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2024-2025学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷01
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（2023七年级上·四川眉山·竞赛）如图，已知直线，直角三角板的顶点在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键．
过C作，根据平行公理的推论得到直线，根据平行线的性质得出，，由即可求出答案．
【详解】解：过C作，
∵直线，
∴直线，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
2．（本题3分）（2023八年级上·四川眉山·竞赛）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂乘法法则的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．利用同底数幂乘法逆运算将变为，再提公因数计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
3．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设任意两个奇数分别为，可得，设为偶数．可得中一定含有因数8，但不一定含有因数16，即可求解．
【详解】解：设任意两个奇数分别为，
，
∵与奇偶性相反，
∴可设为偶数．
∵偶数的最小为2，
∴中一定含有因数8，但不一定含有因数16，
∴一定能够被8整除，但不一定能被16整除．
即一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是8．
故选：C
4．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知关于的分式方程有无数个解，则的值为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．6
【答案】A
【分析】本题考查量含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
先将方程进行化简，得到，再根据方程有无数个解，得出，据此即可求解．
【详解】解：方程化简得：
，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：A．
5．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可．
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，
根据题意，得，
解得，
故，
故选C．
6．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）若，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据得出，再将变形为，将整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
故选B．
7．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）若，那么的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的大小比较，逆用幂的乘方，化成相同的指数，比较底数的大小即可．
【详解】∵
∴，，
∴，
故选D．
8．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个
【答案】C
【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．
【详解】由题意知是的倍数，
∵，
∴（1）8整除且整除；（2）125整除且整除1)，
由（1）得，由（2）得，
∴共有两个，
故选C．
9．（本题3分）（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，，则的值为（ ）
A．4 B．0 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质以及代数式求值的方法．先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值．
【详解】解：∵，
∴，
代入，可得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
10．（本题3分）（九年级·湖北黄冈·自主招生）已知，，满足，，则（ ）．
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】将等式变形可得，，，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵
∴
=
=
=
=
=6＋3
=9
故选D．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（2024七年级·全国·竞赛）一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后（第一次拐弯后，行驶了一段路程再第二次拐弯），行驶方向仍与原来的行驶方向平行．已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯，那么第二次向右拐弯的最小度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出图示即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
∴第二次向右拐弯的最小度数是：，
故答案为：．
12．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知，且a，b都是整数，则 ， ．
【答案】 2 0
【分析】本题考查因式分解的应用，先变形得，然后根据得到解题即可．
【详解】，
所以，
又因为．
所以，
解得．
13．（本题3分）（16-17八年级下·全国·单元测试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解方程得： ，
因为它的解是正数，则且 ，
得且．
故答案为：且．
14．（本题3分）（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ．
【答案】或
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握完全平方公式及二元一次方程组解法是解题的关键．
利用完全平方公式将方程组整理成类似方程组的形式，根据方程组的解计算即可．
【详解】解：的方程组可化为，
，
∴关于的方程组的解是或．
故答案为：或．
15．（本题3分）（2024七年级·全国·竞赛）如图，，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点作，过点作，证明再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，过点作，过点作．

又
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
16．（本题3分）（20-21七年级下·浙江杭州·阶段练习）李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付，李林将其款花去3.50元之后，发现其款恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行将多余的款额退回，那么，李林应退回的款额是 元．
【答案】17.82
【分析】设元为a，角分为b，则原来为（100a+b）分，可知被看错成（100b+a）分．则可列出方程100b+a-350=2 （100a+b），用a表示b即b=2a+3+，由 a、b为正整数且小于100,即可求得．
【详解】解：设元为a，分为b（b是一位数或两位数）（a，b都是整数，且a小于100），则原来为（100a+b）分，被看错成（100b+a）分．
因此得到关系：100b+a-350=2（100a+b），
