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2024-2025 学年山东省济宁市第一中学高一下学期 4 月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .如果 = 2， = 6， = 45 ，那么 =( )
A. 3 + 1 B. 4 + 2 3 C. 10 4 3 D. 4 2 3
2.已知 1 i 2 = 4 + 4i，则 的虚部为( )
A. 2 B. 2i C. 2 D. 2i
3.在 中， 为直角， = 3， = 4，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为( )
A. 3 7 3 14 3 2 3 212 B. 8 C. 2 D. 8
4 π < < π π π 5 6.已知4 2，4 < < 2，cos = 7，sin( + ) = 7，则 cos =( )
A. 12 6 5 13 B. 12 6 5 13 C. 12 6+5 13 D. 5 13 12 649 49 49 49
5.底面半径为 3 的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为 2、高为 4 的圆锥，所得圆台的体
积为( )
A. 383 π B. 38π C.
76
3 π D. 18π
6.记 的内角 , , 的对边分别为 , , .已知( + )2 = 2 + 4 sin2 2 ，则 为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 2cos = 3cos = 5cos 若 ，则 tan 的大小是( )
A. 2 3 5 33 B. 3 C. 3 D. 3
8 8π.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环 的外圆弧 的长为 3， 、 分别为 、
4π的中点，扇形 的面积为 3 .若外圆弧 上有一动点 (包含端点)，则 的取值范围是( )
A. [6,12] B. [6,10] C. [8,24] D. [8,12]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法错误的为( )
A. 、 为实数，若 = ，则 与 共线
B.两个非零向量 、 ，若 = + ，则 与 垂直
C.若 // 且 // ，则 //
D. 是 内一点，若 2 + + 3 = 0，则 : = 1: 6
10 3 π 2.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 sin 2 + 4 = 2 ，则( )
A. = π3
B.若 = 2 3，且 有两解，则 的取值范围是 3,2 3
C.若 < ，则 cos < cos
D.若 = 1 且 + = 2，则 是等边三角形
11.函数 ( ) = sin( + ) , > 0,0 < < π2 的部分图象如图所示， 为图象与 轴的一个交点， ,
分别为图象的最高点与最低点，若
2
= ，则下列说法中正确的有( )
A. = 3 B. = π4
C. 9的面积为 2 3 D. 2 , 0 是 ( )的图象的一个对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1, 1)， 满足 ⊥ 2 ，则 在 上的投影向量的坐标为 ．
13 π π.已知 ∈ 2 , 2 ，函数 ( ) = sin + cos( + )的最大值为 1，则 = ．
14.记 的内角 , , 的对边分别为 , , ， = sin , sin sin ， = 3 , + ，且 ⊥ ， = 2，
则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 + i( ∈ , i 为虚数单位)，其共轭复数为 ．
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(1)若复数 3 + 2i 是实数，求实数 的值；
(2)若 1 = 1 i，且复数 1在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数 的取值范围
16.(本小题 15 分)
已知 = ( 2,2)． 为单位向量，且 与 的夹角为45 ．
(1)求 + 3 的值；
(2)若 // ，且 = 24，求向量 的坐标．
17.(本小题 15 分)
某同学用“五点法”画函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 在某一个周期内的图象时，列表并
填入了部分数据，如表：
7π 5π
12 6
π
+ 0 π 3π2 2π2
sin( + ) 0 2 2 0
(1)请求出函数 ( )的解析式；
(2)先将 = ( )图象上所有点向左平移 ( > 0)个单位，再把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原
来的 2 11π倍，得到 = ( )的图象.若 = ( )的图象关于直线 = 12对称，求 的最小值以及当 取最小值
时函数 = ( )的单调递减区间．
18.(本小题 17 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且sin2 + sin2 + cos2 sin π sin π + = 1．
(1)求 ；
(2)若 = 1， = 2，求 内切圆的半径；
(3)设 是边 上一点， 为角平分线且 = 3 ，求 cos 的值．
19.(本小题 17 分)
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 (2 cos ) = 3 sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 周长为 6，求 的面积；
