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高考数学押题预测 平面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湛江一模）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．5
2．（2025 五华区模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为（　　）（单位：米，1.414）
A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42
3．（2025 武威模拟）与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝4，b＝5，且，则△ABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 重庆模拟）正六边形ABCDEF中，用和表示，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 贵阳模拟）设（1，1），||，0，则||＝（　　）
A．1 B． C． D．2
8．（2025 榆林模拟）已知向量，满足||，||＝2，且⊥（），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 宝鸡模拟）已知向量，，则下列结论正确的有（　　）
A．若∥，则
B．若，则
C．若与的夹角是，则
D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是
（多选）10．（2025 新疆二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　）
A．c＜b B．C＝2B C． D．
（多选）11．（2025 社旗县校级开学）在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则（　　）
A．
B．四边形ABCD的面积为
C．
D．
（多选）12．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）在△ABC中，若，AB＝2，AC＝4，则BC的长为 　 　．
14．（2025 青浦区校级模拟）已知（1，1），（2，﹣4），则在上的数量投影是 　 　．
15．（2025 武威模拟）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2，bsinC＝csin2B，则△ABC的面积为 　 　．
16．（2025 青浦区校级模拟）已知正三棱锥P﹣ABC，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湛江一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinB+bcos∠BAC＝b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若AD，a＝7，求△ABC的周长．
18．（2025春 浙江月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB＝c﹣a，点A与D分别在直线BC的两侧，且CD＝BD＝1．
（1）求证：B＝2A；
（2）若ACBC，∠BCD，求AD．
19．（2025春 济南月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos2B＝2cos2C+3sinBsinC．
（1）求证：c＝2b；
（2）若D为BC的中点，，b＝2，求△ABC的面积．
20．（2025 重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若b＝4，，求△ABC的周长．
高考数学押题预测 平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湛江一模）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．5
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据垂直向量的数量积的坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案．
【解答】解：因为，所以，解得m＝2，所以．
故选：C．
【点评】本题考查向量垂直的坐标运算，向量的模，属于基础题．
2．（2025 五华区模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为（　　）（单位：米，1.414）
A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合正弦定理求得BC，然后结合锐角三角函数定义可求得塔高AB．
【解答】解：由题意，在△BCD中，∠CBD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
由正弦定理得，
即，解得，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
所以AB＝BCtan60°42.42（米）．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理及三角函数定义的应用，属基础题．
3．（2025 武威模拟）与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量中的零向量与单位向量．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】反向单位向量即为，代入计算即可．
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
【点评】本题考查了单位向量的计算，属于中档题．
4．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝4，b＝5，且，则△ABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由正弦定理，可得a，b，c之间的关系，根据余弦定理bcosC+ccosB＝a即得a，进而可得c的值，再根据余弦定理cosC的值，利用sin2C+cos2C＝1可得sin的值，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为bcosC+ccosB＝4，b＝5，
因为，由正弦定理可得3，即b+c＝3a，
bcosC+ccosB＝4，由余弦定理可得b c 4，
即a＝4，
所以c＝3a﹣b＝12﹣5＝7，
可得cosC，所以sinC，
所以S△ABCabsinC4×54．
所以△ABC的面积为4．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
5．（2025 重庆模拟）正六边形ABCDEF中，用和表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】可画出图形，延长CD，延长AE，设交于点H，根据ABCDEF是正六边形可得出EH＝AE，DH＝2CD，然后根据向量减法和数乘的几何意义和向量数乘的运算即可用表示出．
【解答】解：如图，延长CD，设交AE的延长线于点H，
∵∠EDH＝60°，∠DHE＝30°，∴，且，
∴DH＝2CD，AE＝EH，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．
