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高考数学押题预测 统计
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湛江一模）一组数据1，3，7，9，m（m＞0）的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（　　）
A．[5，7] B．[5，15] C．[7，15] D．[5，20]
2．（2025春 上海月考）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量χ2的值为α．已知P（χ2≥3.841）≈0.05，则（　　）
A．α的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．α的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．α的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
3．（2025春 济南月考）已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），经验回归方程为3x，若，，则（　　）
A．2.5 B．8 C．9.5 D．5
4．（2024秋 威海期末）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 广东模拟）下列四组数据中，方差最小的为（　　）
A．29，25，37 B．30，46，25 C．38，40，35 D．40，18，30
6．（2025 广东模拟）已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（　　）
A．众数为 B．第25百分位数为
C．极差为﹣5 D．平均数为4
7．（2025 顺德区模拟）某篮球运动员在近5场比赛中的得分依次为20，18，a，32，12，其中a∈N*，若这5场比赛得分的第60百分位数为20，则a的值为（　　）
A．19 B．20 C．21 D．22
8．（2025春 渝中区校级月考）某地2013年调研了十万名城镇居民的税后年收入（单位：千元）情况，统计数据如下：
收入范围 0～15 15～25 25～35 35～45 45～55 55～65 65～75 75～85 85～95
占比 3.9% 9.3% 5.8% 11.5% 13.5% 20% 18% 11.6% 6.4%
则该地人均税后年收入的中位数大约是（　　）
A．46 B．48 C．56 D．58
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（　　）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
（多选）10．（2025春 浙江月考）下列结论正确的是（　　）
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.8，rB＝0.4，则A组数据比B组数据的相关性强
B．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2＝3.276，依据α＝0.1的独立性检验（x0.1＝2.706），可判断X，Y相关，且犯错误的概率不超过0.1
（多选）11．（2025 武威模拟）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则（　　）
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的75%分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
（多选）12．（2025 河北开学）已知有四个数从小到大排列为1，2，a，b，这四个数的80%分位数是4，则a+b可能是（　　）
A．4 B．5.5 C．6 D．7.5
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）已知一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1．则这组数据的中位数为 　 　．
14．（2025 市中区校级模拟）市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 　 　．
15．（2025 锦江区校级模拟）从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为　 　．
16．（2025 青浦区校级模拟）供电公司为了分析某小区的用电量y（单位：kw h）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10 ﹣1
用电y 24 34 m 64
利用最小二乘法得到的回归方程为y＝﹣2x+60，则m＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 海南模拟）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解
男性 _____ _____
女性 _____ _____
附：．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（2025 雁江区校级模拟）某消费者协会为了解2024年当地某市网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间[0，30]内，并按[0，5），[5，10），…，[25，30]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的2×2列联表，并判断能否依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（2025 新疆二模）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月
6月
合计
附：χ2，
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
20．（2025 重庆模拟）2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为．则总体样本方差．
高考数学押题预测 统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湛江一模）一组数据1，3，7，9，m（m＞0）的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（　　）
A．[5，7] B．[5，15] C．[7，15] D．[5，20]
【考点】中位数；平均数．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可．
【解答】解：因为这组数据的平均数为，
所以这组数据的中位数只可能是m或7，
若这组数据的中位数是7，则，即7≤m≤15，
若这组数据的中位数是m，则，即5≤m≤7，
综上所述，m的取值范围为5≤m≤15．
故选：B．
【点评】本题考查数据的数字特征，属于基础题．
2．（2025春 上海月考）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量χ2的值为α．已知P（χ2≥3.841）≈0.05，则（　　）
A．α的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．α的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．α的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据独立性检验判断各个选项即可．
【解答】解：因为P（χ2≥3.841）≈0.05，
所以若α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，
故A错误，B正确；
由独立性检验的性质可知，α的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，
故C错误，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
3．（2025春 济南月考）已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），经验回归方程为3x，若，，则（　　）
A．2.5 B．8 C．9.5 D．5
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】先求出样本中心点，再代入回归方程即可．
【解答】解：因为，，
所以，，
因为回归直线方程3x经过样本中心点（，），
所以3.5＝﹣3×2，
解得9.5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
4．（2024秋 威海期末）下列散点图中，线性相关系数最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】散点图．
