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2024-2025 学年四川省仁寿第一中学校南校区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 1 2i = + i(i 为虚数单位)，其中 ， 为实数，则 + 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2.已知力 的大小 = 10，在 的作用下产生的位移 的大小为 = 14， 与 的夹角为 60°，则 做的功为( )
A. 7 B. 10 C. 14 D. 70
3.2sin45°cos45°的值为( )
A. 2 B. 13 C.
1
2 D. 1
4 2 .复数 i 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知向量 = (0,10)， = (1,3)，则 在 上的投影向量的坐标为( )
A. (9,3) B. ( 9, 3) C. (3,9) D. ( 3, 9)
6.cos15° =( )
A. 6 2 6+ 2 6 24 B. 4 C. 2 D.
6+ 3
4
7.若 1 + tan 1 + tan = 2，则 tan( + ) =( )
A. 0 B. 12 C. 1 D. 4
8.已知 是 内的一点，且 = 2 3, ∠ = 30 ，若 , 1和 的面积分别为2 , , ，
1
则 +
4
的最小值是
A. 20 B. 18 C. 16 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量的长度都为 0
D.两个单位向量的长度相等
10.为了得到函数 ( ) = sin 3 π6 的图象，只需将函数 ( ) = sin 的图象( )
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A. 1 π所有点的横坐标缩短到原来的3，纵坐标不变，再将所得图象向右平移18个单位长度
B. π所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移18个单位长度
C. π 1向右平移6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的3，纵坐标不变
D. π 1向右平移18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的3，纵坐标不变
11.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列结论中正确的选项有( )
A.若 > ，则 sin > sin
B. = 2 3, = 2, = 2π3，则 = 4
C.若 cos cos = ，则 定为直角三角形
D. π若 = 3 , = 2 且该三角形有两解，则 的取值范围是( 3, 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 (1,3), (4, 1)，求与向量 方向相同的单位向量为 ．
13.已知 是虚数单位，复数 和( + 2)2 8i 均为纯虚数，则| + 3| = ．
14.如图，在正六边形 中，若 = 1，则| + + | = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (1,3), = (6, )．
(1)若 ⊥ ，求 2 3 的值；
(2)若 // ,求 的值；
(3)若向量 = (1, 1)，若 + 与 共线，求
16.(本小题 15 分)
2
如图，在平面直角坐标系中， = 2 = 4，∠ = 3，
= 2,2 3
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(1)求点 , 的坐标；
(2)求证：四边形 为等腰梯形．
17.(本小题 15 分)
在 中，设 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知向量 = ( , sin sin )， = ( + , sin + sin )，
且 //
(1)求角 的大小
(2)若 = 3，求 的周长的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图所示，在 中， = 1 ，4
= 1 2 ， 与 相交于点 ，设
= ， = ．
(1)试用向量 , 表示 ；
(2)过点 作直线 分别交线段 , 于点 , ，记 = ， = ，求证：不论点 , 在线段 ,
1 3
上如何移动， + 为定值．
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 3sin cos + cos2 + π，其图象一个对称轴为 = 6， ∈ (0,2)
(1)求 ( )的解析式及单调递减区间；
(2) π若函数 ( )在区间 0, 2 上有 2 个不同的零点，求 的取值范围；
(3) π若 ( )在 0, 6 上最小值为 1，求使不等式 ( ) ≥ 0 成立的 的取值集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 35 ,
4
5
13. 13
14.2
15.解：(1)因为 ⊥ ，所以 = 0，则 1 × 6 + 3 = 0，解得 = 2，
故 = (6, 2)，2 3 = 2(1,3) 3(6, 2) = (2,6) (18, 6) = ( 16,12)．
(2)因为 // ，所以 = 3 × 6 = 18，则 = (6,18)， = 62 + 182 = 6 10．
(3) + = (1,3) + (6, ) = (7,3 + )， = (6, ) (1, 1) = (5, + 1)，
若 + 与 共线，则 5 × (3 + ) = 7 × ( + 1)，解得 = 4，即 = (6,4)，
故 = 1 × 6 + 3 × 4 = 18．
16.解：(1)设 ( , )，则 = + cos( ∠ ) = 5，
= sin( ∠ ) = 3，
∴ 5, 3 ，
∴ = + = 5, 3 + 2,2 3 = 3,3 3 ，
∴ 3,3 3 ；
(2)证明：连接 ，
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∵ = 3,3 3 ， = 1, 3 ，
∴ = 3 ，∴ // 且 ≠ ，
又
2
= 4， = ( 2)2 + 2 3 = 4，
∴ = ，
∴四边形 为等腰梯形．
17.解：(1)由向量 = ( , sin sin )， = ( + , sin + sin )，且 // ，
得： (sin + sin ) = ( + )(sin sin )
由正弦定理，得： ( + ) = ( + )( )
化为： 2 + 2 2 = ，由余弦定理，得：cos = 12，
2
所以， = 3；
(2)因为 = 2 3，所以， =

