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高考数学押题预测 圆锥曲线综合
一．选择题（共10小题）
1．（2025 湛江一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），点P满足，当∠PAB取到最大值时△PAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 淄博模拟）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：|x|n+|y|n＝1（n＞0），当n＝2时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线E说法错误的是（　　）
A．曲线E关于x轴对称
B．曲线E上的点到x轴，y轴的距离之积不超过
C．曲线E与|x|+|y|＝1有8个交点
D．曲线E所围成图形的面积小于2
3．（2025春 岳麓区校级月考）设F（1，0），点M在x轴上，点N在y轴上，且0，当点N在y轴上运动时，点P的轨迹方程为（　　）
A． B． C．y2＝2x D．y2＝4x
4．（2024秋 德州期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与双曲线C在第一象限交于点P，且4ab，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 卓尼县校级期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线．当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线为（　　）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
6．（2024秋 资中县校级期末）法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆Γ：1（a＞b＞0）的蒙日圆方程C：x2+y2＝a2+b2，F1，F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆Γ的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若△PAB面积的最大值为25，则椭圆Γ的长轴长为（　　）
A． B．2 C． D．2
7．（2025 鼓楼区校级开学）设F1，F2为曲线C1：的左，右两个焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则sin∠F1PF2的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 平谷区期末）已知椭圆上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线的一条渐近线经过点A，那么双曲线的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 宝鸡模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，G为棱B1C1上一点，则（　　）
A．AE∥面A1C1D
B．直线AE，A1B1，D1G不可能相交于同一点
C．正方体表面上满足的P点的轨迹长度为
D．面AEC与面DA1G可能平行
10．（2024秋 东坡区校级期末）已知椭圆，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C．x2+y2＝4（x≠0） D．x2+y2＝8（x≠0）
二．多选题（共2小题）
（多选）11．（2025 贵阳模拟）封闭曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为2的点的轨迹，M（x，y）是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（　　）
A．曲线C关于坐标原点对称
B．曲线C位于直线和直线y＝±1所围成的矩形框内
C．△MF1F2的周长的最小值为
D．
（多选）12．（2025 市中区校级模拟）数学中有许多美丽的曲线，如图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线C1：1，上顶点为E，右顶点为G，曲线C2上的点满足到F（0，﹣1）和直线y＝1的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过F作斜率小于0的直线l与两曲线从左到右依次交于A，B，C，D且yA≥1，则（　　）
A．曲线C2由两条抛物线的一部分组成
B．线段AF的长度与A点到直线y＝5的距离相等
C．若线段AB的长度为，则直线l的斜率为
D．若S△AFE＝3S△DFG，则直线l的斜率为
三．填空题（共4小题）
13．（2025 雁江区校级模拟）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 　 　；若T（a，b）是曲线C上任意一点，|4a+3b﹣18|的最小值为 　 　．
14．（2024秋 金山区期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AA1＝7，点O在棱AA1上，且AO＝4，则正方体表面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为 　 　．
15．（2024秋 卓尼县校级期末）若△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为 　 　．
16．（2024秋 平谷区期末）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美．曲线C：4﹣|x|，下面是关于曲线C的四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C上点的横坐标取值范围是[﹣4，4]；
③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；
④若直线y＝kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 聊城一模）已知圆C1：（x+2）2+y2，圆C2：（x﹣2）2+y2，动圆C与C1，C2都外切．
（1）求圆心C的轨迹方程；
（2）设A（﹣1，0），M，N是圆心C轨迹上的不同两点，过点A作AH⊥MN，垂足为H，若直线AM与AN的斜率之积等于﹣2，求动点H轨迹的长度．
18．（2024秋 浦东新区校级期末）带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑．