(3)若 + 为锐角三角形，求 的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 12 , 2
13.π 16或6π
14. 2
15.解：(1)由 = 2 + i 可得 = 2 i，
所以 3 + 2i = 3 + 2i 2 i = 6 3 i + 4i 2 i2 = 6 + 2 + (4 3 )i，
若复数 3 + 2i 是实数，可得 4 3 = 0，
解得 = 43；
2+ i 2+ i 1+ i 2+ 2i + i + i2 2 + (2+ )i
(2) 1 = 1 i = 1 i = 1 i 1+ i = =1 i2 2
= 2 2+ 2 + 2 i，
易知复数 2 2+ 1在复平面内所对应的点坐标为 2 , 2 ，
2 > 0
又复数 1在复平面内所对应的点位于第四象限，可得 22+ ,
2 < 0
解得 < 2，
即实数 的取值范围为( ∞, 2)．
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16.解：(1)因为 = ( 2,2)， 为单位向量，且 与 的夹角为45 ，
所以 = 4 + 4 = 2 2，∴ = 2 2 × 1 × 22 = 2，
则 + 3
2 2
= + 3 = 2 + 9 + 6 = 8+ 9 + 12 = 29；
(2)设 = ( , )， = ( 2,2)，
→ →
∵ /\ !/ ，∴ = ， = ( , )
又 = 24， 2 + 2 = 576，
∴ =± 12 2，
∴ = 12 2 = 12 2或
= 12 2 = 12 2
∴ = 12 2, 12 2 或 12 2, 12 2 ．
17.解：(1)根据表中已知数据，得 = 2， = 4 × 5π6
7π
12 = π，
= 2 = 7π 2 × 7π+ = 3π | | < π π可得 ，当 12时， 12 2 ，又 2，解得 = 3，
所以 ( ) = 2sin 2 + π3 ．
(2)将 ( )图象上所有的点向左平移 ( > 0)个单位长度，
π
得到 = 2sin 2 + 2 + 3 的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，
得到 = ( ) π的图象，所以 ( ) = 2sin + 2 + 3
= ( ) = 11π因为 的图象关于直线 12对称，
11π+ 2 + π = π + π ∈ = π + 13π所以 12 3 2， ，解得 2 24， ∈ ，
因为 > 0 π，所以 min = 24
此时 ( ) = 2sin + 5π12 ，
由 2 π + π ≤ + 5π2 12 ≤ 2 π +
3π
2， ∈ ，可得 2 π +
π
12 ≤ ≤ 2 π +
13π
12 ， ∈ ，
所以函数 = ( ) π的单调递减区间为 2 π + 12 , 2 π +
13π
12 ， ∈ ．
18.解：(1)因为sin2 + sin2 + cos2 sin π sin π + = 1，
所以sin2 + sin2 + sin sin = 1 cos2 = sin2 ．
2 2 2
由正弦定理得 2 + 2 2 = ，所以 cos = + 12 = 2，
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因为 0 < < π，所以 = 2π3．
(2)由(1)知 2 + 2 2 = ，代入数据得 = 7．
因为 1 3的面积 = 2 sin = 2 ，
2 3 3 3 21所以 内切圆的半径 = + + = 3+ 7 = 2 ．
(3)因为 = 3 ， 是角平分线，即 sin∠ = sin∠ ，
1 1
2 2 sin∠ 因为 = = 3 = 1 1
=
sin∠
，
2 2
所以 = 3

由正弦定理可知sin = sin ，
3
所以 = ，
sin π sin 3
整理可得 7sin = 3cos ．
52
又因为sin2 + cos2 = 1，即49 cos
2 = 1，
49
∴ cos2 = 52
且∵ 0 < < π3 ∴ cos > 0
解得 cos = 7 1326 ．
19.解：(1)在 中，由 (2 cos ) = 3 sin 及正弦定理，得 (2 cos ) = 3 sin ，
π π
整理得 2 = 3sin + cos = 2sin( + 6 )，即 sin( + 6 ) = 1，
0 < < π π π 7π π π而 ，即6 < + 6 < 6 ，于是 + 6 = 2，
所以 = π3．
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
由 周长为 6，得 + = 4，解得 = 4，
所以 1 1 π的面积2 × sin = 2 × 4sin 3 = 3．
(3) = π π π π π π π在锐角 中，由 3，得6 < < 2，12 < 2 < 4，则 tan 12 < tan 2 < tan 4 = 1，
π π
tan π π π
tan3 tan4 3 1 1
12 = tan( 3 4 ) = 1+tanπ π = 1+ 3 = 2 3tan ，则 2 3 < tan 2 < 1，1 < < 2 + 3，3 4 tan 2
π 3
+ sin +sin sin +sin +sin(
π+ )
由正弦定理得 3 2 3 = sin = sin = sin
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3 3 1 3
2 + 2 cos + 2sin 2 (1+ cos )
3
1 2 (1+ 2cos
2
2 1) 1= sin = sin + 2 = +2sin 2 cos
2
2
3
2 cos
3
= 2 + 1 = 2 + 1 ∈ ( 3 1 2 2 2 + 2 , 3 + 2)，sin2 tan2
+ 3 1
所以 的范围是( 2 + 2 , 3 + 2)．
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