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高考数学押题预测 抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 烟台一模）已知为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点（﹣2，0），则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2025 鼓楼区校级开学）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C：y＝2x2上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则|OQ|的取值范围为（　　）
A． B． C．（0，1） D．（0，2）
3．（2025 安康模拟）已知抛物线y＝mx2（m＞0）的焦点为F，第一象限的点P（n，1）在抛物线上，若|FP|＝2，则m+n＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 安顺模拟）已知双曲线的渐近线与抛物线y2＝4x的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C． D．（5，0）
5．（2024秋 玄武区校级期末）已知抛物线y2＝8x上两点A，B满足，则直线AB恒过定点（　　）
A．（2，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
6．（2024秋 重庆期末）抛物线x2＝4y的准线方程为（　　）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣2 C．y＝﹣1 D．x＝﹣1
7．（2024秋 卓尼县校级期末）设F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若C上的点Q（1，m）到焦点F的距离为2，则C的准线方程为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
8．（2024秋 扬州期末）过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为1的弦AB，点A在第一象限，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 聊城一模）设动直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则（　　）
A．直线l经过一定点
B．抛物线C的焦点为
C．点P到坐标原点的距离不小于
D．△PAB的面积的最小值为
（多选）10．（2025 辽宁模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点恰好是圆F：（x﹣2）2+y2＝1的圆心，M是C上的动点，N是圆F上的动点，则（　　）
A．C的准线方程为x＝﹣1
B．|MN|的最小值为1
C．sin∠FMN的最大值为
D．若圆F上的点D满足，则点M到x轴的距离不超过
（多选）11．（2024 河南校级二模）设P是抛物线弧C：y2＝8x（y＞0）上的一动点，点F是C的焦点，A（4，4），则（　　）
A．F（2，0）
B．若|PF|＝4，则点P的坐标为（2，4）
C．|AP|+|AF|的最小值为
D．满足△PFA面积为的点P有3个
（多选）12．（2025 五华区模拟）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（　　）
A．弦AB的最小值为8
B．弦AB的中点到准线的距离小于
C．存在弦AB，使得AB的中点坐标为
D．当AB⊥OF时，|OA| |OB|＝5
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点均位于抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上，点F为Γ的焦点，若，直线BC的斜率为，则使成立的实数λ的值为 　 　．
14．（2024秋 苏州期末）抛物线C：y2＝4x焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，点P为x轴正半轴上一点，，FP＝2，则|AP| |BP|＝ 　 　．
15．（2025 常州校级模拟）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 　．
16．（2025 广东开学）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线与C交于M，N两点，且点M在点N的上方，已知E（5，0），若点M在线段FE的垂直平分线上，则直线MN的斜率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湛江一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线l1，l2，交于点P．点O为坐标原点，当△OAB为正三角形时，其面积为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线AB的距离的最小值．
18．（2025春 浙江月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上一点P1在第一象限，按照如下方式依次构造点Pn（n＝2，3…）：过点Pn﹣1作斜率为k1的直线交C于Qn﹣1，再过点Qn﹣1作斜率为k2的直线交C于点Pn．
（1）若点Q1（1，﹣2），且k1+k2＝0；
（i）求抛物线C的方程，并写出准线方程；
（ii）求直线P1P2的斜率；
（2）记Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，求Sn的表达式（用k1，k2，p表示）．
19．（2025 东昌府区校级模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线与抛物线对称轴的交点为H、P为抛物线C上的动点，当P的纵坐标为1时，取得最小值．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l1与曲线C交于A，B两点，作直线l2与曲线C交于C，D两点，E，M分别为AB，CD的中点，直线l1与l1的斜率满足k1k2＝﹣2．试判断△OEM与△MEF的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
20．（2024秋 玄武区校级期末）已知O是坐标原点，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上一点且M在第一象限，∠MFO＝120°．
（1）求线段MF的长；
（2）求△MFO的外接圆方程．