（1）将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论．
【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分；
②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明．
（2）将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象．
19．（2024秋 上城区校级月考）公元前180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles）在研究倍立方问题时独立发明了蔓叶线．已知：如图所示，平面内给定圆和直线l1：x＝2，从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线l1于点A、B，在射线OA上取一点M满足OM＝AB，则点M的轨迹为蔓叶线C2．
（1）求C2的方程；
（2）若直线l2与C2相交于P、Q、R三点，记P、Q、R三点到原点O的斜率分别为
k1、k2、k3，已知k1+k2+k3＝2．
①证明：直线l2经过定点；
②若，求直线l2的方程．
参考公式：若x1、x2、x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根，则
，，．
20．（2025 青浦区校级模拟）已知双曲线C：的离心率为，点（3，﹣1）在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
（3）点P（﹣4，2），直线AP交直线x＝﹣2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1﹣k2为定值．
高考数学押题预测 圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 湛江一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），点P满足，当∠PAB取到最大值时△PAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】直接法可得动点P的轨迹方程，判断∠PAB取到最大值时的位置，求出△PAB的面积即可判断选项．
【解答】解：设点P（x，y），A（﹣1，0），B（1，0），点P满足，
得 ，
化简可得（x﹣2）2+y2＝3，即点P在以M（2，0）为圆心，为半径的圆，
当PA与圆（x﹣2）2+y2＝3相切时，∠PAB取到最大值，
此时△PAB的面积S|PA|r．
故选：C．
【点评】本题考查求动点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2025 淄博模拟）数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：|x|n+|y|n＝1（n＞0），当n＝2时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线E说法错误的是（　　）
A．曲线E关于x轴对称
B．曲线E上的点到x轴，y轴的距离之积不超过
C．曲线E与|x|+|y|＝1有8个交点
D．曲线E所围成图形的面积小于2
【考点】曲线与方程．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】对A，在方程中，以x，﹣y替代x，y方程不变，可判断；
对B，由基本不等式求解判断；
对C，易得曲线E在|x|+|y|＝1的内部，作出图象判断交点个数；
对D，易求|x|+|y|＝1围成的正方形面积为2，又曲线E在|x|+|y|＝1的内部，得解．
【解答】解：曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，
对于A，在方程中，以x，﹣y替代x，y方程不变，所以曲线E关于x轴对称，
同理，以﹣x，y；﹣x，﹣y替代x，y方程均不变，所以曲线E关于y轴，坐标原点对称，如图，故A正确；
对于B，曲线E上点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，
由，当且仅当|x|＝|y|时取等号，
∴，故B正确；
对于C，在第一象限内，，所以曲线E在直线x+y＝1的下方，
所以两者有4个交点，分别为（﹣1，0），（1，0），（0，1），（0，﹣1），故C错误；
对于D，如图，|x|+|y|＝1围成的正方形面积为，
所以曲线E围成图形的面积小于2，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查根据方程分析曲线E在第一象限的性质等相关知识，属于中档题．
3．（2025春 岳麓区校级月考）设F（1，0），点M在x轴上，点N在y轴上，且0，当点N在y轴上运动时，点P的轨迹方程为（　　）
A． B． C．y2＝2x D．y2＝4x
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】设点P（x，y），根据向量关系及垂直关系可得点P的轨迹方程．
【解答】解：设F（1，0），点M在x轴上，点N在y轴上，且0，
设点P（x，y），由，可得N为MP的中点，
由中点坐标公式可得，M（﹣x，0），
又F（1，0），则，，
由，可得y2＝4x，
故点P的轨迹方程为y2＝4x．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及向量相等和垂直的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．（2024秋 德州期末）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与双曲线C在第一象限交于点P，且4ab，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】设∠AF1O＝θ，求出及，由三角形面积及三角函数值得到|PF1|＝4b，由双曲线定义得到|PF2|＝4b﹣2a，在△F1PF2中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与双曲线C在第一象限交于点P，
设切点为A，∠AF1O＝θ，连接OA，如图，
则，，
过点P作PE⊥x轴于点E，则，故，
因为，解得|PF1|＝4b，
由双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF2|＝4b﹣2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得cosθ，
