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高考数学押题预测 双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 武威模拟）已知双曲线C的焦点为，，过点F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若|BF2|＝2|F2A|，|AB|＝|AF1|，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 五华区模拟）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点F1，已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时，cos∠F1F2P＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 浙江月考）已知双曲线C：x21的右焦点为F，过F且倾斜角为30°的直线交双曲线C的两条渐近线于D，E两点，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 重庆模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得（0＜λ＜1）．A为左支上一点且满足，，△AF2P的面积为b2，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 盐山县校级一模）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
6．（2025春 河南月考）双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±5x B．y＝±x C． D．
7．（2025 香坊区校级开学）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 市中区校级模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 雨花区校级月考）设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，F是双曲线C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值可以是（　　）
A． B． C． D．3
（多选）10．（2025 涟水县校级开学）已知动点M是双曲线上的点，点F1，F2是C的左，右焦点，A，B是双曲线C的左，右顶点，下列结论正确的是（　　）
A．若MF1⊥MF2，则△MF1F2的面积为4
B．点M到两渐近线的距离之积为
C．点M在双曲线的右支时，的最大值为
D．设△MAB的面积为S，则S tan∠AMB为定值
（多选）11．（2025 江西模拟）已知双曲线与，则C1与C2的（　　）
A．离心率相等 B．渐近线相同
C．焦点坐标相同 D．焦距相等
（多选）12．（2024秋 武汉期末）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥n，则|PF1| |PF2|＝16
B．当反射光线n过Q（7，5）时，光由F2→P→Q所经过的路程为7
C．反射光线n所在直线的斜率为k，则
D．记点T（1，0），直线PT与C相切，则|PF2|＝12
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）双曲线（a＞0）的焦点为F1、F2，且P为该双曲线上一点，若|PF1|＝10，|PF2|＝6，则该双曲线的离心率为 　 　．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）双曲线E与双曲线共渐近线且过点，则E的标准方程为 　 　．
15．（2025 海淀区校级开学）如图，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且AF1∥BF2，|AF1|：|AF2|：|BF2|＝1：2：3，则该双曲线的渐近线方程为 　 　．
16．（2024秋 威海期末）已知双曲线E：1（b＞a＞0）的半焦距为c，直线l过点（a，0）且与E的一条渐近线平行，若原点到l的距离为c，则E的离心率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 资中县校级期末）已知F1，F2是双曲线C：的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，若四边形AF1BF2的面积为2，求|AB|．
18．（2025 市中区校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，点（3，﹣1）在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若O是坐标原点，|MN|＝8，求△MON的面积．
19．（2024秋 邯郸期末）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，且焦点到渐近线的距离为2．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线（垂足为M）交直线PF2于点Q，|F1F2|＝4|OM|（O为坐标原点）．过右焦点F2的直线交双曲线的右支于C，D两点，记△CF1F2，△DF1F2的内切圆的圆心分别为O1，O2．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角θ的取值范围．
（Ⅱ）（i）证明：O1，O2在一条定直线上．
（ii）求O1，O2到右顶点B的距离之差的取值范围．
20．（2025 淄博模拟）已知双曲线，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）点F1，F2分别是双曲线C的左右焦点，过点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程．
高考数学押题预测 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 武威模拟）已知双曲线C的焦点为，，过点F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若|BF2|＝2|F2A|，|AB|＝|AF1|，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由过点F2的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解．
