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2024-2025 学年四川省内江市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin15°cos15° =( )
A. 1 B. 12 C.
1
3 D.
1
4
2.已知向量 = (2,3), = ( , 6)，若 与 共线，则 =( )
A. 9 B. 4 C. 4 D. 9
3.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3， = 60° 1，sin = 2，则 =( )
A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 1
4.如图， 中， 为 边的中点， 为 的中点，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 1 2 4 2 4 C.
1 1 1 1
4 + 2 D. 4 2
5 π.为了得到函数 = sin 2 5 的图象，只需将函数 = sin2 的图象( )
A. π π向左平移5个单位长度 B.向左平移10个单位长度
C. π π向右平移5个单位长度 D.向右平移10个单位长度
6.已知 的顶点坐标为 (1,1), (4,1), (3,3)，则 cos =( )
A. 12 B.
1 2 3
4 C. 2 D. 5
7.在 中，已知 tan ，tan 是关于 的方程 2 3 + 2 = 0，则 tan =( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
8.如图，在扇形 中，半径 = 2，圆心角∠ = 60°， 是扇形弧上的动点，
过 作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ，记∠ = ， = ( )，则 ( )( )
A. (0, π ) B. ( π π在 6 上单调递增 在 6 , 3 )上单调递增
C.是定值 3 D.是定值 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = (2,1)， = ( 2,4)，则下列说法正确的是( )
A. ⊥ B. | + | = 5
C.向量 + 与 的夹角为钝角 D.向量 在 上的投影向量为
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10.已知函数 ( ) = sin 2 π4 ，下列四个结论中，正确的有( )
A.函数 ( ) π的最小正周期为π B.函数 ( )的图象关于直线 = 8对称
C.函数 ( ) 3π的图象关于点 8 , 0 对称 D.
π 3π
函数 ( )在 8 , 8 上单调递增
11.我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在 中的向量关系 + = 的基础上平方或同乘的方法
构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， ，设 = ，
= ， = ，∠ = ，则下列结论正确的有( )
A. 2 + 2 + 2 = 2 cos + 2 cos + 2 cos
B. cos + cos =
C. sin( ) + sin( + ) = sin
D. cos( ) + cos( + ) = cos
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知下表为“五点法”绘制函数 ( ) = sin( + )图象时的五个关键点的坐标(其中 > 0， > 0，
| | < π).则 ( )的解析式为 ．
π
2π 7π 5π 13π18 9 18 9 18
( ) 0 2 0 2 0
13 (2,3), (4, 3) = 3.已知 ，点 在线段 上，且 2 ，则 的坐标为 ．
14.在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达 岛完成任务．已知军舰位于 市的南偏西 25°方向上的
处，且在 岛的北偏西 58°方向上， 市在 岛的北偏西 28°方向上，且距离 岛 248 ，此时，我方军舰沿
着 方向以 50 / 的速度航行，则我方军舰到达 岛的小时大约为 . (参考数据： 3 ≈ 1.73，sin53° ≈
4 3
5，cos53° ≈ 5 )
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ，
(1)求| |的值；
(2)求(2 + ) ( 4 )的值．
16.(本小题 15 分)
已知 sin( + ) = 12，tan = 5tan ，
(1)求 sin( )的值；
(2)若 , ∈ (0, π6 )，求 cos2 的值．
17.(本小题 15 分)
π
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， cos = 2 cos cos ， ≠ 2，
(1)求角 ；
(2)以 ， ， 3为边长的三个正三角形的面积依次为 1， 2， 3，若 1 2 + 3 = 2 ，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin2 2cos2 + 的最大值为 2，
(1)求 的值，及 ( )的单调递增区间；
(2) ( ) [ π若函数 在区间 2 , ]上单调递减，求实数 的取值范围；
(3) ∈ [0, π当 2 ]时，关于 的方程 ( ) + = 0 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ( ∈ R)，向量 = ( , )称为函数
( ) = sin + cos 的“相伴向量”(其中 为坐标原点)．
(1)设 ( ) = 2sin( π6 )( ∈ )，写出函数 ( )的相伴向量
；
(2) 3 1已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，记向量 = ( 2 , 2 )的相伴函数 ( )，若 (2 ) = 1