化简得4a＝3b ，所以离心率e．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，离心率的求法，是中档题．
5．（2024秋 卓尼县校级期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线．当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．则方程表示的圆锥曲线为（　　）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
【考点】轨迹方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】将原方程整理为，再结合两点间距离公式与点到直线的距离公式，即可得解．
【解答】解：方程可化为，
可表示动点（x，y）到定点（1，0）的距离与到定直线4x﹣3y﹣12＝0的距离的比为5，且5大于1，
所以该动点的轨迹为双曲线．
故选：B．
【点评】本题考查轨迹方程，熟练掌握圆锥曲线的定义，两点间距离公式与点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（2024秋 资中县校级期末）法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆Γ：1（a＞b＞0）的蒙日圆方程C：x2+y2＝a2+b2，F1，F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆Γ的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若△PAB面积的最大值为25，则椭圆Γ的长轴长为（　　）
A． B．2 C． D．2
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】利用椭圆的离心率可得a，c关系，分析可知PQ为圆的一条直径，利用勾股定理得出|MP|2+|MQ|2＝|PQ|2＝20c2，再利用基本不等式即可求即解．
【解答】解：∵椭圆C的离心率e，∴a，又a2＝b2+c2，∴bc，
∴椭圆C的蒙日圆的半径为：，
∵MP⊥MQ，∴PQ为蒙日圆的直径，
∴|PQ|＝2c，∴|MP|2+|MQ|2＝|PQ|2＝20c2．
又|MP| |MQ|10c2，
当且仅当|MP|＝|MQ|c时，等号成立，
∴△MPQ面积的最大值为：|MP| |MQ|＝5c2．
∴5c2＝25，∴c，∴a．
∴椭圆C的长轴长为2a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，圆的性质，重要不等式的应用，属中档题．
7．（2025 鼓楼区校级开学）设F1，F2为曲线C1：的左，右两个焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则sin∠F1PF2的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】求出F1，F2的坐标，由椭圆、双曲线的定义求出|PF1|，|PF2|，再由余弦定理求出cos∠F1PF2，即可求出sin∠F1PF2．
【解答】解：由曲线C1：和曲线C2：，
可得它们的焦点均为F1（﹣2，0），F2（2，0），
不妨设P在双曲线右支上，
由椭圆的定义得，
双曲线的定义得，
解得，，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程与性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 平谷区期末）已知椭圆上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线的一条渐近线经过点A，那么双曲线的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，设出A，F的坐标，结合双曲线的渐近线方程和离心率公式进行求解即可．
【解答】解：因为椭圆的方程为，
所以a，b＝c＝1，
设椭圆的焦点F（1，0），
因为AF⊥x轴，
所以，
解得y＝±，
令A（1，），
易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若双曲线的一条渐近线yx经过点A，
所以，
解得ab，
则双曲线的离心率e．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
9．（2025 宝鸡模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，G为棱B1C1上一点，则（　　）
A．AE∥面A1C1D
B．直线AE，A1B1，D1G不可能相交于同一点
C．正方体表面上满足的P点的轨迹长度为
D．面AEC与面DA1G可能平行
【考点】轨迹方程；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】选项A，由空间向量法判断线面的位置关系；
选项B，先根据位置关系确定直线AE与直线A1B1的交点，进而可确定当G为B1C1的中点时，直线AE，A1B1，D1G相交于同一点；
选项C，由对称性，由得P点位于四边形BB1D1D的边上，进而可得；
选项D，由空间向量法判断两个平面的法向量不平行，进而可得．
【解答】解：选项A：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），，
A1（0，0，0），C1（1，1，0），D（0，1，1），
则，，，
设平面A1C1D的一个法向量为，则，
令x1＝1，则y1＝﹣1，z1＝1，则（1，﹣1，1），
因，故AE与平面A1C1D不平行，故A错误；
选项B：延长AE交直线A1B1的延长线于F，则A1B1＝B1F，则F∈平面A1B1C1D1，连接D1F，交直线B1C1于G，则B1G＝GC1，
故可知当G为B1C1的中点时，直线AE，AB1，D1G相交于同一点，故B错误；
选项C：根据正方体的对称性，当时，
P点在四边形BB1D1D的边上，故P点的轨迹长度即为四边形BB1D1D的周长为，故C正确；
选项D：C（1，1，1），，
设平面AEC的一个法向量为，则，
令x2＝1，得y2＝﹣1，z2＝2，则（1，﹣1，2），
设G（1，t，0），则，
设平面DA1G的一个法向量为，则，
令x3＝t，则y3＝﹣1，z3＝1，故μ＝（t，﹣1，1），
若平面AEC与平面DA1G平行，则λμ，即，显然λ不存在，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量法判断线面的位置关系，属于中档题．
10．（2024秋 东坡区校级期末）已知椭圆，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C．x2+y2＝4（x≠0） D．x2+y2＝8（x≠0）
