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2024-2025 学年四川省阆中北大博雅骏臣学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin160°cos10° + cos20°sin10° =( )
A. 3 B. 3 C. 12 2 2 D.
1
2
2 1.若 sin = 3，则 cos2 =
A. 8 B. 79 9 C.
7
9 D.
8
9
3.如下图， 是线段 的中点，设向量 = ， = ，那么 能够表示为( )
A. + 1 2 B. +
1
2
C. 1 2
D. 1 2

4.已知向量 = ( 3,1)， = (1, 2)，则向量 与 夹角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
5.在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2 + 2 = 2 + 3 ，则 = ( )．
A. 5π12 B.
π π π
4 C. 3 D. 6
6.已知向量 = (0,1), = (2, )，若 ⊥ ( 4 )，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
7. 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且满足 2 cos = 2 + ，则角 的值为
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
8.设函数 ( ) = sin( + π3 )在区间(0, π)恰有三条对称轴 两个零点，则 的取值范围是( )
A. 5 , 133 6 B.
5
3 ,
19
6 C. (
13
6 ,
8
3 ] D. (
13 19
6 , 6 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.要得到函数 = sin 2 + π3 的图象，只要将函数 = sin 图象上所有的点( )
A. 1 π横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3个单位
B. 1 π横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移6个单位
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C. π 1向左平移3个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
D. π 1向左平移6个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
10.已知函数 ( ) = sin 3cos ，则( )
A. ( )的最大值为 2
B. π函数 = ( )的图象关于点 3 , 0 对称
C. π直线 = 3是函数 = ( )图象的一条对称轴
D.函数 = ( ) π在区间 2 , 0 上单调递增
11.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )．
A.若 sin > sin ，则 >
B.若 2 + 2 > 2，则 为锐角三角形
C.若 cos = cos ，则 为等腰三角形
D. π若 = 2， = 3，这样的三角形有两解，则 的取值范围为 3, 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复数 = 3 i，则| | = ．
13.在△ 中， = 5， = 7， = 120°，则△ 的面积为 ．
14.需要测量某塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 75 ，
∠ = 45 ， = 96 米，在点 处测得塔顶 的仰角为30 ，则塔高 为 米
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 中， = 7， = 2， = 3．
(1)求 ；
(2)求 sin ；
(3)求 的面积．
16.(本小题 15 分)
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如图，在矩形 中， = 8, = 4，点 为线段 上的动点， 与 的交点为 ．
(1)求 ；
(2)若点 为 的中点，求 cos∠ ．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式与单增区间；
(2)求 ( ) > 1 的解集．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = ( , 3 )， = (cos , sin )且 // ．
(1)求角 ；
(2)若 = 13， = 3，求 的面积；
(3)若 = 2，求 + 的最大值．
19.(本小题 17 分)
锐角三角形 中，角 , , 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 cos + ．
(1)求 ；
(2)求三角形 周长的取值范围；
(3)求三角形 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.15 34
/154 3
14.32 2
2 2 2
15.(1) cos = + 由余弦定理 2 ，
22+32 7
2
1
可得 cos = 2×2×3 = 2，
π
因为 ∈ 0, π ，所以 = 3；
(2)在 中，由正弦定理sin = sin ，
2
可得sin =
7 21
3，解得 sin = 7 ；
2
(3)由 1的面积 = 2 sin ，
可得 = 12 × 2 × 3 ×
3
2 =
3 3
2 ．
16.(1)因为 ⊥ ，所以 = 0
= = +
2
= + =
2
=
2
= 16．
(2)以 为坐标原点， , 所在直线分别为 , 轴建立如图所示平面直角坐标系，
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可得 0, 0 , 8, 0 , 0, 4 , 8, 4 .则 = 8, 4 ．
若 为 的中点，则 4, 0 ，故 = 4, 4 ，

又由 = 8, 4 ，则 cos∠ = cos = =
16 10
4 5×4 2
= 10 ．
17.(1)由函数 ( ) = 2 3 = 11π π 3π的部分图象可知 ，4 12 6 = 4，
2π
所以 = π，所以 = = 2，所以函数 ( ) = 2sin(2 + )，
又 π π π6 = 2，所以 2 × 6 + = 2 + 2 π, ∈ Z，
解得 = π6 + 2 π, ∈ Z，由| | <
π
2可得 =
π
6，
所以 ( ) = 2sin 2 + π6 ．
π π π
令 2 + 2 π ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z
π
，解得 3 + π ≤ ≤
π
6 + π, ∈ Z，
π π
故单调递增区间为 3 + π, 6 + π , ∈ Z
(2) ( ) = 2sin 2 + π > 1 sin 2 + π > 16 ，则 6 2
结合 = sin π图象可得6 + 2 π < 2 +
π
6 <
5π
6 + 2 π, ∈ Z
π < < π解得 3 + π, ∈ Z，
故 ( ) > 1 π的解集为 π, 3 + π , ∈ Z
18.(1)向量 = ( , 3 )， = (cos , sin )且 // ，则 sin 3 cos = 0，
在 中，由正弦定理得 sin sin = 3sin cos ，而 sin > 0，
则 sin = 3cos ，即 tan = 3，又 ∈ (0, π)，
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所以 = π3．
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 13 = 9 + 2 6 12
于是 2 3 4 = 0，而 > 0，解得 = 4，
所以 1 1的面积 = 2 sin = 2 × 3 × 4 × sin
π
3 = 3 3．
(3)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
2
则 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + )22 =
( + )
4 ，
当且仅当 = 时取等号，解得 + ≤ 4，
所以当 = = 2 时， + 取得最大值 4．
19.(1)由正弦定理：2sin( + ) = 2sin = 2sin cos + sin ，
则 2sin cos + 2sin cos = 2sin cos + sin ，
所以 cos = 1 π π2，根据 0 < < 2得： = 3．
(2) 由正弦定理：sin = sin = sin = 2，所以 = 2sin , = 2sin ，
+ = 2sin + 2sin = 2sin + 2sin 2π3 = 3sin + 3cos = 2 3sin +
π
6 ，
注意到 0 < < π2 , 0 <
2π < π π π3 2，所以6 < < 2，
所以 + π ∈ π6 3 ,
2π
3 , sin +
π 3
6 ∈ 2 , 1 ,
所以 + ∈ 3,2 3 ,
所以周长的取值范围是 3 + 3, 3 3 ．
(3)余弦定理：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1 π
所以三角形 面积为2 sin 3 ≤
3 3
4 ，
当且仅当 = = 3时，即 3 3为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
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