资源简介

高考数学押题预测 圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025 邢台模拟）已知点P在圆上，A（﹣2，0），M（1，1），则|PA|+|PM|的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2025 鼓楼区校级开学）若直线y＝kx+2与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，且S△ABO＝2（其中O是原点），则k的值为（　　）
A． B． C．±1 D．
3．（2025 邢台模拟）已知集合A＝{（x，y）|x＝4cosθ，y＝3sinθ，θ∈R}，集合B＝{（x，y）|mx﹣y﹣m+2＝0，m∈R}，则集合A∩B中元素个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
4．（2025 重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 威海期末）已知b是a与c的等比中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．（2024秋 辽宁校级期末）已知点O是坐标原点，点Q是圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1上的动点，点P在直线x+y+4＝0上，则当|PQ|+|PO|取到最小值时，为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2024秋 玄武区校级期末）已知圆，C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，则两圆的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
8．（2024秋 乐山期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（　　）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 盐山县校级一模）已知圆O：x2+y2＝4，点P（x0，y0）是圆O上的点，直线，则（　　）
A．直线l与圆O相交弦长
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．的最大值是
D．过点P向圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为
（多选）10．（2024秋 扬州期末）已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16与圆O2：x2+y2＝r2（r＞0），下列选项正确的有（　　）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，则直线x＝﹣1为两圆的一条公切线
C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为3x+4y+9＝0
D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为
（多选）11．（2024秋 卓尼县校级期末）对于直线l：kx＝y+1﹣3k＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l过定点（3，1）
B．C的半径为9
C．l与C相交
D．l被C截得的弦长最小值为
（多选）12．（2024秋 邯郸期末）在平面直角坐标系xOy中，过圆x2+y2＝1外的动点P作圆的两条切线，切点为A，B，则下列结论正确的有（　　）
A．若点P（3，4），则四边形OAPB的面积是
B．若点P（6，8），则四边形OAPB的外接圆方程是（x﹣3）2+（y﹣4）2＝10
C．若点P在直线4x+3y﹣12＝0上，则O，A，P，B所在圆的直径的最小值是
D．当取得最小值时，点P到圆心O的距离为
三．填空题（共4小题）
13．（2025 市中区校级模拟）已知圆C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与圆C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则mn＝ 　 　．
14．（2025春 杭州校级月考）已知实数x，y满足（x+1）2+y2＝1，则z＝27y﹣36x的最大值是 　 　．
15．（2025 朝阳区校级开学）若直线l：x﹣y+m2﹣6＝0平分圆C：x2+2mx+y2+4＝0，则实数m的值为 　 　．
16．（2024秋 浦东新区校级期末）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，若此方程表示圆，则m的范围是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 苏州期末）点P（﹣2，a）和圆Q：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，过P作圆Q的两条切线，切点为A，B．
（1）若直线AB的方程为6x+5y﹣25＝0，求a；
（2）若，求a．
18．（2024秋 资中县校级期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
19．（2024秋 扬州期末）已知圆心在直线y＝x上的圆C经过点，且与直线x+y﹣20相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设P为直线m：x﹣2y+4＝0上的点，满足：过点P引圆C的切线，切点分别为M和N，∠MPN＝60°，试求所有满足条件的点P的坐标．
20．（2024秋 自贡校级期末）已知圆C和直线l1：2x﹣y﹣4＝0，l2：x﹣y﹣2＝0，若圆C的圆心为（0，0），且圆C经过直线l1和l2的交点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过定点（1，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