高考数学押题预测 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 烟台一模）已知为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点（﹣2，0），则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】不妨令m＞0，应用导数的几何意义求切点为A的直线斜率，再由点在切线上、抛物线上求m，列方程求p即可．
【解答】解：令m＞0，
因为，
所以，
所以切点为A的直线斜率k＝1，
此时切线为y＝x+2，
可得，
所以，
解得m＝p（负值舍去），
所以2＝p，
解得p＝4．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
2．（2025 鼓楼区校级开学）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C：y＝2x2上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则|OQ|的取值范围为（　　）
A． B． C．（0，1） D．（0，2）
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】B
【分析】由光学性质可知∠FOQ＝∠FQO，即，结合由三角不等式可得答案；
【解答】解：根据抛物线C：y＝2x2，可得，因此焦点，
如图，根据光学性质可知：入射光线FP，反射光线m∥y轴，因此∠1＝∠2，
又因为OQ∥l，因此∠FQO＝∠1，由于m∥y轴，OQ∥l，
那么有∠FOQ＝∠2，因此∠FOQ＝∠FQO，所以，
根据三角不等式可得||OF|﹣|FQ||＜|OQ|＜|OF|+|FQ|，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
3．（2025 安康模拟）已知抛物线y＝mx2（m＞0）的焦点为F，第一象限的点P（n，1）在抛物线上，若|FP|＝2，则m+n＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线，再利用定义求出m，进而求出n即可得解．
【解答】解：已知抛物线y＝mx2，
即，
又点P（n，1）在抛物线上，且|FP|＝2，
得，
解得，
又抛物线x2＝4y过点P（n，1），
则n2＝4，
又点P在第一象限，
解得n＝2，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
4．（2025 安顺模拟）已知双曲线的渐近线与抛物线y2＝4x的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C． D．（5，0）
【考点】抛物线的焦点与准线；双曲线的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由圆的性质，结合抛物线的性质求解．
【解答】解：已知双曲线，
则其渐近线的方程为：y＝±2x，
联立，
解得：，
则圆C过（0，0），（1，2），（1，﹣2）三点，
设圆C与x轴正半轴的交点的横坐标为x0，
由圆的性质可得：2×2＝1×（x0﹣1），
即x0＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了抛物线的性质，属中档题．
5．（2024秋 玄武区校级期末）已知抛物线y2＝8x上两点A，B满足，则直线AB恒过定点（　　）
A．（2，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】设出直线AB的方程，并与抛物线方程联立，由条件结合韦达定理即可求解．
【解答】解：依题意有直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+t，
联立，消去x得y2﹣8my﹣8t＝0，
Δ＝64m2+32t＞0，即2m2+t＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t，
则x1x2＝（my1+t）（my2+t）8m2t+8m2t+t2＝t2，
则，解得t＝4，
故直线AB的方程为x＝my+4，所以直线AB过定点（4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想，属于基础题．
6．（2024秋 重庆期末）抛物线x2＝4y的准线方程为（　　）
A．y＝﹣2 B．x＝﹣2 C．y＝﹣1 D．x＝﹣1
【考点】求抛物线的准线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线x2＝4y的方程可得2p＝4，所以p＝2，且焦点在y轴上，
所以抛物线的准线方程为y1，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
7．（2024秋 卓尼县校级期末）设F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若C上的点Q（1，m）到焦点F的距离为2，则C的准线方程为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【考点】根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】首先表示出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得．
【解答】解：由题可得：抛物线的准线方程为，
因为C上的点Q（1，m）到焦点F的距离为2，
所以，解得p＝2，
所以C的准线方程为x＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
8．（2024秋 扬州期末）过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为1的弦AB，点A在第一象限，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求解．
【解答】解：因为直线l的斜率为1，
所以直线l的倾斜角θ＝45°，
根据抛物线的定义可得AF，
BF，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 聊城一模）设动直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则（　　）
A．直线l经过一定点
B．抛物线C的焦点为
C．点P到坐标原点的距离不小于
D．△PAB的面积的最小值为
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意，根据直线方程和抛物线的方程即可判断选项A，B；得到过点A，B的切线方程，得到点P的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及距离公式即可判断选项C；设AB的中点为M，结合三角形面积公式即可判断选项D．