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：设点M（x，y），则P（2x，y），又P在椭圆C：上，
所以x2+y2＝4，其中x≠0．
故选：C．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，相关点法的应用，属基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）11．（2025 贵阳模拟）封闭曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为2的点的轨迹，M（x，y）是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（　　）
A．曲线C关于坐标原点对称
B．曲线C位于直线和直线y＝±1所围成的矩形框内
C．△MF1F2的周长的最小值为
D．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据与两个定点的距离之积为定值，列出曲线C的方程，对方程进行化简，再逐个分析各选项．
【解答】解：对于A，由已知得，曲线C的方程为 2，
将x换成﹣x，将y换成﹣y，得
2，
故曲线C关于原点对称，A选项正确；
对于B，由 2，
整理得：y2＝﹣（x2+1）+2，
因为y2≥0，所以﹣（x2+1）+20，
得12，解得x，
由12，y2＝﹣（x2+1）+21，
得0≤y2≤1，解得﹣1≤y≤1，故B正确；
对于C，因为|MF1||MF2|＝2，所以|MF1|+|MF2|≥22，
当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号，
又|F1F2|＝2，所以△MF1F2的周长的最小值为22，故C错误；
对于D，由对B选项的分析，|OM|2＝x2+y2＝21，且12，
所以1≤|OM|2≤3，即，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查点的轨迹问题，属于中档题．
（多选）12．（2025 市中区校级模拟）数学中有许多美丽的曲线，如图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线C1：1，上顶点为E，右顶点为G，曲线C2上的点满足到F（0，﹣1）和直线y＝1的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过F作斜率小于0的直线l与两曲线从左到右依次交于A，B，C，D且yA≥1，则（　　）
A．曲线C2由两条抛物线的一部分组成
B．线段AF的长度与A点到直线y＝5的距离相等
C．若线段AB的长度为，则直线l的斜率为
D．若S△AFE＝3S△DFG，则直线l的斜率为
【考点】曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为S△AFE＝3S△DFG可得EG∥l，即可得到结果．
【解答】解：对于A选项：设曲线C2上任意一点M（x，y），
因为曲线C2上的点满足到F（0，﹣1）和直线y＝1的距离之和为定值4，
所以，
整理得，
则曲线C2由两条抛物线的一部分组成，故选项A正确；
对于B选项：易知F和直线y＝5分别为抛物线x2＝﹣12y+24的焦点和准线，
由抛物线定义可知，线段AF的长度与A点到直线y＝5的距离相等，故选项B正确；
对于C选项：设l与y轴夹角为θ，
因为F同时为抛物线x2＝﹣12y+24和椭圆的焦点，p＝6，
，
解得，
则，故选项C错误；
对于D选项：易知F为抛物线x2＝4y+8和x2＝﹣12y+24的焦点，
因为在x2＝4y+8中p＝2，在x2＝﹣12y+24中p＝6，
AF，DF分别为两个抛物线的较短的焦半径，
所以，
因为S△AFE＝3S△DFG，
则dE﹣l＝dG﹣l，
所以EG∥l，
所以，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 雁江区校级模拟）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 　4π　；若T（a，b）是曲线C上任意一点，|4a+3b﹣18|的最小值为 　　．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】4π；．
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【解答】解：曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|，
当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；
当x≤0，y≥0时，曲线C的方程可化为（x+1）2+（y﹣1）2＝2；
当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为（x﹣1）2+（y+1）2＝2；
当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为（x+1）2+（y+1）2＝2，
所以曲线C的图象如图所示，
曲线C由4个半圆组成，其周长为；
T（a，b）到直线4x+3y﹣18＝0的距离，
而（1，1）到直线4x+3y﹣18＝0的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线4x+3y﹣18＝0的距离最小为，
故|4a+3b﹣18|的最小值为．
故答案为：4π；．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
14．（2024秋 金山区期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AA1＝7，点O在棱AA1上，且AO＝4，则正方体表面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为 　　．
【考点】轨迹方程；棱柱的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】确定点P为球心，半径为5的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度即可．
【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝7，
又点O在棱AA1上，且AO＝4，
所以AA1＝AB＝A1B1＝7，
所以在AB，A1B1上必存在点E，F满足OE＝OF＝5，如图所示：
，同理可得A1F＝4＝OA，
所以△AEO≌A1OF，所以∠AEO＝∠A1OF，
又因为，所以，
所以，即OE⊥OF．
在平面AA1B1B内满足条件的点的轨迹为，