整理得：98b-199a=350，
∴b=2a+3+，
∵a，b都是整数，
∴3a+56=98或3a+56=196或3a+56=294或3a+56=392，
∴a=14则b=32，或a=（不符合题意）或a=（不符合题意）或a=112（不符合题意），
即a=14，b=32，
退回款额为：（100b+a）-（100a+b）=99（b-a）=99×18（分）=17.82（元）．
故答案为17.82．
【点睛】本题考查了同余关系的应用，主要考查了整除问题，得出b=2a+3+是解本题的关键．
17．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ．
【答案】4030
【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．
【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，
则由得，
由得，
由得，
三式相加得，
则，
∴．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024八年级·全国·竞赛）求证：是一个完全平方数（n为正整数）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．根据完全平方公式变形即可．
【详解】证明：原式
．
又n为正整数，
所以是一个完全平方数．
19．（本题6分）（2024八年级·全国·竞赛）已知 ，求的值．
【答案】4823
【分析】
本题主要考查了代数式求值以多项式乘以多项式运算，熟练掌握多项式乘以多项式运算是解题关键．先将分别乘以，联立解出，再根据求出，代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
联立解得．
又，
，
，
．
20．（本题9分）（八年级·辽宁朝阳·竞赛）如果，试求代数式的值．
【答案】-1
【分析】由可得、和，再整体代入化简求值即可．
【详解】由，可得，，．
∴
=
=
=
=
=
=
=
=-1．
【点睛】本题主要考查的是代数式求值，解答本题的关键是将进行灵活变形将整体带入到代数式里进行化简计算，注意本题运用了整体思想.．
21．（本题9分）（2024八年级·全国·竞赛）聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
【答案】购A，B，C三样商品各一件共150元．
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，找出等量关系，设出未知数，根据题意准确列出方程组，是解此题的关键；
设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则根据“购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元”和“购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元”，列出方程组，然后求出即可．
【详解】解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则
，
得，
购A，B，C三样商品各一件共150元．
22．（本题9分）（2024八年级·全国·竞赛）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式的应用．
先将已知等式变形为，再根据，则，得出，则，然后求解，得出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（本题10分）（2024七年级·全国·竞赛）甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
【答案】1100米
【分析】本题考查二元一次方程组，设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米，根据题意列出方程组，再设到的距离为米，再列出方程，即可求出答案．
【详解】解：设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米．
则，
解得：，
再设到的距离为米，
则，
解得：．
答：两地的距离为1100米．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷01
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（2023七年级上·四川眉山·竞赛）如图，已知直线，直角三角板的顶点在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2023八年级上·四川眉山·竞赛）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知关于的分式方程有无数个解，则的值为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．6
5．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
6．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）若，则（ ）
A．5 B． C． D．
7．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）若，那么的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个
9．（本题3分）（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，，则的值为（ ）
A．4 B．0 C．2 D．
10．（本题3分）（九年级·湖北黄冈·自主招生）已知，，满足，，则（ ）．
A．0 B．3 C．6 D．9
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（2024七年级·全国·竞赛）一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后（第一次拐弯后，行驶了一段路程再第二次拐弯），行驶方向仍与原来的行驶方向平行．已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯，那么第二次向右拐弯的最小度数是 ．
12．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知，且a，b都是整数，则 ， ．
13．（本题3分）（16-17八年级下·全国·单元测试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
14．（本题3分）（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ．
15．（本题3分）（2024七年级·全国·竞赛）如图，，则 ．

16．（本题3分）（20-21七年级下·浙江杭州·阶段练习）李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付，李林将其款花去3.50元之后，发现其款恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行将多余的款额退回，那么，李林应退回的款额是 元．
17．（本题3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024八年级·全国·竞赛）求证：是一个完全平方数（n为正整数）．
（本题6分）（2024八年级·全国·竞赛）已知 ，求的值．
（本题9分）（八年级·辽宁朝阳·竞赛）如果，试求代数式的值．
21．（本题9分）（2024八年级·全国·竞赛）聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
22．（本题9分）（2024八年级·全国·竞赛）已知，求的值．
23．（本题10分）（2024七年级·全国·竞赛）甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
试卷第1页，共3页
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