【解答】解：因为双曲线C的焦点坐标为，
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），所以，
当过点F2的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示，
由|BF2|＝2|F2A|，|AB|＝|AF1|，设|BF2|＝2|F2A|＝2t，
则|AB|＝|AF1|＝3t，由双曲线的定义知|AF1|﹣|AF2|＝3t﹣t＝2t＝2a，所以t＝a，|BF1|＝4a，
在△BAF1中，|AB|＝|AF1|＝3a，|BF1|＝4a，
，
在△F2AF1中，，
即，解得a2＝3，b2＝c2﹣a2＝4，
所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：；
当过点F2的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示，
由|BF2|＝2|F2A|，|AB|＝|AF1|，得|AB|＝|AF1|＝|AF2|，
与双曲线定义不符，故此种情况不成立，
综上，双曲线的渐近线方程为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义及性质，属于中等题．
2．（2025 五华区模拟）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点F1，已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时，cos∠F1F2P＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；综合法；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意，根据离心率公式推出ca，a＝b，设出双曲线的标准方程，结合勾股定理求解即可．
【解答】解：因为双曲线的离心率e，
所以ca，
又a2+b2＝c2，
所以a＝b，
设双曲线的标准方程为x2+y2＝1，
设|PF1|＝m（m＞0），
此时|PF2|＝2+m，
易知，
解得m1或m1（舍去），
则cos∠F1F2P．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
3．（2025春 浙江月考）已知双曲线C：x21的右焦点为F，过F且倾斜角为30°的直线交双曲线C的两条渐近线于D，E两点，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据渐近线的倾斜角可得∠FDO＝90°，根据全等即可求解．
【解答】解：由双曲线C：x21，可知，渐近线方程为，则两条渐近线倾斜角分别为60°和120°；
直线DE的倾斜角为30°，且经过右焦点F，所以该直线与其中一条渐近线垂直．
令∠FDO＝90°，易得△DEO≌△DFO，则．
故选：A．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．
4．（2025 重庆模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得（0＜λ＜1）．A为左支上一点且满足，，△AF2P的面积为b2，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的焦点三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】首先根据焦点三角形AF2P的面积为 b2，得到，过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形F1F2BA是平行四边形，根据 ，得到，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m+2a，|AF1|＝|F2B|＝m，|F2Q|＝3m，|F1Q|＝3m+2a，|PQ|＝4m，利用勾股定理得到10a2＝4c2，即可得到双曲线的离心率．
【解答】解：如图所示：
因为足，所以四边形PF1AF2是平行四边形，
因为|PF1|2+|PF2|2﹣2PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
，
，所以，
所以sin∠F1PF2
b2，所以∠F1PF2，
过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形F1F2BA是平行四边形，
因为，所以（），
又，所以有，
设|PF2|＝m，则|PF1|＝m+2a，|AF1|＝|F2B|＝m，|F2Q|＝3m，|F1Q|＝3m+2a，|PQ|＝4m．
在Rt△PF1Q中，由，得（m+2）2+（4m）2＝（3m+2a）2，
解得m＝a．
在Rt△PF1F2中，由，（3a）2+a2＝（2c）2，得10a2＝4c2，所以离心率，
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与双曲线相交问题，考查焦点三角形的面积公式，属中档题．
5．（2025 盐山县校级一模）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；作差法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】分别设出A、B及AB的中点坐标，利用点差法求出的范围，结合选项得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x0，y0），
则，，
两式作差得：，
整理得：，
由题意可得﹣33，则或．
结合选项可得，可为线段AB中点的是（﹣1，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，训练了点差法的应用，是中档题．
6．（2025春 河南月考）双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±5x B．y＝±x C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】化双曲线方程为标准式，再由渐近线方程的定义求解．