3

，由 > 0，得：0 < < 3，

由正弦定理，得：sin = sin = sin = 2 3，
的周长为： + + = 2 3(sin + sin ) + 3 = 2 3[sin + sin( 3 )] + 3
= 2 3sin + 2 3 × 32 cos 2 3 ×
1
2 sin + 3 = 3sin + 3cos + 3 = 2 3sin( +

3 ) + 3，
2 3
由 0 < < 3，得：3 < + 3 < 3， 2 < sin( + 3 ) ≤ 1，
所以，周长 2 3sin( + 3 ) + 3 ∈ (6,2 3 + 3]．
18.解：(1)因为 , , 三点共线，
所以存在实数 使得 = + (1 ) = 2 + (1 ) ，
又因为 , , 三点共线，
1
所以存在实数 使得 = + (1 ) = + 4 ，
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2 = =
6
根据向量相等可得 ，解得 7 ,
1 = 1 4 =
3
7
所以 = 1 + 3 7 7 ．
(2)设 = + = + ，
1
由(1)可得 = 7①， =
3
7②，
又 , , 三点共线，所以 + = 1③，
由①②可得 7 = 1 ，7 =
3 1 3
，代入③式可得 + = 7( + ) = 7，
1 3
即不论点 , 在线段 , 上如何移动， + 为定值 7．
19.解：(1)根据已知有： ( ) = 3 sin2 + cos2 +12 2 + = sin 2 +
π 1
6 + 2+ ，
π
因为图象一个对称轴为 = 6，所以 2 ×
π + π = π6 6 2 + π ∈ Z ，
解得 = 1 + 3 ∈ Z ，又因为 ∈ (0,2)，所以 = 1，
π
所以 ( ) = sin 2 + 6 +
1
2 + ；
由 2 π + π2 ≤ 2 +
π
6 ≤ 2 π +
3π
2 ∈ Z ，
π + π ≤ ≤ π + 2π解得： 6 3 ∈ Z ，
π 2π
所以函数的单调递减区间为： π + 6 , π + 3 ∈ Z ．
(2) π π因为 ∈ 0, 2 ，所以 2 + 6 ∈
π , 7π6 6 ，
π
又因为函数 ( )在区间 0, 2 上有 2 个不同的零点，
( ) = 0 ∈ 0, π sin 2 + π = 1 ∈ 0, π令 2 ，即 6 2 2 ，
1根据题意有： 2 ∈
1 , 1 12 ，即2 ≤
1
2 < 1
3
，解得 2 < ≤ 1，
所以 ∈ 32 , 1 ．
(3)因为 ∈ 0, π6 ，所以 2 +
π π π
6 ∈ 6 , 2 ，
所以 ( ) 1 1min = (0) = 2 + 2 + = 1 + = 1，解得 = 0，
所以 ( ) = sin 2 + π + 16 2，
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( ) ≥ 0，即 sin 2 + π + 1 ≥ 0 π 16 2 ，所以 sin 2 + 6 ≥ 2，
π π 7π
所以 6 + 2 π ≤ 2 + 6 ≤ 6 + 2 π ∈ Z ，解得
π
6 + π ≤ ≤
π
2 + π ∈ Z ，
所以使 ( ) ≥ 0 π π成立的 的取值集合为： | 6 + π ≤ ≤ 2 + π ∈ Z ．
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