【专题】集合思想；综合法；概率与统计；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据题意，由线性相关系数的意义分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设变量x，y的线性相关系数为r，
当r＞0时，变量x、y正相关，当r＜0时，变量x、y负相关，
同时，|r|越大，x与y之间的线性相关性越强，
由散点图分析，选项A的散点图为负相关，且相关性最强，则其对应的相关系数最小．
故选：A．
【点评】本题考查线性相关系数的定义，涉及散点图的分析，属于基础题．
5．（2025 广东模拟）下列四组数据中，方差最小的为（　　）
A．29，25，37 B．30，46，25 C．38，40，35 D．40，18，30
【考点】方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合方差的定义，即可求解．
【解答】解：观察数据可得，C选项数据的极差为5，数据相对靠近，数据波动性小，
对比四组数据，可知方差最小的为C选项．
故选：C．
【点评】本题主要考查方差的求解，属于基础题．
6．（2025 广东模拟）已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（　　）
A．众数为 B．第25百分位数为
C．极差为﹣5 D．平均数为4
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【答案】B
【分析】由众数，百分位数，极差及平均数定义，可直接判断．
【解答】解：由特征数定义及题设可知：
众数为3和5，A错；
第25百分位数为，B对；
极差为6﹣1＝5，C错；
平均数为，D错．
故选：B．
【点评】本题考查众数，百分位数，极差及平均数的定义，属基础题．
7．（2025 顺德区模拟）某篮球运动员在近5场比赛中的得分依次为20，18，a，32，12，其中a∈N*，若这5场比赛得分的第60百分位数为20，则a的值为（　　）
A．19 B．20 C．21 D．22
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用百分位数的定义即可求得结果．
【解答】解：因为5×60%＝3，且这5场比赛得分的第60百分位数为20，
所以将得分从小到大排列，12，18，a，20，32，或者12，18，20，a，32（a在其他位置
第60百分位数就不是20了），
所以，
解得a＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
8．（2025春 渝中区校级月考）某地2013年调研了十万名城镇居民的税后年收入（单位：千元）情况，统计数据如下：
收入范围 0～15 15～25 25～35 35～45 45～55 55～65 65～75 75～85 85～95
占比 3.9% 9.3% 5.8% 11.5% 13.5% 20% 18% 11.6% 6.4%
则该地人均税后年收入的中位数大约是（　　）
A．46 B．48 C．56 D．58
【考点】中位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】先确定人均税后年收入的中位数所在区间，再利用公式计算即可求解．
【解答】解：由统计图表可知3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%+20%＝64%＞0.5，
3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%＝44%＜0.5，
所以中位数在55～65之间，中位数大约是．
故选：D．
【点评】本题主要考查中位数的公式，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（　　）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】将数据E（5，4）去掉后，变量x与变量y的相关性变强，再结合相关系数、残差平方和、决定系数的定义可判断ABC，利用经验回归方程必过点（，）可判断D．
【解答】解：由图可知，变量x与变量y是负相关，将数据E（5，4）去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，
所以r变小，故A错误；
由于变量x与变量y的相关性变强，
所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B正确，C正确；
设经验回归方程为x，
因为2.5，4，
所以1.2，7，
所以经验回归方程为1.2x+7，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了经验回归方程的求解，属于中档题．
（多选）10．（2025春 浙江月考）下列结论正确的是（　　）
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.8，rB＝0.4，则A组数据比B组数据的相关性强
B．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2＝3.276，依据α＝0.1的独立性检验（x0.1＝2.706），可判断X，Y相关，且犯错误的概率不超过0.1
【考点】独立性检验；散点图；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据相关系数的概念判断A的真假；根据方差的性质判断B的真假；根据残差的性质判断C的真假；根据独立性检验的概念判断D的真假．
【解答】解：对于A，因为样本相关系数|r|越接近1，相关性越强，
所以A组数据比B组数据的相关性强，故A正确；
对于B，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故B正确；
对于C，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故C错误；
对于D，因为χ2＝3.276＞x0.1＝2.706，
所以依据α＝0.1的独立性检验，可判断X，Y相关，且犯错误的概率不超过0.1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了相关系数和方差的性质，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
（多选）11．（2025 武威模拟）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则（　　）
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的75%分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
【考点】百分位数；方差．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由平均数公式分析A，由古典概型公式分析B，由百分位数公式分析C，由方差的定义分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，全班成绩的平均分为（78+80+81+84+87+88+90）＝84，A正确；
对于B，7人成绩中，有3人成绩大于平均分，则要求概率P，B正确；
对于C，7×75%＝5.25，则样本的75%分位数是第6个数据，即88，C错误；
对于D，由于加入的数据为84，正好等于7个数据的平均数，
则加入后，数据的波动变小，故新样本方差小于原样本方差，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查数据百分位数、平均数和方差的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．
（多选）12．（2025 河北开学）已知有四个数从小到大排列为1，2，a，b，这四个数的80%分位数是4，则a+b可能是（　　）
A．4 B．5.5 C．6 D．7.5
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据百分位数的定义求解．
【解答】解：因为4×80%＝3.2，
所以这四个数的80%分位数是b，即b＝4，
所以2≤a≤4，
所以6≤a+b≤8，
由四个选项可知，a+b可能是6或7.5．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上海月考）已知一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1．则这组数据的中位数为 　3.55　．
【考点】中位数．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】3.55．
【分析】利用中位数定义直接计算可得结果．
【解答】解：一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1．
这组数据共6个数，且已经按照从小到大的顺序排好，
∴这组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，
即．
故答案为：3.55．