【解答】解：由双曲线，得5x2﹣y2＝5，即，
则a＝1，b，可得渐近线方程为y．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，是基础题．
7．（2025 香坊区校级开学）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．
【解答】解：设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，
则1，则y02＝2 ，
又2，
即为 2c |2y0|2，
即为，则，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．
8．（2025 市中区校级模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立坐标系，求出M，E坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求余弦值即可．
【解答】解：设EF交OB于N，
以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高|PO|＝|O′N|＝2，M是PB中点，且截面垂直于底面，
所以，所以M（1，0），
又因为底面圆半径|OB|＝4，
所以，所以，
设双曲线方程为，
将，代入解得，
则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 雨花区校级月考）设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，F是双曲线C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值可以是（　　）
A． B． C． D．3
【考点】双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】将直线AB方程与双曲线方程联立，可得交点坐标，据此可表示出△ABF的面积，然后结合题意可得答案．
【解答】解：如图，设F是双曲线C的右焦点，
又直线AB过原点且倾斜角为60°，
则直线AB的方程为，
联立，
可得，且b2＞3a2，
所以，
因为，△ABF的面积大于，
所以，即，
则，即，
可得7a2＞c2，
解得，
又因为b2＞3a2，则4a2＜c2．
解得e＞2，
综上，．
结合选项可知，只有BC选项满足题意．
故选：BC．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 涟水县校级开学）已知动点M是双曲线上的点，点F1，F2是C的左，右焦点，A，B是双曲线C的左，右顶点，下列结论正确的是（　　）
A．若MF1⊥MF2，则△MF1F2的面积为4
B．点M到两渐近线的距离之积为
C．点M在双曲线的右支时，的最大值为
D．设△MAB的面积为S，则S tan∠AMB为定值
【考点】双曲线的焦点三角形；双曲线的其他性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解，由面积公式即可求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得|MF1|﹣5＝|MF2|+1，即可消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即可求解D．
【解答】解：对于选项A：因为动点M是双曲线上的点，
点F1，F2是C的左，右焦点，A，B是双曲线C的左，右顶点
所以a＝3，b，c，且|MF1|﹣|MF2|＝±2a＝±6，
若MF1⊥MF2，则，
所以，
所以68﹣2|MF1||MF2|＝36，所以|MF1||MF2|＝16，
所以△MF1F2的面积为8，所以A选项错误；
对于选项B：设点M（x0，y0），因为M是双曲线上的点，
所以，所以，
又双曲线渐近线为，
所以M到两渐近线的距离之积为，所以B选项正确；
对于选项C：因为|MF1|﹣|MF2|＝2a＝6，所以|MF1|﹣5＝|MF2|+1，
所以，
因为，所以在单调递增，
则当时，取最大值，所以C选项错误；
对于选项D：不妨设点M在x轴上方，则y0＞0，
则，
又，，
故，又，
故；
当点M在x轴下方时，同理可得；
综上所述：S tan∠AMB为定值，所以D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属难题．
（多选）11．（2025 江西模拟）已知双曲线与，则C1与C2的（　　）
A．离心率相等 B．渐近线相同
C．焦点坐标相同 D．焦距相等
【考点】双曲线的离心率；求双曲线的渐近线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用双曲线C1与C2的方程，利用双曲线几何性质求得离心率，渐近线方程，焦点坐标，焦距可得结论．
【解答】解：对于选项A，由双曲线C1：，可得，
∴C1的离心率是，
由双曲线C2：，可得，
∴C2的离心率是，
∴C1与C2的离心率都是，故A选项正确；
对于选项B，C1的渐近线方程为，C2的渐近线方程是，故B选项正确；
对于选项C，C1与C2的焦点坐标分别为，，故C选项错误；
对于选项D，C1与C2的焦距分别为，，故D选项错误．
故选：AB．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，渐近线方程的求法，焦点坐标的求法，是基础题．
（多选）12．（2024秋 武汉期末）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥n，则|PF1| |PF2|＝16
B．当反射光线n过Q（7，5）时，光由F2→P→Q所经过的路程为7
C．反射光线n所在直线的斜率为k，则
D．记点T（1，0），直线PT与C相切，则|PF2|＝12
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A：判断出∠F1PF2＝90°，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为y＝k（x﹣1），（k＞0），利用相切解得，进而求出，即可求出|F2P|．
【解答】解：对于A：若m⊥n，则∠F1PF2＝90°，
因为P在双曲线右支上，所以|F1P|﹣|F2P|＝6，由勾股定理得：，
二者联立解得：，故A错误；