高考数学押题预测 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 邢台模拟）已知点P在圆上，A（﹣2，0），M（1，1），则|PA|+|PM|的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】设圆的圆心为C，连接PC，在x轴上取点N（2，0），连接PN、MN，可证出△PCN∽△ACP，所以，即|PN||PA|，可得|PA|+|PM|＝|PN|+|PM|，由此可知：当点P在线段MN上时，|PA|+|PM|达到最小值，进而运用两点间的距离公式算出答案．
【解答】解：根据题意，圆的圆心为C（，0），半径r．
连接PC，在x轴上取点N（2，0），连接PN、MN，
则|NC|2，由|AC|2，得，
结合∠PCN＝∠ACP，可得△PCN∽△ACP，所以，即|PN||PA|，
因此，|PA|+|PM|＝|PN|+|PM|≥|MN|．
当且仅当P、M、N共线，且点P在M、N之间（图中的点P0）时，等号成立．
所以|PA|+|PM|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、相似三角形的性质等知识，考查了计算能力、几何图形的理解能力，属于中档题．
2．（2025 鼓楼区校级开学）若直线y＝kx+2与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，且S△ABO＝2（其中O是原点），则k的值为（　　）
A． B． C．±1 D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆心到直线距离以及弦长公式，列方程求得结果．
【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为r＝2，
直线方程y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，
所以圆心到直线距离为d，
弦长|AB|＝224，
依题意，
所以k＝±1．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，三角形的面积公式的应用，属于基础题．
3．（2025 邢台模拟）已知集合A＝{（x，y）|x＝4cosθ，y＝3sinθ，θ∈R}，集合B＝{（x，y）|mx﹣y﹣m+2＝0，m∈R}，则集合A∩B中元素个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系；求集合的交集；同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意化简集合A，得到集合A对应的图形是椭圆1，而集合B中的直线经过椭圆1内的定点（1，2），可知该直线与椭圆1相交，由此判断出集合A∩B中元素个数．
【解答】解：由，可得，
所以cos2θ+sin2θ＝1，可知集合A对应的图形是椭圆1，
直线mx﹣y﹣m+2＝0，可化为m（x﹣1）+（﹣y+2）＝0，
可知直线mx﹣y﹣m+2＝0经过直线x﹣1＝0与﹣y+2＝0的交点（1，2）．
所以集合B＝{（x，y）|mx﹣y﹣m+2＝0，m∈R}，对应的直线经过点（1，2）．
由，可知直线mx﹣y﹣m+2＝0与椭圆1相交，有两个公共点，
所以A、B有两个公共元素，即集合A∩B中元素的个数为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的交集运算法则、直线与椭圆的位置关系等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
4．（2025 重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，﹣2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：直线kx﹣y﹣2＝0化成y＝kx﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2）
而曲线，可变形整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）
∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k2．
可得当直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1＜k≤k2．
由点（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d，解得k1
而k22，由此可得k≤2
故选：A．
【点评】本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
5．（2024秋 威海期末）已知b是a与c的等比中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，取出圆x2+y2﹣6x＝0的圆心和半径，结合基本不等式分析d的最小值，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣6x＝0，即（x﹣3）2+y2＝9，
设其圆心为M，则M的坐标（3，0），半径为3，
b是a与c的等比中项，则b2＝ac，a、c同号，
M到直线ax+by+c＝0的距离d||，
易得d≥22，当且仅当a+c＝2a，即a＝c时等号成立，
即d的最小值为2，
又由|AB|＝2，
则当d取最小值2时，|AB|取得最大值，其最大值为22．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于中档题．
6．（2024秋 辽宁校级期末）已知点O是坐标原点，点Q是圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1上的动点，点P在直线x+y+4＝0上，则当|PQ|+|PO|取到最小值时，为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】先求点O（0，0）关于直线x+y+4＝0对称的点为A，结合圆的性质可得|PQ|+|PO|＝|PQ|+|PA|≥|PC|+|PA|﹣1，再结合几何性质即可得P（0，﹣4），Q（2，﹣4），根据数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：设点O（0，0）关于直线x+y+4＝0对称的点为A（m，n），
则，解得m＝n＝﹣4，即A（﹣4，﹣4），
由题意点O是坐标原点，点Q是圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1上的动点，点P在直线x+y+4＝0上，