【点评】本题考查中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2025 市中区校级模拟）市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 　38　．
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】38．
【分析】利用频率分布直方图的性质求出a的值，再结合第90百分位数定义求解即可．
【解答】解：由题意得组距24﹣20＝4，因为小长方形面积和为1，
所以4×（0.005+0.065+0.040+0.090+a）＝1，解得a＝0.050，
而4×（0.005+0.065+0.040+0.090）＝0.8，则第90百分位数在[36，40]内，
且设其为x，得到0.8+0.05（x﹣36）＝0.9，解得x＝38，
故估计志愿者服务时长的第90百分位数为38．
故答案为：38．
【点评】本题主要考查百分位数定义，属于基础题．
15．（2025 锦江区校级模拟）从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为　90　．
【考点】百分位数．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】90．
【分析】根据第60百分位数的计算方法求解即可．
【解答】解：将数据88，89，76，101，121，89，90，90从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121，
由8×0.6＝4.8，故该组数据的第60百分位数为第5个数，即90．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2025 青浦区校级模拟）供电公司为了分析某小区的用电量y（单位：kw h）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10 ﹣1
用电y 24 34 m 64
利用最小二乘法得到的回归方程为y＝﹣2x+60，则m＝　38　．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】38．
【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得，10，
，
∵回归方程为y＝﹣2x+60，
∴，解得m＝38．
故答案为：38．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 海南模拟）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解
男性 _____ _____
女性 _____ _____
附：．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.6；
（2）列联表见解析，有．
【分析】（1）根据表中数据，通过频率估计概率即可；
（2）根据数据完成列联表，然后由卡方公式计算，对照临界值表即可判断．
【解答】解：（1）由调查数据得问卷得分不低于60分的概率为：
0.6；
由样本估计总体的思想可知，从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6．
（2）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解
男性 250 330
女性 150 270
，
因为5.542＞3.841，
所以有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
【点评】本题主要考查独立性检验的公式，属于基础题．
18．（2025 雁江区校级模拟）某消费者协会为了解2024年当地某市网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间[0，30]内，并按[0，5），[5，10），…，[25，30]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的2×2列联表，并判断能否依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验；频率分布直方图的应用．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）a＝0.04，17500元；
（2）表格见解析，有关．
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解a的值，进而给根据中位数的计算即可求解；
（2）完善二联表，即可计算卡方，进而与临界值比较即可求解．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积为1，
可得5×（0.01+0.02+0.03+2a+0.06）＝1，
解得a＝0.04，
直方图中从左到右6组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，
可得网购金额的中位数位于[15，20）区间内，
设中位数为x，
则0.05+0.1+0.2+（x﹣15）×0.06＝0.5，解得x＝17.5，
故居民网购消费金额的中位数为17500元．
（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为100×（0.2+0.15）＝35，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
零假设为H0：网购迷与性别无关
，
依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，有充分证据推断H0不成立，
即可以依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
【点评】本题考查频率分布直方图以及独立性检验相关知识，属于中档题．
19．（2025 新疆二模）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月
6月
合计
附：χ2，
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验；频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.002；
（2）；
（3）不能．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解；
（2）根据古典概型的概率公式，对立事件的概率计算公式，即可求解；
（3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（a+0.006+0.01+a）×50＝1，解得a＝0.002；
（2）由频率分布直方图知：
4月份的空气质量达标的天数为：50×（0.002+0.006）×30＝12，
所以4月份的空气质量不达标的天数为：30﹣12＝18，
所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1；
（3）列联表如下：
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月 12 18 30
6月 8 22 30
合计 20 40 60
假设H0：空气质量是否达标与月份无关，
则χ21.2＜2.706，
所以根据小概率值α＝0.1，没有充分理由推断H0不成立，
所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，独立性检验原理的应用，属中档题．
20．（2025 重庆模拟）2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为．则总体样本方差．
【考点】频率分布直方图的应用；平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）a＝0.025，；
（2）．
【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于1，可求得a，根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可求解；
（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.005+a+0.045+0.02+0.005）×10＝1，
解得a＝0.025，
所以估计这100名候选者面试成绩的平均数为；
（2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，，
两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
所以第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为：
．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了分层随机抽样的方差公式，属于中档题．
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