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2024-2025 学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. = sin B. = sin2 C. = cos D. = cos2
2.在 中， 为 的中点，若 = ， = ，则 为( )
A. 1 2
B. 1 + 2
C. 12
D. + 1 2
3.下列命题中正确的是( )
sin
A.若 ∈ π2 ,
π
2 且 2 > 1 > 0

，则 2 < 11
cos
B. ∈ π , π若 且 > > 0 ，则 22 2 1 2 > 11
C. ∈ π , π
cos
若 2 2 且 2 > 1 > 0

，则 2 > 11
π π sin D.若 ∈ , 22 2 且 1 > 2 > 0，则 < 11
4.在平面直角坐标 中，已知任意角 以坐标原点为顶点， 轴的非负半轴为始边，若终边经过点 0, 0 ，
且| | = ( > 0) + ，定义 sos = 0 0 ，称“sos 正余弦函数”，对于“正余弦函数 = sos ”，有同学得
到以下性质，
①该函数的值域为 2, 2 ；②该函数的图象关于原点对称；
3
③该函数的图象关于直线 = 4π对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为 2π．
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
5.化简向量运算： + + + = ．
6.在 中，若sin2 = sin2 + sin2 ，则这个三角形一定为 三角形．
7 π.已知圆心角为6的扇形面积等于 3π，则该扇形的半径为 ．
8.已知 tan = 1 sin cos 2，则sin +cos = ．
9.已知 = (2,1), = (3,4)，则 在 方向上的投影为
10.已知向量 = cos , sin ， = 1, 3 ，则 的最大值为 ．
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11.已知奇函数 ( )的一个周期为 2，当 ∈ (0,1)时， ( ) = cos 3，则 (7.5) = ．
12.已知平面向量 = (1,2)， = (3, 2)， = + 3 ， = + .若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围
是 ．
13.设函数 ( ) = sin π π6 + ( > 0)，若 ( ) ≤ 3 对任意的实数 都成立，则 的最小取值等于 ．
14.已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 在正六边形的边上
运动， 为圆 的直径，则 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 16 分)
已知 cos = 35， ∈ ( , 2 )．
(1)求 cos2 的值；
(2)若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，且终边经过点(3, 1)，求 tan( )的值．
16.(本小题 16 分)
已知向量 ， 满足 = 5， = 4， + ⊥ ．
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)求 2 + ．
17.(本小题 16 分)
如图，某城市有一矩形街心广场 ，如图.其中 = 4 百米， = 3 百米.现将在其内部挖掘一个三角形
水池 种植荷花，其中点 在 边上，点 在 边上，要求∠ = 4．
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(1)若 = = 2 百米，判断 是否符合要求，并说明理由；
(2)设∠ = ，写出 面积的 关于 的表达式，并求 的最小值．
18.(本小题 16 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 2 3sin + π3 cos +
π
3 , ∈ ．
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)若函数 ( ) = π ，求函数 ( )的单调递减区间；
(3) π π若函数 ( ) + 1 = 0 在区间 6 , 2 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．
19.(本小题 16 分)
定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ( ∈ )，向量 = ( , )称为函数
( ) = sin + cos ( ∈ )的“相伴向量”(其中 为坐标原点)．
(1)设 ( ) = 2sin π ( ∈ )，写出函数 ( )的相伴向量 6 ；
(2)已知 的内角 3 1， ， 的对边分别为 ， ， ，记向量 = 2 , 2 的相伴函数为 ( )，若 (2 ) = 1
且 = 3，求 + 的取值范围；
(3)已知 ( 2,3)， (2,6) 2π， ( )为(2)中的函数， ( ) = 2 2 + 3 ，请问在 = ( )的图像上是否存在一
点 ，使得 ⊥ ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.0
6.直角
7.6
8. 13
9.2 5
10.3．
11. 32
12. 19, 1 ∪ 13 3 , + ∞ ;
13.2
14.[8,12]
15. 3解：(1) ∵ cos = 5， ∈ ( , 2 )，∴ sin = 1 cos
2 = 45，
∴ cos2 = 2cos2 1 = 2( 3 2 75 ) 1 = 25．
(2)由题意，tan = 13，
由(1)知，tan = sin 4cos = 3，
4 1
tan( ) = tan tan 3
+
则 31+tan tan = 1 4×1
= 3．
3 3
16.解：(1) ∵ + ⊥ ， = 5， = 4，
2
∴ + = + = 0，
∴ 5 × 4 × cos , + 16 = 0，
∴ cos , = 45；
(2) (1) = 5 × 4 × 4由 知 5 = 16，
2 2
∴ 2 + = 4 2 + + 4 = 4 × 25 + 16 + 4 × ( 16) = 52，
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∴ 2 + = 2 13；
17.解：(1)由题意 = 5， = 13， = 2 5，
cos∠ = 13+20 5 7 2所以 2×2 5× 13 = 65 ≠ 2
所以∠ ≠ 4， 不符合要求
(2) ∵ ∠ = ，∠ = 4 ，
所以 = 4cos ， =
3
cos 4
= 12 sin

