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高考数学押题预测 椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东昌府区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F作斜率为的直线l，若直线l与以OB为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 宝鸡模拟）已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 聊城一模）设F是椭圆的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 苏州模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，则C的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 玄武区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，点P在C上，PF1⊥PF2，则△PF1F2内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．（2024秋 扬州期末）设椭圆的半焦距为c，直线l过F（c，0），B（0，b）两点，坐标原点到直线l的距离等于，则椭圆的离心率为（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2025 河北开学）椭圆C1：1的上、下顶点分别为B2，B1，椭圆C2：1与C1的一个交点为M，则△MB1B2的周长为（　　）
A．4 B． C． D．6
8．（2024秋 邯郸期末）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是C上一点，若|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 曲靖一模）“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线C．若半圆C1的方程为x2+y2＝36（y≥0），半椭圆C2的方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．若点A在半圆C1上，点B在半椭圆C2上，且OA⊥OB，则△AOB面积的最大值为30
B．若M（0，﹣8），N（0，8），D是半椭圆C2上的一个动点，则cos∠MDN的最小值是
C．若P、Q是半椭圆C2上的动点，H（异于坐标原点O）是线段PQ的中点，则kPQ kOH
D．若曲线C在点处的切线为l，半椭圆C2的焦点为F，过点F作直线l的垂线，垂足为T，则|OT|＝10
（多选）10．（2025 新疆二模）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则（　　）
A．C的离心率为
B．△PF1F2的周长为5
C．|PF1|的最大值为3
D．的最小值为8
（多选）11．（2025春 弋阳县校级月考）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则下列结论正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
（多选）12．（2025 重庆模拟）已知椭圆，F1，F2分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点N（4，4），点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（　　）
A．只存在2个点M，使得∠F1MF2＝90°
B．直线MA与直线MB斜率乘积为定值
C．有最小值
D．|MN|+|MF1|的取值范围为
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湛江一模）已知椭圆A：与双曲线B：具有相同的焦点F1，F2，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且|OP||F1F2|（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为e1，e2，则2的最小值为 　 　．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长为　 　．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）已知椭圆方程为，点A为椭圆的右顶点，定点T（t，0）在x轴上，点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合，则实数t的取值范围为 　 　．
16．（2024秋 邯郸期末）若椭圆的一条弦AB的中点为M（﹣2，1），则直线AB的斜率为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浦东新区校级期末）已知椭圆C的方程为，F1、F2为其左、右焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+m被椭圆C截得的线段长为，求m的值．
18．（2025 烟台一模）已知椭圆Γ1：1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆Γ1的方程；
（2）设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M．
（i）线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点M的轨迹为Γ2，过点P作Γ2的切线交Γ1于点N（异于P，Q），求△PQN面积的最小值．
19．（2025 重庆模拟）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的范围；
（3）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差．
20．（2024秋 德州期末）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的长轴长为4，左焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过点P（﹣4，0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，在x＝﹣1上任取一点Q，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3（k1，k2，k3均存在）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
（3）已知过点Q且斜率为4的直线与椭圆E交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆E的另一个交点分别为C，D，求坐标原点到直线CD距离的最大值．
高考数学押题预测 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 东昌府区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F作斜率为的直线l，若直线l与以OB为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，利用直线斜率定义和圆的直径可得，求出离心率．
【解答】解：已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F作斜率为的直线l，若直线l与以OB为直径的圆相切，
设OB的中点为M，l与圆相切的切点为N，F（﹣c，0），如下图所示：
易知，
因为直线l的斜率为，即
则，所以；
解得a＝4c，则离心率为．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何特征相关知识，属于中档题．
