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2024-2025 学年上海市松江一中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. = sin B. = sin2 C. = cos D. = cos2
2.“ 0 = π”是“函数 = tan 的一个对称中心是 0, 0 ”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
3 2 π.设 是正整数，集合 = | = cos , ∈ Z .当 = 2024 时，集合 元素的个数为( )
A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024
4.如图，在平面直角坐标系 中，已知 (1,0)、 (0,1)、 ( 1,1)、 ( 1,0)、 (0, 1)、 (1, 1).有一
封闭图形 ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为 1 的圆弧，二、四象限的部分为线段 、 、
、 .角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合， 的终边与该封闭图形 交于点 ，点 的纵坐
标 关于 的函数记为 = ( )，则有关函数 = ( )图象的说法正确的是( )
A. π关于直线 = 4成轴对称，关于坐标原点成中心对称
B.关于直线 = 3π4成轴对称，且以 2 为周期
C.以 2 为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心
D.夹在 =± 1 之间，且关于点( , 0)成中心对称
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5 π.若扇形的圆心角为3，半径为 4，则扇形的面积是
6 1 .已知 cos = 3，则 sin 2 + = ．
7.把 = 3sin + cos 化成 = sin( + )( > 0, | | < π2 )的形式，则 = ．
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8.函数 = tan( 4 )的单调递增区间为
9.在 中， , , 是 的三边且满足 2 = 2 + 2 + ，则角 的大小为 ．
10.函数 = 2sin 1 0 ≤ ≤ 2π 的定义域为 ．
11.函数 ( ) = sin( + )的部分图象如图所示，其中 > 0， > 0，| | < π.则 ( )的解析式为 ．
12 π π.将函数 = 3cos 2 + 3 的图象向右平移 0 < < 2 个单位长度后，所得函数为奇函数，则 = ．
13 π π π.已知函数 = sin + 6 ( > 0)在区间 2 , 3 上是严格增函数，则 的取值范围是 ．
14.如图，长为 2，宽为 1 的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块
底与桌面成 30°角，则点 走过的路程是 ．
15.设函数 ( ) = sin 2π，若对于任意 ∈ 3 , π ，都存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) + ( ) = 0，则 的最小值
为 ．
tan , ∈ , ∪ 2 , 3
16 2 3 3 2.已知函数 ( ) = 6 3 2 若 ( )在区间 上的最大值存在，记该最大值为 ，则满 + 3 3, ∈ 3 , 3
足等式 {[0, )} = 3 {[ , 2 ]}的实数 的取值集合是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
3 4
已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ( 5 , 5 ).
(Ⅰ)求 sin( + )的值；
(Ⅱ) 5若角 满足 sin( + ) = 13，求 cos 的值．
18.(本小题 14 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且(2 )cos = cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 2 ，求△ 的面积．
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19.(本小题 14 分)
一块长方形鱼塘 ， = 50 米， = 25 3米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建 3 条
如图所示的观光走廊 ， ， ，考虑到整体规划，要求 是 的中点，点 在边 上，点 在边 上，
且∠ = 90°．
(1)设∠ = ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
20.(本小题 14 分)
已知 ( ) = sin2 + 2 3sin cos cos2 ( > 0)的最小正周期为π．
(1)化简函数 = ( )的表达式，并求出 的值；
(2) ( ) < 2 ∈ 0, π若不等式 在 2 上有解，求实数 的取值范围；
(3) π将函数 = ( )图像上所有的点向右平移 ( ∈ 0, 2 )个单位长度，得到函数 = ( )，且 = ( )为偶
π
函数.若对于任意的实数 ，函数 = ( )， ∈ , + 5 与 = 1 的公共点个数不少于 6 个且不多于 10 个，
求正实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
定义有序实数对( ， )的“跟随函数”为 ( ) = sin + cos ∈ R ．
(1)记有序数对(1, 1)的“跟随函数”为 ( )，若 ( ) = 0, ∈ 0,2π ，求满足要求的所有 的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为 ( )，若函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 与直线 = 有且仅有
四个不同的交点，求实数 的取值范围；
(3)已知 = 3，若有序数对( ， )的“跟随函数” = ( )在 = 0处取得最大值，当 在区间(0, 3]变化
时，求 tan2 0的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.8π/83 3π
6.13
7.2sin( + π6 )
8.( 4 , +
3
4 )， ∈
9.2π3
10.[ π , 5π6 6 ]
11. ( ) = 2sin(2 π3 )
12.5π 512/12π
13.0 < ≤ 1
14.76π +
5
2 π．
15.4π 43 /3
16. 4 9 ,
7
12
17.解：(Ⅰ)由角 3 4的终边过点 ( 5 , 5 )得 sin =
4
5，
所以 sin( + π) = sin = 45．
(Ⅱ)由角 的终边过点 ( 3 4 35 , 5 )得 cos = 5，
由 sin( + ) = 5 1213得 cos( + ) =± 13．
由 = ( + ) 得 cos = cos( + )cos + sin( + )sin ，
所以 cos = 56 1665或 cos = 65．
18.解：(1)根据正弦定理，由(2 )cos = cos ，
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得 2 cos = sin cos + sin cos ，
即 2 cos = sin( + )，
所以 2 cos = sin ，
因为 0 < < ，所以 sin ≠ 0，
cos = 1 所以 2，因为 0 < < ，所以 = 3．
(2)因为 = 3， = 2 ，由(1)得 = 3，
2+ 2cos =
2 4 2+ 2 9 1
所以 2 = 4 2 = 2，
解得 = 3，所以 = 2 3．
1 1 3 3 3所以 △ = 2 sin = 2 × 2 3 × 3 × 2 = 2 ．
19.解：(1)在 中， = 25, ∠ = 90 ，∠ = 25，所以 = cos ，
在 中，∠ = ，即 = 25 sin ，又∠ = 90 ，
所以 = 2 + 2 = 25sin cos ，
25 25 25所以 的周长 = + + = cos + sin + sin cos ，
即 = 25(sin +cos +1)sin cos ;
当点 在点 时，角 最小，此时 = 6 ;
当点 在点 时，角 最大，此时 = 3 ;