【解答】解：因为直线l的方程为y＝k（x﹣1）+2，
所以直线l一定过点（1，﹣2），故选项A正确；
易知抛物线C的焦点F（0，），故选项B错误；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
此时过点A的切线方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），
即y＝x1x﹣y1，
同理得过点B的切线方程为y＝x2x﹣y2，
所以P（，），
联立，消去y并整理得x2﹣2kx﹣2m＝0，
由韦达定理得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2m，
所以P（k，k﹣2），
所以|OP|2＝k2+（k﹣2）2＝2（k﹣1）2+2≥2，
则点P到坐标原点的距离|OP|，故选项C正确；
因为P（，），
设AB的中点为M，
此时yM＝k2﹣k+2，
所以S△ABP
3，
则△PAB的面积的最小值为3，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 辽宁模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点恰好是圆F：（x﹣2）2+y2＝1的圆心，M是C上的动点，N是圆F上的动点，则（　　）
A．C的准线方程为x＝﹣1
B．|MN|的最小值为1
C．sin∠FMN的最大值为
D．若圆F上的点D满足，则点M到x轴的距离不超过
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意可得抛物线的焦点坐标，再由抛物线的性质分别判断所给命题的真假．
【解答】解：由题意知圆F：（x﹣2）2+y2＝1的圆心坐标为（2，0），
A中，因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点恰好是圆F：（x﹣2）2+y2＝1的圆心，
所以，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，准线方程为x＝﹣2，故A错误；
B中，设M（x，y），由抛物线定义有|MF|＝xM+2，所以当xM最小时，|MF|最小，
由题意可知xM的最小值为0，所以|MF|的最小值为2，所以|MN|的最小值为2﹣1＝1，故B正确；
C中，当点M确定时，要使sin∠FMN最大，则∠FMN最大，则此时直线MN与抛物线C相切，
则，而|FN|＝1，所以当|MF|最小时，即当|MF|＝2时，sin∠FMN最大，最大值为，故C正确；
D中，设N（x1，y1），D（x2，y2），因为，
所以（x1﹣xM，y1﹣yM）＝2（x2﹣xM，y2﹣yM），
所以xM＝2x2﹣x1，yM＝2y2﹣y1，因为点M在抛物线上，
所以，又，所以，①
又点D在圆F上，所以，所以代入①式，得，
所以y1y2，所以，
所以，此方程无解，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（2024 河南校级二模）设P是抛物线弧C：y2＝8x（y＞0）上的一动点，点F是C的焦点，A（4，4），则（　　）
A．F（2，0）
B．若|PF|＝4，则点P的坐标为（2，4）
C．|AP|+|AF|的最小值为
D．满足△PFA面积为的点P有3个
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A项由抛物线方程可知；B项由抛物线定义可得；C项可利用特值举反例，D项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得．
【解答】解：对于选项A，P是抛物线弧C：y2＝8x（y＞0）上的一动点，焦点为F（2，0），故A选项正确；
对于选项B，由抛物线的定义可知：|PF|＝4＝xP+2，解得xP＝2，
∴，即点P的坐标为（2，4），故B选项正确；
对于选项C，由选项B可知，点（2，4）在抛物线弧y2＝4x（y＞0）上，设为Q，
则，
如图，可取，则，
由，又，
∴，即|AP|＜2，即，故C选项错误；
对于选项D，直线AF的斜率为，∴AF方程为y＝2（x﹣2），
，设边AF上的高为h，
若△PFA面积为，则，解得，
设点P（x0，y0），则点P到直线AF的距离即△PFA的高，
又，则，
∴或，又y0＞0，
解得或，
∴满足△PFA面积为的点P有3个（如图），故D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义的应用，属中档题．
（多选）12．（2025 五华区模拟）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（　　）
A．弦AB的最小值为8
B．弦AB的中点到准线的距离小于
C．存在弦AB，使得AB的中点坐标为
D．当AB⊥OF时，|OA| |OB|＝5
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】依题意当直线AB垂直于x轴时，弦AB的长最小，此时求出A、B的坐标，即可求出弦AB的长及|OA| |OB|的值，即可判断A、D；由梯形中位线定理、抛物线定义及构成三角形的条件可判断B；设出直线AB的方程，并与抛物线方程联立，由韦达定理及中点公式可判断C．
【解答】解：因为抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
对于A，因为直线AB过焦点F，所以当直线AB垂直于x轴时，弦AB的长最小，
此时直线AB的方程为x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，
不妨设点A在第一象限，则A（1，2），B（1，﹣2），
所以|AB|＝2﹣（﹣2）＝4，即弦AB的最小值为4，故A错；
对于B，设弦AB的中点为M，分别过点A、B、M作准线的垂线，垂足分别为A'、B'、N，
由抛物线定义有|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，
则，故B正确；
对于C，显然直线AB的斜率不为0，则设直线AB的方程为x＝my+1，
联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则y1+y2＝4m，
所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，
若存在弦AB，使得AB的中点M的坐标为，则y1+y2＝6，x1+x2＝5，
所以4m＝6，即，此时，
故不存在弦AB，使得AB的中点坐标为，故C错；
由A知，当AB⊥OF时，A（1，2），B（1，﹣2），
则，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点均位于抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上，点F为Γ的焦点，若，直线BC的斜率为，则使成立的实数λ的值为 　　．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】．