2．（2025 宝鸡模拟）已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆离心率的求法求解．
【解答】解：已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，
则m2﹣8＝1，
即m2＝9，
即，
又0＜e＜1，
即．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题．
3．（2025 聊城一模）设F是椭圆的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义与几何性质，结合三角形三边的关系，求得△FMN周长的取值范围为（2a﹣2c，4a]，由此算出m、n与a、c的关系，进而运用离心率的计算公式求出答案．
【解答】解：设椭圆C的右焦点为E（c，0），则|ME|+|MF|＝2a，|NE|+|NF|＝2a，
所以△FMN周长|MN|+|MF|+|NF|＝|MN|+（2a﹣|ME|）+（2a﹣|NE|）
＝4a+|MN|﹣（|ME|+|NE|）≤4a+|MN|﹣|MN|＝4a，
当且仅当M、N、E共线时取等号，结合题意可得n＝3m＝4a，即，
因为|MN|+|MF|+|NF|＞|MF|+|MF|＝2|MF|≥2（a﹣c），
所以m＝2（a﹣c），可得，整理得a＝3c，所以C的离心率e．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形三边的关系、椭圆的定义与简单几何性质等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．
4．（2025 苏州模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，则C的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的长短轴．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由题设列出关于a，b，c的方程求出a，b，c即可求解．
【解答】解：由F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，
可得，
所以C的短轴长为．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
5．（2024秋 玄武区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，点P在C上，PF1⊥PF2，则△PF1F2内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由椭圆的定义，结合直角三角形内切圆半径的求法求解．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，点P在C上，PF1⊥PF2，
则|PF1|+|PF2|＝2a＝14，
又，
则△PF1F2内切圆半径为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了直角三角形内切圆半径的求法，属基础题．
6．（2024秋 扬州期末）设椭圆的半焦距为c，直线l过F（c，0），B（0，b）两点，坐标原点到直线l的距离等于，则椭圆的离心率为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】利用已知条件，求解BF的方程，结合点到直线的距离公式，列出方程，求解离心率即可．
【解答】解：椭圆的半焦距为c，直线l过F（c，0），B（0，b）两点，
可得BF的方程为：bx+cy﹣bc＝0，坐标原点到直线l的距离等于，
可得a，化简可得bc，可得，解得e．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题．
7．（2025 河北开学）椭圆C1：1的上、下顶点分别为B2，B1，椭圆C2：1与C1的一个交点为M，则△MB1B2的周长为（　　）
A．4 B． C． D．6
【考点】椭圆的焦点三角形；椭圆的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义求解即可．
【解答】解：椭圆C1：1的上、下顶点分别为B2，B1，
则B1（0，1），B2（0，﹣1），
又椭圆C2：1，
则椭圆C2的焦点为B1（0，1），B2（0，﹣1），
则△MB1B2的周长为|MB1|+|MB2|+|B1B2|＝2×2+2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属基础题．
8．（2024秋 邯郸期末）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是C上一点，若|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据椭圆的几何性质及题意可得：﹣2c≤|PF1|﹣|PF2|＝2b≤2c，再化归转化，即可求解．
【解答】解：根据椭圆的几何性质及题意可得：﹣2c≤|PF1|﹣|PF2|＝2b≤2c，
∴b≤c，∴b2≤c2，∴a2﹣c2≤c2，
∴a2≤2c2，∴e2，又e∈（0，1），
∴e∈[，1）．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 曲靖一模）“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线C．若半圆C1的方程为x2+y2＝36（y≥0），半椭圆C2的方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．若点A在半圆C1上，点B在半椭圆C2上，且OA⊥OB，则△AOB面积的最大值为30
B．若M（0，﹣8），N（0，8），D是半椭圆C2上的一个动点，则cos∠MDN的最小值是
C．若P、Q是半椭圆C2上的动点，H（异于坐标原点O）是线段PQ的中点，则kPQ kOH
D．若曲线C在点处的切线为l，半椭圆C2的焦点为F，过点F作直线l的垂线，垂足为T，则|OT|＝10
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新文化类．
【答案】ACD
【分析】对A，易得|OA|＝6，|OB|≤10，从而求解判断；对B，由椭圆定义可得到|DM|+|DN|＝20，由基本不等式可以得到，结合余弦定理即可求出cos∠MDN的最小值；对C，设P（x1，y1），Q（x2，y2），H（x0，y0），将点P，Q的坐标代入椭圆方程，利用点差法求解判断；对D，求出曲线C在点E处的切线方程，进而求出直线FT的方程，求出点T的坐标，求出|OT|．
【解答】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则|OA|＝6，|OB|≤10，∴，
当点B在长轴的端点时，△OAB的面积最大，最大值为30，故A正确；
对于B，因为D是半椭圆C2上一点，所以|DM|+|DN|＝20，
所以
，
当且仅当|DM|＝|DN|时，即点D在短轴顶点时等号成立，故B错误；
对于C，设P（x1，y1），Q（x2，y2），H（x0，y0），则x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，
又，两式相减得，
则，即，故C正确；
对于D，由椭圆在点（x0，y0）处的切线方程为，
所以曲线C在点处的切线方程为，即，
则切线l的斜率为，点F（0，﹣8），所以直线FT的斜率为，
直线FT的方程为，
联立方程，解得，即，
所以，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 新疆二模）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则（　　）
A．C的离心率为
B．△PF1F2的周长为5
C．|PF1|的最大值为3
D．的最小值为8