可知：圆C：（x﹣3）2+（y+4）2＝1的圆心为C（3，﹣4），半径r＝1，
则|PQ|+|PO|＝|PQ|+|PA|≥|PC|+|PA|﹣1，
当且仅当点Q在线段PC上时，等号成立，
又因为|PC|+|PA|≥|AC|＝7，当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立，
综上所述：当且仅当P（0，﹣4），Q（2，﹣4）时，|PQ|+|PO|的最小值为6，
此时．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
7．（2024秋 玄武区校级期末）已知圆，C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，则两圆的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，分别求出两圆的圆心与半径，然后比较两圆的圆心距、半径之和与半径之差，即可得到本题的答案．
【解答】解：圆的圆心为原点O（0，0），半径r＝2，
圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，圆心为C（3，4），半径R＝4．
由|OC|5，R﹣r＝2，R+r＝6，可得|R﹣r|＜|OC|＜R+r，所以两圆相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的方程、两圆的位置关系等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
8．（2024秋 乐山期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（　　）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据所给数据得到各点的坐标，结合圆的标准方程求得圆拱所在圆的方程，然后取x＝4求得纵坐标的大小，即可得出这条船能从桥下通过的水面以上最大高度．
【解答】解：以圆拱桥的跨度所在直线为x轴，过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，图中的矩形EFGH为船刚好能通过桥下的位置．
可得B（﹣6，0），E（﹣4，0），F（4，0），C（6，0），
设圆拱桥所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，可得36+b2＝（4﹣b）2≡r2，解得b，r，
所以圆的方程为x2+（y）2，取x＝4，解得y2.9，
所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9米．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程及其应用，考查了计算能力、数形结合的数学思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 盐山县校级一模）已知圆O：x2+y2＝4，点P（x0，y0）是圆O上的点，直线，则（　　）
A．直线l与圆O相交弦长
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．的最大值是
D．过点P向圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用垂径定理解决A选项；求出圆心到直线的距离，然后求出每段弧上的点到直线的最大距离，即可判断B选项；令y＝k（x﹣4），然后该直线与圆O有公共点，通过圆心到直线的距离小于等于半径，判断C选项；对于D选项，将问题转化为P点到点M（3，4）距离的最小值问题求解．
【解答】解：圆O：x2+y2＝4的半径r＝2，圆心为O（0，0），
对于A，O点到直线l的距离d1，所以弦长为2，A正确；
对于B，因为圆心O到直线的距离为d＝1＜2＝r，所以直线l与圆O相交，
此时劣弧上的点到直线l的距离的最大值为r﹣d＝1，所以劣弧上只有一个点满足题意，
优弧上有两个点符合题意，即圆O上共有3个点到直线l的距离为1，B错误；
对于C，令k，则y＝k（x﹣4），由题意，直线kx﹣y﹣4k＝0与圆x2+y2＝4有公共点，
则，解得，
所以式子的最大值为，C错误；
对于D，由题意知，M（3，4），且|PA|2＝|PM|2﹣|AM|2＝|PM|2﹣1，
所以问题转化为求|PM|的最小值，易知|PM|min＝|OM|﹣22＝3，
此时|PA|，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系及应用，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 扬州期末）已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16与圆O2：x2+y2＝r2（r＞0），下列选项正确的有（　　）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，则直线x＝﹣1为两圆的一条公切线
C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为3x+4y+9＝0
D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为
【考点】直线与圆相交的性质；根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合两圆的位置关系，以及公切线的定义，以及公共直线的求法，即可求解．
【解答】解：若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，
则圆O1（3，4），半径r1＝4，
若r＝1，
则圆O2：x2+y2＝1，
则圆心O2，（0，0），半径r＝1，x＝﹣1为圆的公切线，故B正确；
则|O1O2|＝r1+r2＝4+1＝5，
故两圆外切，故A正确；
当r＝3时，圆O2：x2+y2＝9，
圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，
两圆的方程相减可得，3x+4y﹣9＝0，故C错误；
圆心O2，（0，0）到直线3x+4y﹣9＝0的距离d，