对于B：光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|+|PQ|＝|F1P|﹣2a+|PQ|＝|F1Q|﹣2a6＝7，故B正确；
对于C：双曲线的方程为，
设左、右顶点分别为A，B，如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k＝0，最小，
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为，即，故C正确；
对于D：设直线PT的方程为y＝k（x﹣1），（k＞0），
，消去y可得：（16﹣9k2）x2+18k2x﹣9k2﹣144＝0，
其中Δ＝（18k2）2﹣4（16﹣9k2）（﹣9k2﹣144）＝0，即1152k2＝2304，解得，
代入（16﹣9k2）x2+18k2x﹣9k2﹣144＝0，有﹣2x2+36x﹣162＝0，解得：x＝9，
由P在双曲线右支上，即，解得：舍去），所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）双曲线（a＞0）的焦点为F1、F2，且P为该双曲线上一点，若|PF1|＝10，|PF2|＝6，则该双曲线的离心率为 　　．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】先根据双曲线的定义求a，再根据a，b，c的关系求c，再利用求双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线（a＞0）的焦点为F1、F2，且P为该双曲线上一点，若|PF1|＝10，|PF2|＝6，
根据双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝10﹣6＝4，所以a＝2．
又c2＝a2+b2＝4+1＝5，所以．
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何特征相关知识，属于中档题．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）双曲线E与双曲线共渐近线且过点，则E的标准方程为 　　．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据两个双曲线共渐近线，设双曲线E的方程为（λ≠0），再代入点P的坐标，即可求双曲线方程．
【解答】解：由题意可设双曲线E的方程为（λ≠0），
把代入，得，解得λ＝﹣4，
则双曲线方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，由题意设双曲线E的方程为（λ≠0）是关键，是基础题．
15．（2025 海淀区校级开学）如图，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且AF1∥BF2，|AF1|：|AF2|：|BF2|＝1：2：3，则该双曲线的渐近线方程为 　　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】连接BF1，根据双曲线定义及题干知|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|BF2|＝6a，|BF1|＝8a，根据AF1∥BF2，得cos∠AF1F2＝﹣cos∠BF2F1，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解渐近线方程．
【解答】解：如图，连接BF1，
∵|AF2|＝2|AF1|，
∴由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝|AF1|＝2a，
则|AF2|＝4a，|BF2|＝6a，|BF1|＝|BF2|+2a＝8a，
在△AF1F2中，，
在△BF1F2中，，
∵AF1∥BF2，∴∠AF1F2+∠BF2F1＝180°，
得cos∠AF1F2＝﹣cos∠BF2F1，
∴，
得c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，∴，
∴该双曲线的渐近线方程为，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
16．（2024秋 威海期末）已知双曲线E：1（b＞a＞0）的半焦距为c，直线l过点（a，0）且与E的一条渐近线平行，若原点到l的距离为c，则E的离心率为 　　．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】可设直线l的方程为y，利用点到直线的距离公式，计算可得，再根据双曲线离心率的计算公式即可得解．
【解答】解：不妨设直线l过点（a，0）且与E的渐近线y平行，
则直线l的方程为y，即bx﹣ay﹣ab＝0，
因为原点到l的距离为c，
所以c，整理得，即（）（a）＝0，
解得或，
又b＞a＞0，所以，
所以E的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的几何性质，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 资中县校级期末）已知F1，F2是双曲线C：的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，若四边形AF1BF2的面积为2，求|AB|．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；求双曲线的渐近线方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）易知A，B两点关于原点为O对称，设出A，B两点的坐标，结合三角形面积公式和弦长公式求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线的两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的，
所以，
解得a＝2，b＝1，，
则双曲线的离心率；
（2）因为直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，
所以A，B两点关于原点为O对称，
设A（x0，y0），
可得B（﹣x0，﹣y0），
此时|OF1|＝|OF2|，
所以△AOF2的面积S，
解得|y0|＝1，
因为点A在双曲线上，
所以．
则．
【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