【考点】椭圆的离心率；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据a，b，c的关系可得选项A正确；利用椭圆的定义可得选项B错误；当点P在椭圆的右顶点处时可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D正确．
【解答】解：对于选项A．由题意得，，故离心率为，A选项正确．
对于选项B．由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝4+2＝6，B选项错误．
对于选项C．当点P在椭圆的右顶点处时，|PF1|的最大值为a+c＝3，C选项正确．
对于选项D．因，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，
∴的最小值为8，D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点三角形的应用，是中档题．
（多选）11．（2025春 弋阳县校级月考）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则下列结论正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【考点】椭圆的离心率；椭圆的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据题意求出a、b、c的值，可判断ABC选项；利用平面内两点间的距离公式结合椭圆的有界性可判断D选项．
【解答】解：对于A，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角，
得，
可得a＝4，
A错；
对于B，
由选项A可得：b＝2，
则，
该椭圆的离心率为，
B错；
对于C，当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，
椭圆的标准方程为，
C对；
对于D，当椭圆的标准方程为，
则椭圆的焦点为，，
设点P（x，y）为该椭圆上一点，
则﹣4≤y≤4，且，
则，
因此，该椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，
D对．
故选：CD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
（多选）12．（2025 重庆模拟）已知椭圆，F1，F2分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点N（4，4），点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（　　）
A．只存在2个点M，使得∠F1MF2＝90°
B．直线MA与直线MB斜率乘积为定值
C．有最小值
D．|MN|+|MF1|的取值范围为
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A选项，由O为圆心F1F2为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由M（x，y）满足椭圆方程，代入MA直线与MB直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求|MN|+|MF1|的最值，得取值范围．
【解答】解：对于选项A，由椭圆C的方程可得a＝5，b＝3，c＝4，
由b＜c＜a，以O为圆心，F1F2为直径的圆，与椭圆C有4个交点，故存在4个点M，使得∠F1MF2＝90°，故A错误；
对于选项B，设M（x，y），则，可得，且A（﹣5，0），B（5，0），
则为定值，故B正确；
对于选项C，由椭圆的定义，可得|MF1|+|MF2|＝10，
则
，
当且仅当时，即|MF2|＝|MF1|＝5时等号成立，故C正确；
对于选项D，由点N在椭圆外，设直线NF1，NF2与椭圆相交于N1，N2，
如图所示，则，
∵|NF2|＝4，且|MN|+|MF1|＝2a+|MN|﹣|NF2|＝10+|MN|﹣|NF2|，
可得|MN|﹣|MF2|≤|NF2|，即|MN|﹣|MF2|≤4，
∴（|MN|+|MF1|）|N2N|﹣|N2F2|＝10+|NF2|max，
∴|MN|+|MF1|的取值范围为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湛江一模）已知椭圆A：与双曲线B：具有相同的焦点F1，F2，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且|OP||F1F2|（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为e1，e2，则2的最小值为 　　．
【考点】求椭圆的离心率；求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；
法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案．
【解答】
法一：因为，所以．
对于焦点△F1PF2，根据椭圆的性质可得其面积，
根据双曲线的性质可得，所以，
所以，整理可得．
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
法二：因为，所以．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n（不妨设m＞n），|F1F2|＝2c，
依题意有，，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中等题．
14．（2024秋 浦东新区校级期末）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长为　　．
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可．
【解答】解：根据题意可得，b，c＝1，
因为过F2的直线交椭圆于A，B两点，
所以△AF1B的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|
＝|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|＝4a．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）已知椭圆方程为，点A为椭圆的右顶点，定点T（t，0）在x轴上，点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合，则实数t的取值范围为 　[，+∞）　．
【考点】椭圆的范围．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】设S（x0，y0），利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值．
【解答】解：设S（x0，y0），椭圆方程为，点A为椭圆的右顶点，
可得：，
则，，
则，
所以，，
当S恰与点A重合时，|ST|取得最小值，
即要使时|ST|2取最小值，则必有，所以．
即实数t的取值范围为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
16．（2024秋 邯郸期末）若椭圆的一条弦AB的中点为M（﹣2，1），则直线AB的斜率为　　．
【考点】椭圆的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由椭圆的方程，结合点差法求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
又，，
两式相减可得：0，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的方程，重点考查了点差法，属基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浦东新区校级期末）已知椭圆C的方程为，F1、F2为其左、右焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+m被椭圆C截得的线段长为，求m的值．