且 = 3，求 + 的最大值；
(3)已知 ( 2,3), (2,6)， ( )为(2) 2π中函数， ( ) = 2 ( 2 + 3 )，请问在 = ( )的图象上是否存在一点 ，
使得 ⊥ ？若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ( ) = 2sin 3 π6
13.( 16 35 , 5 )
14.4
15.(1)由| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ，得 = 2 × 1 × cos60 = 1，
2
所以| | = 2 + 2 = 22 + 12 2 = 3．
2
(2)由(1)，得(2 + ) ( 4 ) = 2 2 4 7 = 2 × 22 4 × 12 7 = 3．
16.(1)由 sin( + ) = 12，得 sin cos + cos sin =
1
2，
由 tan = 5tan sin 5sin ，得cos = cos ，即 sin cos = 5cos sin ，
联立解得 cos sin = 1 512，sin cos = 12，
所以 sin( ) = sin cos cos sin = 512
1
12 =
1
3．
(2)由 , ∈ (0, π6 )，得 0 < + <
π
3 ,
π π
6 < < 6，
由(1)得 cos( + ) = 1 ( 12 )
2 = 32 ，cos( ) = 1 (
1
3 )
2 = 2 23 ，
所以 cos2 = cos[( + ) + ( )] = cos( + )cos( ) sin( + )sin( )
= 3 × 2 2 1 1 2 6 12 3 2 × 3 = 6 ．
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17.(1)由 cos = 2 cos cos ，
可得：sin sin cos = 2sin cos cos ，
sin( + ) sin cos = 2sin cos cos ，
sin cos = 2sin cos cos ，
又 ≠ π2，sin ≠ 0，
所以 cos = 1 2，即 = 3．
(2)由题意得 1 =
1 2 3 3 2 3 2 3 2
2 2 = 4 ， 2 = 4 ， 3 = 4 ，
则 + = 3 2 3 2 + 3 2 = 3，即 21 2 3 4 4 4 2 +
2 2 = 2，
2+ 2 2cos = = 1由余弦定理得 2 2，所以 = 2，
cos = 1 sin = 3 = 1 3由 2，得 2 ，则 2 sin = 2 ．
18.(1)函数 ( ) = 3sin2 cos2 + 1 = 2sin(2 π6 ) + 1，则 ( )max = + 1 = 2，
因此 = 1， ( ) = 2sin(2 π ) π+ 2 π ≤ 2 π6 ，由 2 6 ≤
π
2 + 2 π, ∈ Z，
得 π π6 + π ≤ ≤ 3 + π, ∈ Z
π π
，所以 ( )的单调递增区间为[ 6 + π, 3 + π]( ∈ Z)．
(2)当 ∈ [ π2 , ]
π
时，2 6 ∈ [
5π
6 , 2
π
6 ]，
由 ( ) π 5π π 3π π 5π在区间[ 2 , ]上单调递减，得 6 < 2 6 ≤ 2，解得2 < ≤ 6 ，
π
所以实数 的取值范围是2 < ≤
5π
6．
(3)令 = 2 π π π π 5π6，由 ∈ [0, 2 ]，得 = 2 6 ∈ [ 6 , 6 ]，
由方程 ( ) + = 0 有两个不相等的实数根，得直线 = 与函数 = sin , ∈ [ π 5π6 , 6 ]的图象有两个交点，
π 5π
作出函数 = sin 在[ 6 , 6 ]的图象，如图，
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观察图象得，当且仅当 1 ≤ < 2，即 2 < ≤ 1 时，直线 = 与函数 = sin , ∈ [ π , 5π6 6 ]的图象有
两个交点，
所以实数 的取值范围是 2 < ≤ 1．
19.(1) ( ) = 2sin( π6 ) = 2(
3
2 sin
1
2 cos ) = 3sin cos ，
所以函数 ( )的相伴向量 = ( 3, 1)．
(2) 3 1 π依题意， ( ) = 2 sin 2 cos = sin( 6 )，由 (2 ) = 1，得 sin(2
π
6 ) = 1，
π π 11π π π
又 2 6 ∈ ( 6 , 6 )，即 2 6 = 2，则 =
π
3，
3
又 = 3，由正弦定理sin = sin = sin = 3 = 2，得 = 2sin ， = 2sin ，
2
即 + = 2sin + 2sin = 2sin + 2sin( 2π3 ) = 3cos + 3sin = 2 3cos(
π
3 )，
由 0 < < 2π π π π π3 ，得 3 < 3 < 3，则 2 3cos( 3 ) ∈ ( 3, 2 3], + 的取值范围为( 3, 2 3],
所以 + 有最大值 2 3．
(3) π由(2)知 ( ) = sin( 6 )，
( ) = 2 ( + 2π 2π则 2 3 ) = 2sin[( 2 + 3 )
π
6 ] = 2sin(
π
2 + 2 ) = 2cos 2，
设 ( , 2cos 2 )，由 ( 2,3), (2,6)

，得 = ( + 2,2cos 3), 2
= ( 2,2cos 2 6)，
由 ⊥ ，得 = 0，则( + 2)( 2) + (2cos 2 3)(2cos

2 6) = 0，
即 2 4 + 4cos2 2 18cos

2+ 18 = 0，于是(2cos
92 2 )
2 = 254
2．
2 ≤ 2cos ≤ 2 13 ≤ 2cos 9 ≤ 5 25 ≤ (2cos 9 )2 ≤ 169由 2 ，得 2 2 2 2，则 4 2 2 4 ，
25
而 4
2 ≤ 254，因此当且仅当 = 0 时，(2cos
9 )2 25 252 2 和
2
4 同时等于 4，
所以在 = ( )图象上存在点 (0,2)，使得 ⊥ ．
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