18．（2025 市中区校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，点（3，﹣1）在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若O是坐标原点，|MN|＝8，求△MON的面积．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）32．
【分析】（1）由题意可得，进而可得双曲线方程；
（2）当m＝0时，易知|MN|＝8，不合题意，当m≠0时，联立直线方程和渐近线方程可得，进而可得，进而由可得，进而求解．
【解答】解：（1）根据双曲线C的离心率为，且点（3，﹣1）在双曲线C上，
那么，解得b2＝8，a2＝8，
因此双曲线C为．
（2）如图，
设N（x2，y2），M（x1，y1），
根据第一问可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，左焦点为F（﹣4，0），
因此可设直线l的方程为x＝my﹣4，
当m＝0时，易知|MN|＝8，不合题意，所以m≠0．
根据，可得，其中0＜m2＜1，
因此，
，解得（舍去）或，
所以|y1﹣y2|＝16，因此．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
19．（2024秋 邯郸期末）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，且焦点到渐近线的距离为2．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线（垂足为M）交直线PF2于点Q，|F1F2|＝4|OM|（O为坐标原点）．过右焦点F2的直线交双曲线的右支于C，D两点，记△CF1F2，△DF1F2的内切圆的圆心分别为O1，O2．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角θ的取值范围．
（Ⅱ）（i）证明：O1，O2在一条定直线上．
（ii）求O1，O2到右顶点B的距离之差的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）双曲线的标准方程为，；
（Ⅱ）（i）证明见解答；（ii）．
【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质可求得b，由角平分线的性质及中位线的性质可得a，c的关系，由双曲线中a，b，c的关系即可求解a，c的值，进而可得双曲线的标准方程，通过直线与双曲线方程联立，介个韦达定理和判别式求解直线斜率的范围，进而得到倾斜角的范围；
（Ⅱ）（i）利用双曲线的定义和内切圆的性质，证明O1，O2的横坐标均为a，即它们在直线x＝a上；
（ii）当CD的倾斜角时，O1，O2的横坐标与右顶点B相同，它们到B的距离之差为0．当时，利用三角恒等变换及正切函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离均为b，所以，
由角平分线的性质可知||PF1|﹣|PF2||＝|QF2|＝2a，
在△QF1F2中，OM是中位线，所以|OM|＝a，
因为|F1F2|＝4|OM|，所以c＝2a，
又a2+b2＝c2，解得a＝2，c＝4，
则双曲线的标准方程为，
易知F2（4，0），渐近线的倾斜角分别为，
接下来对直线CD的情况进行分类讨论，
当CD是通径时，其倾斜角；
当CD不是通径时，设直线方程为y＝k（x﹣4），
联立，得（k2﹣3）x2﹣8k2x+16k2+12＝0，
此时Δ＞0，由韦达定理得，，
所以k2＞3，解得或，
综上所述，；
（Ⅱ）（i）证明：设C在第一象限内，△CF1F2内切圆与CF1，CF2，F1F2的切点分别为R，S，T，
则|CR|＝|CS|，F1R|＝|F1T|，|F2S|＝|F2T|，所以|CF1|﹣|CF2|＝|TF1|﹣|TF2|＝2|OT|＝2a＝2|OB|，
因此，切点T是右顶点B，所以圆心O1在直线x＝2（即x＝a）上；
同理，圆心O2也在直线x＝2（即x＝a）上，从而O1，O2在直线x＝2（即x＝a）上．
（ⅱ）解：由（i）知O1B，O2B都垂直于F1F2，且O1F2，O2F2平分，．
易知，．
当时，O1，O2到右顶点B的距离之差为0．
当时，在Rt△BO1F2，Rt△BO2F2中，因为|BF2|＝2，所以，
则，，所以．
因为，
所以．
又，且，即或，所以或．
综上所述，O1，O2到右顶点B的距离之差的取值范围是．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
20．（2025 淄博模拟）已知双曲线，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）点F1，F2分别是双曲线C的左右焦点，过点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可得：，，解方程求出a2，b2，即可得出答案；
（2）由题意可得|AB|＝2，设，与双曲线联立，得出韦达定理，利用弦长公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，
则，即a2＝4b2，
又因为点在双曲线上，
所以，
解得b2＝1，a2＝4，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）因为△ABF1的周长为12，所以|AB|+|AF1|+|BF1|＝12①，
由双曲线的定义可得：|AF1|﹣|AF2|＝2a＝4，|BF1|﹣|BF2|＝2a＝4，
所以|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）＝|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝8②，
所以由①②可得：|AB|＝2，
由（1）知，c2＝a2+b2＝5，所以，
因为直线l的斜率不为0，
所以设l：，
则联立直线与双曲线，
可得，
当m2﹣4＝0，即m＝±2，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，
所以m2﹣4≠0，，，
所以，
所以，
解得m2＝﹣6（舍去）或，
所以，
直线l的方程为：，
即．
【点评】本题考查直线与双曲线方程的综合应用，属于难题．
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