【考点】直线与椭圆的综合；求椭圆的离心率．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由离心率定义求解；
（2）设直线y＝x+m与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解．
【解答】解：（1）因为椭圆C的方程为，
所以，
则椭圆C的离心率；
（2）设直线y＝x+m与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
联立，消去y并整理得3x2+4mx+2m2﹣4＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，，
所以|AB|．
解得．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
18．（2025 烟台一模）已知椭圆Γ1：1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆Γ1的方程；
（2）设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M．
（i）线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点M的轨迹为Γ2，过点P作Γ2的切线交Γ1于点N（异于P，Q），求△PQN面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）；
（ii）4．
【分析】（1）由题目中的焦距与离心率，结合a，b，c的关系式，可得答案；
（2）（i）分直线PQ的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；
（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案．
【解答】解：（1）因为椭圆Γ1的焦距为2，离心率为，
所以，
解得，b，
则椭圆．
（2）（i）当直线PQ的斜率不存在时，
设直线PQ方程为x＝n，
将x＝n代入椭圆方程中，
解得，
易知，
解得；
当直线PQ的斜率存在时，
设直线PQ的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
此时Δ＝48k2+24﹣8m2＞0，
由韦达定理得，
所以，
因为，，且OP⊥OQ，
所以，
整理得y1y2+x1x2＝0，
即（1+k2）（2m2﹣6）﹣4k2m2+m2（1+2k2）＝0，
解得m2＝2+2k2，
则；
（ii）由圆的对称性可得S△PQN＝2S△POQ＝|OM| |PQ|，
由（i）知，当直线PQ的斜率不存在时，，
当直线PQ的斜率存在时，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
综上可得．
故S△PQN的最小值为4．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2025 重庆模拟）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的范围；
（3）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）k．
（3）是，理由见解析，该数列的公差为或．
【分析】（1）根据离心率及最小距离列方程求解；
（2）设而不求，利用点差法以及中点坐标公式求出，再利用M（1，m）在椭圆内列不等式求解即可；
（3）解出m，进而求出点P的坐标，得到，再由两点间距离公式表示出，，可证明，，成等差数列；先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【解答】解：（1）因为，a﹣c＝1，所以c＝1，a＝2，因此，
因此．
（2）设B（x2，y2），A（x1，y1），因为线段AB的中点为M（1，m），
所以x1+x2＝2，y1+y2＝2m．
将A，B代入中，可得，
作差得3（x1+x2） （x1﹣x2）+4（y1+y2） （y1﹣y2）＝0，所以6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，
所以．点M（1，m）在椭圆内，所以，（m＞0），
解得，所以k．①
（3）根据题意得F（1，0），设B（x2，y2），P（x3，y3），A（x1，y1），
那么y1+y2+y3＝0，x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，
根据第二问及题设得y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0，x3＝3﹣（x1+x2）＝1，
又因为点P在椭圆C上，所以，解得，可得，，
因此，同理可得．
因此，所以，所以，，成等差数列．
设该数列的公差为d，那么，②，
将代入①，得k＝﹣1，因此l：，代入椭圆C的方程，化简得．
根据韦达定理可得x1+x2＝2，，代入②解得．
所以该数列的公差为或．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20．（2024秋 德州期末）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的长轴长为4，左焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过点P（﹣4，0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，在x＝﹣1上任取一点Q，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3（k1，k2，k3均存在）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
（3）已知过点Q且斜率为4的直线与椭圆E交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆E的另一个交点分别为C，D，求坐标原点到直线CD距离的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）存在，λ＝2．
（3）．
【分析】（1）根据椭圆与抛物线的基本量求解即可；
（2）设Q（﹣1，t），直线l：y＝k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆与直线的方程，再根据，结合直线的方程与韦达定理证明即可；
（3）由（2）得，kQC＝kQD，所以Q是AB和CD的交点，进而可得直线CD的方程为，再化简可得直线CD恒过定点，进而可得坐标原点到直线CD距离的最大值．
【解答】解：（1）因为的长轴长为4，
所以2a＝4，所以a＝2，
又由于抛物线y2＝﹣4x的焦点与椭圆左焦点重合，
因此，所以b2＝3．
因此E：．
（2）存在，设Q（﹣1，t），根据题意知过P（﹣4，0）的直线l的斜率必存在，
因此设l：y＝k（x+4），N（x2，y2），M（x1，y1），
联立直线l和椭圆方程E可得，
化简得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，
根的判别式Δ＝（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，所以，
根据韦达定理可得，
那么
，
又因为，因此k1+k2＝2k3，所以λ＝2．
（3）根据第二问得kQB+kQD＝2kQP，kQA+kQC＝2kQP，又由于kQA＝kQB＝4，
因此kQC＝kQD，因此Q是AB和CD的交点．
由于kQA+kQC＝2kQP，因此kAB+kCD＝2kQP，设Q（﹣1，t），
那么，因此，
直线CD：
所以，
根据，可得，因此CD恒过定点，
所以原点到直线距离最大值为．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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