4 =
3 2
，
cos cos 4
2
∵ cos cos 4 = 2 cos cos + sin
2
= 4 sin2 + cos2 + 1
1 2 1 2
= 2 sin 2 + 4 + 4 ≤ 2+ 4
所以 ≥ 12 2 1 ， 的最小值为 12 2 1 ．
18.解：(1)因为 ( ) = cos2 + 1 3sin 2 + 2π 33 = 2 sin2
1
2 cos2 + 1 = sin 2
π
6 + 1，
= 2π所以 2 = π．
(2) ( ) = π = sin 2 π π6 + 1 = sin 2 +
π
6 + 1，
π由 2 + 2 π ≤ 2 +
π π π
6 ≤ 2 + 2 π, ∈ ，解得 3 + π ≤ ≤
π
6 + π, ∈ ，
π π
所以函数 ( )的单调递减区间为 3 + π, 6 + π , ∈ ．
(3)由 ( ) + 1 = 0 得 sin 2 π6 = ，
∈ π π π π 5π当 6 , 2 时，2 6 ∈ 6 , 6 ，
1 π
所以2 < sin 2 6 ≤ 1，
作出函数 = sin 2 π π π6 在 6 , 2 的图象，如图：
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= sin 2 π由函数 6 与 = 的图象有两个交点，
1
得2 < < 1，即 1 < <
1
2，即实数 的取值范围为 1,
1
2 ．
19. (1) ( ) = 2sin π = 2 3 sin 1解： 6 2 2 cos = 3sin cos
所以函数 ( )的相伴向量 = 3, 1 ；
(2)由题知 ( ) = 32 sin
1
2 cos = sin
π
6 ，由 (2 ) = 1，得 sin 2
π
6 = 1．
又因为 2 π6 ∈
π , 11π π6 6 ，即 2 6 =
π
2，所以 =
π
3．

又因为 = 3，由正弦定理sin =

sin = sin ，得 = 2sin , = 2sin ，
+ = 2sin + 2sin = 2sin + 2sin 2π即 3 = 2sin + 2
3
2 cos +
1
2 sin
= 3sin + 3cos = 2 3cos π3 ，因为 0 < <
2π π π π
3 ，所以 3 < 3 < 3，
所以当 π π π3 = 0，即 = 3时，cos 3 取得最大值 1，
即 + 的最大值为 2 3，最小值大于 边．所以 + 的取值范围为 3, 2 3
(3)由(2)知， ( ) = sin π6 ，
2π
所以 ( ) = 2 2+ 3 = 2sin
+ 2π π2 3 6 = 2sin

2+
π
2 = 2cos

2，
设 , 2cos 2 ，因为 2,3 , 2,6 ，
所以 = + 2,2cos 3 ， 2 = 2,2cos

2 6
又因为 ⊥ ，所以 = 0，所以( + 2)( 2) + 2cos 2 3 2cos

2 6 = 0
2
即 2 4 + 4cos2 2 18cos
+ 18 = 0 9 252 ，所以 2cos
2
2 2 = 4 .
2
因为 2 ≤ 2cos 2 ≤ 2
13 9 5 25 9 169
，所以 2 ≤ 2cos 2 2 ≤ 2，所以 4 ≤ 2cos 2 2 ≤ 4 ，
25 25 9 2
又因为 24 ≤
25 25
4，所以当且仅当 = 0 时， 2cos 和
2
2 2 4 同时等于 4，
所以在 = ( )图像上存在点 0,2 ，使得 ⊥ ．
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