的子集的情况列不等式并求解．
【解答】解：（1）由|x﹣a|＜2解得：﹣2+a＜x＜a+2，所以集合A＝{x|﹣2+a＜x＜a+2}，
由，整理得0，解得﹣2＜x＜3，所以B＝{x|﹣2＜x＜3}；
（2）由A B，得以下两种情况：
①A为空集，则﹣2+a≥a+2，a无解；
②A不为空集，则，解得a∈[0，1]．
综上，a∈[0，1]．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式和分式不等式以及集合的包含关系的应用，属于基础题．
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