故此函数的定义域是 6 , 3
(2)由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可
2
设 sin + cos = ，则 sin cos = 12 ，
25( +1)
则原函数可化简为 = 2 =
50
1 1，
2
因为 ∈ 6 ,
5 7
3 ，所以 + 4 ∈ 12 , 12 ， = 2sin +

4 ，
3+1
则 2 ≤ ≤ 2，
3 1
则 2 ≤ 1 ≤ 2 1
从而 2 + 1 ≤ 1 1 ≤ 3 + 1
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则当 = 2时，即 = 4时， min = 50( 2 + 1)；
即当 = = 25 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 200000( 2 + 1)元.
20.解：(1)依题意 ( ) = 3sin2 cos2 sin2 = 3sin2 cos2 = 2sin 2 π6 ，
又因为 ( ) 2π的最小正周期为π，则2 = π，即 = 1，
π
所以 ( ) = 2sin 2 6 ．
(2) ∈ 0, π π π 5 π当 2 时，2 6 ∈ 6 , 6π ，则 sin 2 6 ∈
1
2 , 1 ，
所以 2sin 2 π6 ∈ [ 1,2]，即 ( ) ∈ [ 1,2]，
因为不等式 ( ) < 2 π在 ∈ 0, 2 上有解，
即 2 < ( ) < + 2 在 ∈ 0, π2 上有解，
> ( ) 2
即 min < ( ) + 2 ，即 3 < < 4．max
(3)由(2) π及已知， ( ) = ( ) = 2sin 2 2 6 ，因 = ( )为偶函数，
π π
则 2 6 = π + 2 , ∈ Z，
= π π π π解得 3 2 , ∈ Z，又 ∈ 0, 2 ，即有 = 1， = 6，
于是 ( ) = 2cos2 ，
由 ( ) = 1 可得 cos(2 ) = 12， > 0，
= cos(2 ) ′ = 2π = π而函数 的周期 2 ，
依题意，对于 ∈ R, cos(2 ) = 12在 ∈ , +
π
5 上
3 ′ ≤ π 3π ≤ π
均有不少于 6 个且不多于 10 个根，则有 5，即 5
5 ′ > π 5π
，解得 15 ≤ < 25，
5 >
π
5
所以正实数 的取值范围是[15,25)．
21.解：(1)由题意 ( ) = sin cos = 0，sin = cos ，tan = 1，
= π + π4 ( ∈ Z)，
π 5π π 5π
又 ∈ [0,2π]，所以 = 4或 4，即所求集合为{ 4 , 4 }；
(2)由题意 ( ) = cos ，则 ( ) = cos + 3 sin ，
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∈ [0, ]时， ( ) = cos + 3sin = 2( 12 cos +
3
2 sin ) = 2sin( +
π
6 )，
∈ ( , 2 ]时， ( ) = cos 3sin = 2( 12 cos
3
2 sin ) = 2sin(
π
6 )，
作出函数 = ( )， ∈ 0,2π π 5π π 5π的图象，如图， ( )在[0, 3 ]和[π, 3 ]上递增，在( 3 , π)和( 3 , 2 ]上递减，
( )max = 2， (0) = (2π) = 1，
由图象可知，1 ≤ < 2 时，函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 的图象与直线 = 有且仅有四个不同
的交点，
所以 的范围是[1,2)；
(3)由题意 ( ) = 3sin + cos = 9 + 2sin( + ) 3 ，其中 cos = ，sin = ，
9+ 2 9+ 2
+ = 2 π + π易知 2 , ∈ Z 时， ( )
2
max = 9 + ，
= 2 π + π0 2 ( ∈ Z)，
sin 0 = sin(2 π +
π
2 ) = cos ，同理 cos 0 = sin ，
tan 0 =
sin 0 cos
cos =0 sin
，
2cos 6
tan2 = 2tan 0 = sin = 2sin cos 9+ 2 6 60 1 tan2 0 cos21 sin2 cos2
= =
2 9 2 9
= ，
9
sin2 9+ 2 9+ 2
∈ (0, 3] 9 9时，函数 = 是增函数，因此 ∈ ∞, 2 3 ,
6
从而
9
∈ 3, 0 ，即 tan2 0 ∈ 3, 0 ．

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