故两圆公共弦的长度为2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆相交的性质，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 卓尼县校级期末）对于直线l：kx＝y+1﹣3k＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l过定点（3，1）
B．C的半径为9
C．l与C相交
D．l被C截得的弦长最小值为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由直线过定点即可判断AC，将圆的方程化为标准式即可判断B，由直线l与点（3，1）和圆心（2，2）的连线垂直时，l被C截得的弦长最小，代入计算，即可判断D．
【解答】解：对于选项A，直线l：kx﹣y+1﹣3k＝0，化为（x﹣3）k+1﹣y＝0，
由，解得，∴直线l：kx＝y+1﹣3k＝0过定点（3，1），故A选项正确．
对于选项B，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，化为圆的标准式为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，
可知圆心C（2，2），半径为r＝3，故B选项错误．
对于选项C，将点（3，1）代入圆C的标准式可得（3﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜9，
∴点（3，1）在圆内，则直线l与圆C相交，故C选项正确．
对于选项D，当直线l与点（3，1）和圆心（2，2）的连线垂直时，l被C截得的弦长最小，
且点（3，1）和圆心（2，2）的距离，圆的半径r﹣3，
则弦长最小值为，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
（多选）12．（2024秋 邯郸期末）在平面直角坐标系xOy中，过圆x2+y2＝1外的动点P作圆的两条切线，切点为A，B，则下列结论正确的有（　　）
A．若点P（3，4），则四边形OAPB的面积是
B．若点P（6，8），则四边形OAPB的外接圆方程是（x﹣3）2+（y﹣4）2＝10
C．若点P在直线4x+3y﹣12＝0上，则O，A，P，B所在圆的直径的最小值是
D．当取得最小值时，点P到圆心O的距离为
【考点】过圆外一点的圆的切线方程；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由圆的方程的求法及直线与圆的性质，数量积的性质及不等式可判断出所给命题的真假．
【解答】解：因为圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1，
A中，点P（3，4），可得|PO|5，|PA|＝|PB2，
则四边形OAPB的面积S＝2S△PAC＝2|PA|×|AC|＝21，所以A正确；
B中，P（6，8），可得（6，8），
设四边形OAPB的外接圆上任意圆的Q（x，y），
可得 0，即（x，y） （x﹣6，y﹣8）＝0，即x（x﹣6）+y（y﹣8）＝0，整理可得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，所以B不正确；
C中，P在直线4x+3y﹣12＝0上，则O，A，P，B所在圆的直径的最小值为圆心O到直线的距离d，所以C正确；
D中，设∠PAO＝θ，∠APB＝2θ，则当取得最小值时，即|PA| |PB|cos2θ＝|PA|2 （1﹣2sin2θ）＝（|OP|2﹣1） （1）
＝﹣2﹣1+|OP|23+2，当且仅当|OP|2时，即|OP|时取等号，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查圆的性质的应用及以线段为直径的圆的方程的求法及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 市中区校级模拟）已知圆C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与圆C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则mn＝ 　0　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】0．
【分析】根据题意，求出圆心C的坐标和半径r的大小，然后根据△ABC为直角三角形，可知圆心到直线的距离dr，利用点到直线的距离公式加以计算，可得mn的值．
【解答】解：将圆C的方程化简为标准方程，可得（x+1）2+y2＝2，
所以圆心坐标为C（﹣1，0），半径．
因为直线mx+n（y﹣1）＝0与圆C交于A，B两点，且△ABC为直角三角形．
所以圆心C（﹣1，0）到直线mx+n（y﹣1）＝0的距离dr＝1，
即，两边平方得，整理得2mn＝0，即mn＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
14．（2025春 杭州校级月考）已知实数x，y满足（x+1）2+y2＝1，则z＝27y﹣36x的最大值是 　81　．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】81．
【分析】由直线36x﹣27y+z＝0与圆相切，即可求解．
【解答】解：由题意（x，y）在圆（x+1）2+y2＝1上，
z＝27y﹣36x可化为直线36x﹣27y+z＝0，
可知当直线36x﹣27y+z＝0与圆（x+1）2+y2＝1相切时，
z取得最值，即：，
可得：|z﹣36|＝45，
解得：z＝81或z＝﹣9，
所以z＝27y﹣36x的最大值是81．
故答案为：81．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
15．（2025 朝阳区校级开学）若直线l：x﹣y+m2﹣6＝0平分圆C：x2+2mx+y2+4＝0，则实数m的值为 　3　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】由直线过圆心即可求解；
【解答】解：由题意直线l：x﹣y+m2﹣6＝0平分圆C：x2+2mx+y2+4＝0，
可得直线过圆心，又圆心坐标（﹣m，0），且4m2﹣16＞0，及m2＞4；
所以m2﹣m﹣6＝0，解得m＝3或m＝﹣2（舍去），
所以实数m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是基础题．
16．（2024秋 浦东新区校级期末）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，若此方程表示圆，则m的范围是　m＜5　．
