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2024-2025 学年山东省郯城第一中学高一下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2+ .复数1 的共轭复数是( )
A. 1 3 B. 1+ 3 C. 1 3 1 32 2 2 2 2 2 D. 2+ 2
2.已知平面四边形 用斜二测画法画出的直观图是边长为 1 的正方形 ′ ′ ′ ′，则原图形 中的
=( )
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2
3.已知 tan ，tan 分别为 2 + 6 + 3 = 0 两个实根，则 tan( + ) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 32
→ → → → → → → →
4.已知平面向量 ， 满足 = (1, 1)， = 1， + 2 = 2，则 与 的夹角为( )
A. B. 5 6 6 C.

4 D.
3
4
5.在 中，点 在边 上， = 2 .记 = , = ，则 =( )
A. 3 2 B. 2 + 3 C. 3 + 2 D. 2 + 3
6.在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 上一点，
// 当 平面 时， =( )
A. 24 B.
5 1 1
5 C. 3 D. 4
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7.将正弦曲线 = sin π 1向左平移6个单位得到曲线 1，再将曲线 1上的每一点的横坐标变为原来的2得到曲线
2，最后将曲线 2上的每个点的纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线的 3.若曲线 3恰好是函数 ( )的图象，则
( )在区间 0, π2 上的值域是( )
A. [ 1,1] B. [ 1,2] C. [1,2] D. [ 2,2]
8.已知棱长为 6 6的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 9π的
圆，则该球的表面积为( )
A. 48π B. 72π C. 96π D. 128π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.棱台的侧面都是等腰梯形
B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
10.已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，下列命题错误的是( )
A. // ， // B. // ， //
C. // ， // // D. ， // ， //
11.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = 2cos + 1 ，则下列结论正确的有( )
A. = 2
B.若 = 3 ，则 为直角三角形
C. 1 1若 为锐角三角形，tan tan 的最小值为 1
D.若 2 2 3为锐角三角形，则 的取值范围为 2 , 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则该圆锥的体积为 ．
13.已知 , 都是锐角，cos = 17 , cos( + ) =
11
14，则 = ．
14.在 3中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 .若 = 4， = 2，则 的最小值为 ；
2 2
若 = 36
+
，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < π) π π的图象相邻对称轴之间的距离是2，若将 ( )的图像向右移6
个单位，所得函数 ( )过原点．
(1)求 ( )的解析式；
(2) ( ) = ( ) 3 ∈ π π若函数 5的一个零点为 0，且 0 12 , 3 ，求 cos2 0．
16.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 ；
(2)若 为 1的中点，求证：平面 //平面 1．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， sin + 3 sin + 2 = 0， = 6．
(1)求 外接圆的面积；
(2)若 = 3 ， = 1 3 ，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 3sin2 ，在 R 上的最大值为 3．
(1)求 的值及函数 ( )的周期与单调递增区间；
(2)若锐角 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， ，且 ( ) = 0 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 1 1 1 1，下部是正四棱柱 1 1 1 1(如
图所示)，且正四棱柱的高 1 是正四棱锥的高 1的 4 倍．
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(1)若 = 6， 1 = 2，求该几何体的体积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为 6， 1 = 2，
( )求正四棱锥 1 1 1 1的侧面积．
( )若 ， 分别是线段 1 1， 1上的动点，求 + + 1的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 33
13.π/60 3
14.6
；4
15.解：(1) π由题意可得2 = 2，可得 = π，又 > 0，
2π
而 = = π，可得 = 2，此时 ( ) = sin(2 + )，
由题意可得 ( ) = sin 2 π6 + = sin 2