6．（2025 山东模拟）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【答案】D
【分析】根据题意得：，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求
【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题
7．（2025 贵阳模拟）设（1，1），||，0，则||＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由平面向量模的运算，结合勾股定理求解．
【解答】解：设（1，1），
则，
又||，0，
则||．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
8．（2025 榆林模拟）已知向量，满足||，||＝2，且⊥（），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：||，||＝2，且⊥（），
则30，
解得，
因为∈[0，π]，
所以与的夹角为．
故选：D．
【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 宝鸡模拟）已知向量，，则下列结论正确的有（　　）
A．若∥，则
B．若，则
C．若与的夹角是，则
D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB；利用向量数量积的运算律判断C；利用投影向量的定义判断D．
【解答】解：因为向量，，
若，则，
解得，故A正确；
若，则，
解得，故B正确；
若与的夹角是，因为，，
所以，
所以，故C正确；
若与的方向相反，所以，
所以在上的投影向量为，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查平面向量平行与垂直的性质，考查数量积的运算及投影向量的求法，属中档题．
（多选）10．（2025 新疆二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　）
A．c＜b B．C＝2B C． D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据已知条件证出c2＞b2，可得c＞b，由此判断出A项的正误；运用正弦定理与余弦定理化简已知等式，推导出sinC＝sin2B，进而判断出B项的正误；由选项B的结论算出B+C＝3B∈（0，π），进而求出角B的取值范围，可判断C项的正误；由正弦定理与三角恒等变换公式，结合C＝2B化简得3﹣4sin2B，结合算出的取值范围，即可判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，因为c2＝b（a+b）＝ab+b2＞b2，所以c＞b，可知A项错误．
对于B，根据c2＝b（a+b）＝ab+b2，结合余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得c2＝ab+a2+c2﹣2accosB，整理得cosB，
由正弦定理得，所以sinC＝2sinBcosB＝sin2B，
结合B、C为三角形的内角，可得C＝2B或C+2B＝π．
当C+2B＝π时，可得A＝B，即a＝b，此时c2＝b（a+b）＝2a2，可得ca，
所以a：b：c＝1：1：，可知△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形，
可得C，B，满足C＝2B，故B项正确．
对于C，由C＝2B，得B+C＝3B∈（0，π），所以，故C项正确．
对于D，由正弦定理，得，
结合C＝2B，可得
＝1﹣2sin2B+2（1﹣sin2B）＝3﹣4sin2B，
因为，可得sinB∈（0，），
所以sin2B∈（0，），可得3﹣4sin2B∈（0，3），即，故D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
（多选）11．（2025 社旗县校级开学）在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则（　　）
A．
B．四边形ABCD的面积为
C．
D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】ABD
【分析】选项A，在△ABD，△BCD分别使用余弦定理BD2＝AB2+AD2﹣2AB×ADcosA，BD2＝CB2+CD2﹣2CB×CDcosC求解即可；
选项B，SABCD＝S△ABD+S△CBD结合面积公式，即得解；
选项C，转化利用数量积的定义求解即可；
选项D，转化，，利用数量积的定义求解即可．
【解答】解：由圆内接四边形的性质可得：
∠A+∠C＝π，故cosA＝﹣cosC，
在△ABD中，由余弦定理BD2＝AB2+AD2﹣2AB×ADcosA，
在△BCD中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB×CDcosC，
因为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，
故22+42﹣2×2×4cosA＝62+42+2×6×4cosA，解得，
故BD2＝22+42﹣2×2×4cosA＝28，解得，A正确；
又A∈（0，π），故，
S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBDAB×ADsinACD×CBsinC2×44×68，所以B正确；
在△ABD中，cos∠ABD，
在△BCD中，cos∠CBD，
（） || ||cos∠BAD+||2×226，所以C错误；
，
又
，故，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（x+4，x），（x，2），
若⊥，
则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，
故x＝0是⊥的充分条件，故A正确；x＝﹣6是⊥的非必要条件，故B错误；
若，
则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，
故是x＝4的必要条件，故C正确；不是x＝﹣2的充分条件，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）在△ABC中，若，AB＝2，AC＝4，则BC的长为 　　．
【考点】余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由余弦定理即可求解．
【解答】解：△ABC中，若，AB＝2，AC＝4，
由余弦定理可得，，
所以，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
14．（2025 青浦区校级模拟）已知（1，1），（2，﹣4），则在上的数量投影是 　　．
【考点】平面向量的数量投影．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据数量投影的知识求得正确答案．
【解答】解：（1，1），（2，﹣4），
则在上的数量投影是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数量投影的求解，属于基础题．
15．（2025 武威模拟）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2，bsinC＝csin2B，则△ABC的面积为 　　．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】由余弦二倍角公式结合正弦定理得到A＝C，再由bsinC＝csin2B，得到，即可求解．