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二元二次方程表示圆的条件，列出不等式求解即可．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，若此方程表示圆，
可得4+16﹣4m＞0．
解得m＜5
故答案为：m＜5．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的充要条件的应用，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 苏州期末）点P（﹣2，a）和圆Q：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9，过P作圆Q的两条切线，切点为A，B．
（1）若直线AB的方程为6x+5y﹣25＝0，求a；
（2）若，求a．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）a＝﹣3．
（2）a＝﹣1或a＝5．
【分析】（1）求出圆的圆心，利用直线PQ与直线AB的垂直关系，列出方程，解得a．
（2）利用两个三角形面积比为2：5，列出方程求解a即可．
【解答】解：（1）圆Q：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝9的圆心Q（4，2），半径为3，过P作圆Q的两条切线，切点为A，B．
PQ的中点为（1，1），PQ的斜率为k，直线AB的方程为6x+5y﹣25＝0，
可得，解得a＝﹣3．
（2）如图，Q（4，2），圆的半径为3，P（﹣2，a），
设∠PQB＝θ，cosθ，，
即，
可得15cosθ＝|PQ|，
可得|PQ|2＝45，即（4+2）2+（2﹣a）2＝45，
解得a＝﹣1或a＝5．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
18．（2024秋 资中县校级期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）求出已知圆的圆心关于直线的对称点即可求得；
（2）求圆心到原点的距离，再结合圆的几何特征即可求得．
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圆心为（3，1），半径为1，
因为圆心（3，1）关于x﹣y＝0对称的点为（1，3），
所以圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；
（2）x2+y2表示圆上的点P到原点的距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，
所以x2+y2的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查关于直线对称的圆的方程和圆上的点与圆外一点的距离求法，属于中档题．
19．（2024秋 扬州期末）已知圆心在直线y＝x上的圆C经过点，且与直线x+y﹣20相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设P为直线m：x﹣2y+4＝0上的点，满足：过点P引圆C的切线，切点分别为M和N，∠MPN＝60°，试求所有满足条件的点P的坐标．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x2+y2＝4；（2）（﹣4，0）或．
【分析】（1）根据条件，联立方程组求解即可；
（2）先确定点P的轨迹是以O为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为x2+y2＝16，再联立方程组即可求解．
【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
因为圆心在直线y＝x上，所以a＝b，
因为圆C经过点，
所以，
因为圆C与直线相切，
所以，
联列方程组，
解得，
所以圆C的标准方程为x2+y2＝4；
（2）因为∠MPN＝60°，由对称性可知∠MPO＝30°，所以PO＝2OM＝4，
所以点P的轨迹是以O为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为x2+y2＝16，
又因为P在直线m：x﹣2y+4＝0上，
联列方程组，
解得或，
所以点P的坐标为（﹣4，0）或．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
20．（2024秋 自贡校级期末）已知圆C和直线l1：2x﹣y﹣4＝0，l2：x﹣y﹣2＝0，若圆C的圆心为（0，0），且圆C经过直线l1和l2的交点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过定点（1，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【考点】直线与圆相交的性质；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x2+y2＝4，
（2）x＝1或3x﹣4y+5＝0．
【分析】（1）根据题意联立直线l1和l2的直线方程，求得交点（2，0），进而求得半径，即可得解；
（2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线l的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解．
【解答】解：（1）首先由可得，
所以直线l1和l2相交于点（2，0），
所以圆C的半径，
所以圆C的标准方程为x2+y2＝4．
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入圆C方程为x2+y2＝4可得，
此时，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1）+2，
根据题意圆心到直线l的距离为，
所以，解得，此时直线方程为3x﹣4y+5＝0，
所以直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．
【点评】本题考查了垂径定理，属于基础题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