π
3 + ，
( ) π要使函数 为奇函数，则 3 + = π， ∈ ，
= π即 3 + π， ∈ ，而 0 < < π，
所以 = π3，所以 ( ) = sin 2 +
π
3 ；
(2)由题意令 ( ) = ( ) 35 = 0，
3
可得 0 = 5，即 sin 2 +
π = 30 3 5，
π π
因为 0 ∈ 12 , 3 ，
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所以 2 π π0 + 3 ∈ 2 , π ，所以 cos 2 +
π
0 3 = 1 sin
2 2 + π 40 3 = 5，
所以 cos2 0 = cos 2 +
π π π π0 3 3 = cos 2 0 + 3 cos 3 + sin 2 +
π sin π0 3 3
= 45 ×
1+ 3 3 3 3 42 5 × 2 = 10 ．
16.解：(1)如图：连接 ，设 ∩ = ，连接 ，
∵在正方体 1 1 1 1中，四边形 是正方形，∴ 是 中点，
∵ 是 1的中点，∴ // 1，
∵ 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1//平面 ．
(2)如图：连接 1 ， ，
∵ 为 1的中点， 为 1的中点，
∴ = 1 ，又∵ // 1 ，
∴四边形 1 为平行四边形，∴ 1 // ，
又∵ 平面 ，∵ 1 平面 ，∴ 1 //平面
由(1)知 1//平面 ，∵ 1 ∩ 1 = 1， 1 平面 1， 1 平面 1，
∴平面 //平面 1．
17.解：(1) ∵ sin + 3 sin + 2 = 0，
∴ sin + 3 cos = 0，由正弦定理得：sin sin + 3sin cos = 0，
因为 sin ≠ 0，所以 sin + 3cos = 0，得 tan = 3，
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又 0 < < 2 ，故 = 3，
∴ 外接圆的半径 = 1 1 62 sin = 2 × 3 = 2 3，
2
∴ 外接圆的面积为 12 ．
3
(2)由 = 6 及 = 3 得： = 2 3，sin = sin 3 =
2 1
3 = 2，
∵ = 2 3，则 为锐角，
∴ = 6，故 = = 6．
如图所示，在 中，由余弦定理得，
2
2
= 2 + 2 2 cos = 22 + 2 3 2 × 2 × 2 3 × 32 = 4，
解得 = 2，
则 的周长为 4 + 2 3．
18.解：(1) ( ) = 2cos2 3sin2
= 1 + cos2 3sin2
1 3
= 1 2 2 cos2 + 2 sin2
= 1 2sin 2 + π6 ．
π
所以当 sin 2 + 6 = 1 时， ( )取到最大值 3，
即 1 + 2 = 3， = 2 π，所以 ( ) = 1 2sin 2 + 6 ，
2π
其周期为 = 2 = π．
π+ 2 π ≤ 2 + π ≤ 3π令2 6 2 + 2 π, ∈ Z ，
π
解得6 + π ≤ ≤
2π
3 + π, ∈ Z ，
π 2π
所以函数 ( )的单调递增区间为 6 + π, 3 + π , ∈ Z ；
(2)由(1)知 ( ) = 1 2sin 2 + π6 ，由 ( ) = 0，
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可得 ( ) = 1 2sin 2 + π6 = 0，即 sin 2 +
π
6 =
1
2，
因为 ∈ 0, π π π 7π2 ，所以 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，
π 5π π
所以 2 + 6 = 6 ，即 = 3．
因为 = π ( + )，
所以 sin = sin( + ) = sin + π3 =
1
2 sin +
3
2 cos ，
1 3
= sin 2
sin + cos 1 3 1
由正弦定理可知 2 sin = sin = 2 + 2 × tan ，
0 < < π2 π π
因为 为锐角三角形，所以 2π ，即 < < ，0 < 3 <
π 6 2
2
所以 tan > 3 13 ，所以 0 < tan < 3，
1 < 1 + 3 × 1 < 2 ∈ 1所以2 2 2 tan ，即 2 , 2 ，
1
所以 的取值范围为 2 , 2 ．
19.解：(1)由条件可知，正四棱柱的高 1 = 8，
所以正四棱柱的体积为 6 × 6 × 8 = 288，
1
三棱锥 1 1 1 1的体积为3 × 6 × 6 × 2 = 24，
所以该几何体的体积为 288 + 24 = 312；
(2)(ⅰ) 1 2 21 = 6 2 = 4 2，所以 1 1 = 4 2 × 2 = 8，
正四棱锥 侧面的高为 62 421 1 1 1 = 2 5，
1
所以正四棱锥的侧面积为 4 × 2 × 8 × 2 5 = 32 5；
(ⅱ)如图，将长方形 1 1， 1 1和 1 1展开在一个平面，
1 = 1 = 1 = 6， 1 1 = 1 1 = 8，设∠ 1 1 =
cos∠ 1 1 = cos∠ 1 1 = cos =
4
6 =
2
3， 1 1 = 1 = 8， 1 = 8 2
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∠ 1 1 =
π
4，所以 sin =
5
3 ，
sin2 = 2sin cos = 2 × 5 × 2 = 4 5所以 3 3 9 ，
2
cos2 = 1 2sin2 = 1 2 × 5 13 = 9，
π π π
cos∠ 1 1 = cos 4 + 2 = cos 4 cos2 sin 4 sin2
2+ 4 10
= 18
当 , , , 1四点共线时， + + 1最短，
所以 1 = 21 + 21 1 2 1 1 1 cos∠ 1
8
= 3 29 + 8 5
所以 + + 81的最小值为3 29 + 8 5．
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