【解答】解：在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
若，b＝2，bsinC＝csin2B，
由，
可得：，
即2acosC＝b，
即2sinAcosC＝sinB＝sin（A+C），
即sinAcosC﹣cosAsinC＝0，
化简可得：sin（A﹣C）＝0，又，
可得：A＝C，
由bsinC＝csin2B，可得sinBsinC＝2sinCsinBcosB，
因为sinB≠0，sinC≠0，
所以，即，
所以锐角三角形ABC为等边三角形，
所以△ABC的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦二倍角公式和正弦定理，属于中档题．
16．（2025 青浦区校级模拟）已知正三棱锥P﹣ABC，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 　[4，14]　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】[4，14]．
【分析】设O为BC中点，先由题设得和||＝1，进而得点M在以O为球心，半径为1的球上，设，θ∈[0，π]，再将转化成（） ，即可计算求解．
【解答】解：如图，
O为BC中点，则由题意PO⊥BC，且，
所以，
因为，则，||＝1，
即点M在以O为球心，以半径为1的球上，
设，则θ∈[0，π]，
所以 （） 9+|| ||cosθ＝9+1×5cosθ＝9+5cosθ∈[4，14]．
故答案为：[4，14]．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 湛江一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinB+bcos∠BAC＝b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若AD，a＝7，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）15．
【分析】（1）由正弦定理得，进而可得，根据辅助角公式可得∠BAC的大小．
（2）由题意可得S△ABC＝S△ABD+S△ADC，从而可得，由余弦定理求得b+c＝8，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵asinB+bcos∠BAC＝b，
∴由正弦定理得．
又∵sinB≠0，∴，
∴，
又∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC∈（，），
∴∠BAC，
∴．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，
∴，
，
∴，
即．①
由余弦定理得，
即49＝（b+c）2﹣bc．②
将①代入②得8（b+c）2﹣15（b+c）﹣8×49＝0，
∴b+c＝8，（舍去），
∴△ABC的周长为a+b+c＝7+8＝15．
【点评】本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（2025春 浙江月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB＝c﹣a，点A与D分别在直线BC的两侧，且CD＝BD＝1．
（1）求证：B＝2A；
（2）若ACBC，∠BCD，求AD．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先应用正弦定理得出2sinA cosB＝sinC﹣sinA，再结合两角和差的正弦公式，最后结合角的范围即可证明；
（2）应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵2acosB＝c﹣a，
∴2sinA cosB＝sinC﹣sinA，
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinA cosB＝sinA cosB+cosA sinB﹣sinA，
∴sinB cosA﹣cosB sinA＝sinA，
∴sin（B﹣A）＝sinA，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴B﹣A＝A或（B﹣A）+A＝π，
∴B＝2A或B＝π（舍去），
∴B＝2A；
（2）解：在△ABC中，∵，
∴，∴，∴，
在△BCD中，∵，
∴BC＝1，∴AB＝2BC＝2，
在△ABD中，由余弦定理得可得4+1﹣2×2×1×（）＝7，
即．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
19．（2025春 济南月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos2B＝2cos2C+3sinBsinC．
（1）求证：c＝2b；
（2）若D为BC的中点，，b＝2，求△ABC的面积．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2c2﹣3bc﹣2b2＝0，解方程即可证明；
（2）过点B，C分别作AD的垂线，垂足分别为E，F．设DF＝x，求相应长度，利用勾股定理解得，即可得面积．
【解答】（1）证明：由2cos2B＝2cos2C+3sinBsinC，
可得2（1﹣sin2B）＝2（1﹣sin2C）+3sinBsinC，
整理可得2sin2C﹣3sinBsinC﹣2sin2B＝0，
由正弦定理得2c2﹣3bc﹣2b2＝0，
解得c＝2b，或舍去），
所以c＝2b；
（2）解：由（1）得c＝2b＝4，
如图，过点B，C分别作AD的垂线，垂足分别为E，F，
由b＝2，，可得CF＝1，，
又因为D为BC的中点，可得△BDE≌△CDF，
则BE＝CF，DE＝DF，设DF＝x，
则在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2﹣AE2＝BE2，
即，解得，
可得，
所以．
【点评】本题考查倍角公式、正弦定理及三角形中的几何计算等知识，属中档题．
20．（2025 重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若b＝4，，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正弦定理，余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
（2）由辅助角公式及角B的范围，可得角B的大小，再由正弦定理可得a，c的值，可得该三角形的周长．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为，由正弦定理可得：，
整理可得：b2+c2﹣a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得b2+c2﹣a2＝2bccosA，
所以可得cosA，
又因为0＜A＜π，
所以；
（2）由，可得，
又B∈（0，π），所以，
得到，即，
所以，
sinC＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B），
，
又b＝4，
由正弦定理得，得到，
解得，，
故△ABC的周长为．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
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