【分析】不妨设点B在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线BC的倾斜角可知AC⊥x轴，且直线AB的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可．
【解答】解：因为抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为，设点B在x轴上方，
取BC的中点D，过A，D分别作直线平行与x轴，分别交BC，AC于点N，M，
由于，结合正弦定理可得，
设|AB|＝2m，那么|BC|＝2|CD|＝2m，|AC|＝2m，
那么AD⊥BC，并且，
所以，
又由于BC的斜率为，那么BC的倾斜角为，
可得，，
那么，可得DM⊥AC，所以AC⊥x轴，
那么，可得直线AB的斜率为，
设，那么，
那么，，
所以，所以，
又由于，
且，可得，
所以，因此．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
14．（2024秋 苏州期末）抛物线C：y2＝4x焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，点P为x轴正半轴上一点，，FP＝2，则|AP| |BP|＝ 　16　．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】16．
【分析】设直线l的方程为x＝my+1，联立抛物线C：y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和定义，结合等积法，解方程可得所求值．
【解答】解：由抛物线C：y2＝4x焦点F（1，0），FP＝2，可得P（3，0），
设直线l的方程为x＝my+1，联立抛物线C：y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
设A（，y1），B（，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，（y1+y2）2﹣2y1y2＝16m2+8，
设|AP| |PB|＝t，
则 |AP| |PB|cost，即（3）（3）+y1y29（）+y1y2＝1+9﹣4﹣12m2﹣6t，
化为m2t，
由三角形的面积公式和等面积法可得|AP| |BP|sin|FP| |y1﹣y2|，
即为t，
化为t2t﹣1＝0，解得t＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．（2025 常州校级模拟）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　x2＝4y　．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】x2＝4y．
【分析】根据题意，得到抛物线C经过（﹣2，1）与两点，设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），联立方程组，求得p＝2，即可得到C的方程．
【解答】解：因为点（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）两点，
因为在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限，
即抛物线C不可能同时过和（﹣2，﹣2）两点，
所以抛物线C经过（﹣2，1）与两点，
设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），则，解得p＝2，
则C的方程为x2＝4y．
故答案为：x2＝4y．
【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，考查计算能力，属于中档题．
16．（2025 广东开学）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线与C交于M，N两点，且点M在点N的上方，已知E（5，0），若点M在线段FE的垂直平分线上，则直线MN的斜率为 　　．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由条件可得M的横坐标为3，代入抛物线方程求其纵坐标，再利用两点斜率公式求结论．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），又E（5，0），
∴线段FE的垂直平分线方程为x＝3，
由点M在线段FE的垂直平分线上可得点M的横坐标为3，
代入y2＝4x，可得y2＝12，
∴点M的纵坐标为，故，
故直线ME即直线MN的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湛江一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线l1，l2，交于点P．点O为坐标原点，当△OAB为正三角形时，其面积为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线AB的距离的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）轨迹为直线x＝﹣1，最小值为2．
【分析】（1）由题意作图，根据正三角形的性质与抛物线的性质，可得点的坐标，代入抛物线方程，可得答案；
（2）设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，设出切线方程，联立抛物线方程，写出根的判别式为零，进而求得切线的交点的坐标，利用点到直线距离公式，可得答案．
【解答】解：（1）因为△OAB为正三角形时，其面积为，可得△OAB的边长．
根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B关于x轴对称，如图，
则点A的坐标为．
将点A代入抛物线的方程可得48＝24p，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）由抛物线方程可得F（1，0），显然直线AB的斜率不为0，
则设直线AB的方程为x＝my+1，
联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，
Δ＝（﹣4m）2+4×4＝16（m2+1）＞0，
设点A，B的坐标分别为，，则y1+y2＝4m，y2＝﹣4．
设直线l1的方程为．
因为l1是抛物线C的切线，所以l1与C仅有一个交点．
联立，消去x得，
，所以，
所以直线l1的方程为，
同理可得直线l2的方程为．
联立l1与l2的方程可得，即可得，
即点P的横坐标为﹣1，所以动点P的轨迹为直线x＝﹣1．