该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为；
同理，在平面AA1D1D内满足条件的点轨迹长度为；
在平面A1B1C1D1内满足条件的点的轨迹为以A1为圆心，A1F为半径的圆弧，长度为；
同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为．
所以正方体表面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，动点轨迹问题的求解，属中档题．
15．（2024秋 卓尼县校级期末）若△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为 　　．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：因为△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，
设△ABC的重心G的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0）．
则△ABC的重心G的坐标满足，．
所以x0＝3x+1，y0＝3y①．
因为点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，
所以点A的坐标（x0，y0）满足方程x2+y2+4x﹣6y+9＝0，
即满足方程（x+2）2+（y﹣3）2＝4②．
将①代入②，得．
即所求轨迹方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，相关点法的应用，属中档题．
16．（2024秋 平谷区期末）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美．曲线C：4﹣|x|，下面是关于曲线C的四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C上点的横坐标取值范围是[﹣4，4]；
③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；
④若直线y＝kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】①③④．
【分析】将原方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，可判断①；解0≤4﹣|x|≤2，可判断②；作出曲线C的图形，可判断③；由直线y＝kx与曲线C相切，求得斜率k，可判断④．
【解答】解：由曲线C：4﹣|x|，将x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，则曲线C关于原点对称，故①正确；
由0≤4﹣|x|≤2，可得﹣4≤x≤﹣2或2≤x≤4，故②错误；
当2≤x≤4时，曲线C为（x﹣4）2+y2＝4；当﹣4≤x≤﹣2时，曲线C为（x+4）2+y2＝4；作出曲线C的图形，
可得曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2，故③正确；
若直线y＝kx与曲线C相切，可得2，解得k＝±，
可得，若直线y＝kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查直线与圆的方程、直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 聊城一模）已知圆C1：（x+2）2+y2，圆C2：（x﹣2）2+y2，动圆C与C1，C2都外切．
（1）求圆心C的轨迹方程；
（2）设A（﹣1，0），M，N是圆心C轨迹上的不同两点，过点A作AH⊥MN，垂足为H，若直线AM与AN的斜率之积等于﹣2，求动点H轨迹的长度．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）（x＞0）；
（2）2．
【分析】（1）由题意，根据双曲线的定义进行求解即可；
（2）设出直线MN的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理和斜率公式求出直线MN的方程和所过定点坐标P（5，0），结合∠AHP＝90°，可得动点H在以AP为直径的圆上，得到该圆的圆心和半径，进而可解．
【解答】解：（1）易知C1（﹣2，0），C2（2，0），圆C1，C2的半径分别为，，
设动圆C的半径为r，
此时，，
因为圆C与圆C1和圆C2都外切，
所以|CC1|﹣|CC2|＝2＜|C1C2|，
则圆心C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），
此时a＝1，c＝2，，
则圆心C的轨迹方程为（x＞0）；
（2）设直线MN的方程为x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+6mny+3n2﹣3＝0，
此时3m2﹣1≠0且Δ＝（6mn）2﹣4（3m2﹣1）（3n2﹣3）＞0，
由韦达定理得，，
因为直线AM与AN的斜率之积等于﹣2，
所以，
即y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0，
因为x1＝my1+n，x2＝my2+n，
所以y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0，
因为，，
所以，
整理得n2﹣4n﹣5＝0，
解得n＝5或n＝﹣1（舍去），
所以直线MN的方程为x＝my+5，
此时直线MN经过定点P（5，0），
因为∠AHP＝90°，
所以动点H在以AP为直径的圆上，
该圆是以C2（2，0）为圆心，半径R＝3，
当n＝5时，，
解得，
所以直线MN的斜率或或不存在．
则动点H的轨迹所对的圆心角为120°，其长度为2π．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（2024秋 浦东新区校级期末）带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑．
（1）将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论．
【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分；
②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明．
（2）将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）答案见解析．
（2）答案见解析．
【分析】（1）根据“重心最低”原理，可转化为木棍中点到杯底距离最小，从而抽象数学问题；联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解中点坐标，并表示中点M到x轴的距离，利用双勾函数求最值即得；
（2）借助（1）结论分析可得．
【解答】解：（1）抽象出的数学问题：
已知x2＝2py（p＞0）上有一条长度为L（L＞0）的动弦AB，求AB中点M到x轴的距离的最小值．
问题解答：
设B（x2，y2），A（x1，y1），AB：y＝kx+m，
联立抛物线方程和直线AB可得，所以x2﹣2pkx﹣2pm＝0，
根的判别式Δ＝4p2k2+8pm＞0，根据韦达定理可得，
，
因此，
所以，
AB中点M（pk，pk2+m），
那么中点M到x轴的距离为：
，
令k2+1＝t，t≥1，设函数，
①当L≥2p时，函数，
当且仅当，即时，取到等号．
此时，
因此，恒过焦点；
②当0＜L＜2p时，函数f（t）在[1，+∞）上单调递增，那么．
当t＝k2+1＝1，即k＝0时，AB中点M到x轴的距离最小为．
此时直线AB斜率k＝0，所以A，B关于y轴对称．
回归实际问题，研究结论是：
当木棍长L∈[2p，+∞）时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点；
当木棍长L∈（0，2p）时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置．
（2）根据题意，小木棍长短不一，但均足够长，可以认为木棍长度L均满足L≥2p．
根据第一问可知，当L≥2p时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点．
因此将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，
它们全部交汇于同一点，交点即为抛物线的焦点．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
19．（2024秋 上城区校级月考）公元前180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles）在研究倍立方问题时独立发明了蔓叶线．已知：如图所示，平面内给定圆和直线l1：x＝2，从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线l1于点A、B，在射线OA上取一点M满足OM＝AB，则点M的轨迹为蔓叶线C2．
（1）求C2的方程；
（2）若直线l2与C2相交于P、Q、R三点，记P、Q、R三点到原点O的斜率分别为
k1、k2、k3，已知k1+k2+k3＝2．
①证明：直线l2经过定点；
②若，求直线l2的方程．
参考公式：若x1、x2、x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根，则
，，．
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）；
（2）①l2过定点（2，4）；
②3x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）设B（2，t），求出直线AB：，设M（xM，yM），再联立直线AB和圆C1，求解即可．
（2）①根据题意得出显然l2不经过原点，再设l2：mx+ny＝1，齐次化联立l2与C2结合韦达定理求解．
②结合已知和参考公式求解．
【解答】解：（1）设点B（2，t），那么AB：，设M（xM，yM），
联立AB和圆C1，解得，所以，，
根据，那么，可得，
因为，坐标代入，可得，可得，
所以C2为；
（2）①证明：显然直线l2不经过原点，设直线l2：mx+ny＝1，
齐次化联立直线l2与C2：，那么，
根据方程联立的意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为k1、k2、k3，
结合韦达定理，k1k2+k2k3+k3k1＝0，，
整理得2m+4n＝1，所以直线l2过定点（2，4）；
②根据题意，
化简得，所以，进而根据，解得，
因此直线l2：3x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查轨迹方程问题，属于中档题．
20．（2025 青浦区校级模拟）已知双曲线C：的离心率为，点（3，﹣1）在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
（3）点P（﹣4，2），直线AP交直线x＝﹣2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1﹣k2为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由见解析；
（3）证明过程见解析．
【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
（2）对直线l的斜率是否为零进行讨论，当直线l的斜率不为零时，设出直线l的方程，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、向量的坐标运算以及圆的性质进行求解即可；
（3）用A，B两点坐标表示出直线AP，得到点Q坐标，表示出k1，k2结合韦达定理，进而即可得证．
【解答】解：（1）因为双曲线C：的离心率为，且M（3，﹣1）在双曲线C上，
所以，①
又c2＝a2+b2，②
联立①②，解得a2＝8，b2＝8，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知双曲线C的左焦点为F（﹣4，0），
当直线l的斜率为0时，
此时直线l的方程为y＝0，
其与双曲线C的左支只有一个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不为0时，
不妨设直线l的方程为x＝my﹣4，
联立，消去x并整理得（m2﹣1）y2﹣8my+8＝0，
此时Δ＞0，
因为过点F作直线l交C的左支于A，B两点，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，，
所以﹣1＜m＜1，
易知，，
则
＝（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+44，
所以，
此时直线MA与MB不相互垂直，
故不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上；
（3）证明：易知直线AP的方程为y﹣2＝k1（x+4），
所以Q（﹣2，2+2k1），
此时，
又，
所以
，
因为，
所以k1my1＝y1﹣2且y1+y2＝my1y2，
此时，
故k1﹣k2为定值．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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