将点P的横坐标代入直线l1及l2，可得其纵坐标为以及，
两者相加可得，代入上述韦达定理可得y＝2m，
所以点P的坐标为（﹣1，2m），
所以点P到直线AB的距离，
当且仅当m＝0时等号成立，
所以点P到直线AB的距离的最小值为2．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
18．（2025春 浙江月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上一点P1在第一象限，按照如下方式依次构造点Pn（n＝2，3…）：过点Pn﹣1作斜率为k1的直线交C于Qn﹣1，再过点Qn﹣1作斜率为k2的直线交C于点Pn．
（1）若点Q1（1，﹣2），且k1+k2＝0；
（i）求抛物线C的方程，并写出准线方程；
（ii）求直线P1P2的斜率；
（2）记Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，求Sn的表达式（用k1，k2，p表示）．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）（i）抛物线C：y2＝4x，准线x＝﹣1；（ii）1；
（2）Sn．
【分析】（1）（i）由Q1（1，﹣2）代入抛物线方程，求出p，即可得解；（ii）依题意可得直线P1P2的方程为x＝my+b，联立直线与抛物线方程，即可得到y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，从而计算得出（m﹣1）（2m﹣b+1）＝0即可计算；
（2）先设再联立得出 ，求出点，再由向量的三角形面积公式计算可得．
【解答】解：（1）（i）Q1（1，﹣2）在抛物线C上，代入，求得p＝2，
所以抛物线C：y2＝4x，准线x＝﹣1．
（ii）设直线P1P2：x＝my+b，P1（x1，y1），P2（x2，y2），
联立直线与抛物线，
得y2﹣4my﹣4b＝0，Δ＝16m2+16b＞0，
由韦达定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，
由于k1+k2＝0，
则，
整理可得2my1y2+（2m+b﹣1）（y1+y2）+4（b﹣1）＝0．
将y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b代入可得（m﹣1）（2m﹣b+1）＝0，
当2m﹣b+1＝0时，直线P1P2过Q1（1，﹣2），不符合题意，舍去，
因此m＝1，则直线P1P2的斜率为1．
（2）设，令，
则直线，
联立直线方程与抛物线方程，消去x，可得，
由韦达定理可知：，
则，
则直线，
联立，
可得，
由韦达定理：，
，
则，
同理可得，
，
，
．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（2025 东昌府区校级模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线与抛物线对称轴的交点为H、P为抛物线C上的动点，当P的纵坐标为1时，取得最小值．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l1与曲线C交于A，B两点，作直线l2与曲线C交于C，D两点，E，M分别为AB，CD的中点，直线l1与l1的斜率满足k1k2＝﹣2．试判断△OEM与△MEF的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【考点】抛物线的定点及定值问题；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x2＝4y；
（2）是定值，．
【分析】（1）利用抛物线的定义，得到，从而有PH与抛物线相切时，取得最小值，再利用导数的几何意义及过两点切线的斜率，即可求解；
（2）设直线AB的方程y＝k1x+1，联立直线与抛物线方程，利用根与系数间的关系，求得，同理可得，法一，设直线EM的方程为mx+ny＝1，结合条件，利用，在直线上，得，从而直线EM过定点（0，5），即可求解．
【解答】解：（1）过点P作准线的垂线，垂足为G，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PG|，
所以，
所以当取得最小值，∠PHG取得最小值，
此时PH与抛物线相切于点P，
设，
因为，
所以，
解得p＝2，
则抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设直线AB的方程为y＝k1x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣4k1x﹣4＝0，
由韦达定理得x1+x2＝4k1，
所以，
同理得，
设直线EM的方程为mx+ny＝1，
此时，
即，
同理得，
所以k1，k2是方程2nk2+2mk+n﹣1＝0的两个根，
所以，
解得，
则直线EM的方程为，
所以直线EM过定点（0，5），
设点O与F到直线EM的距离分别为h1和h2，
此时，
则．
故△OEM与△MEF的面积之比是定值，定值为．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 玄武区校级期末）已知O是坐标原点，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上一点且M在第一象限，∠MFO＝120°．
（1）求线段MF的长；
（2）求△MFO的外接圆方程．
【考点】抛物线的焦点三角形；抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）8；
（2）．
【分析】（1）由已知可得直线MF的倾斜角为60°，F（2，0），则直线MF的方程为，将直线MF的方程代入到抛物线y2＝8x，然后结合抛物线的定义求解即可；
（2）由（1）可得：，又△MFO的外接圆圆心在直线x＝1上，设△MFO的外接圆方程为（x﹣1）2+（y﹣a）2＝1+a2，将代入求解即可．
【解答】解：（1）已知O是坐标原点，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上一点且M在第一象限，∠MFO＝120°．
则直线MF的倾斜角为60°，F（2，0），
则直线MF的方程为，
将直线MF的方程代入到抛物线y2＝8x，
消y可得：3x2﹣20x+12＝0，
则x1＝6，，
又xM＞xF＝2，
即xM＝6，
则线段MF的长为6+2＝8；
（2）由（1）可得：，
又△MFO的外接圆圆心在直线x＝1上，
设△MFO的外接圆方程为（x﹣1）2+（y﹣a）2＝1+a2，
又点在圆上，
则，
即△MFO的外接圆方程为．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了三角形外接圆方程的求法，属中档题．
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