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2024-2025 学年上海市南洋模范中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ( + 1)( 3) ≤ 0 , = 3, 2, 1,1,2,3 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1 B. 1,1,2,3 C. 1,2 D. 3, 2, 1
2.函数 ( ) = + 1 ( ∈ )的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
3 = ≤ .定义运算： > ，对于函数 ( )和 ( )，把函数| ( ) ( )|在闭区间[ , ]上的最大值称为
( )与 ( )在闭区间[ , ]上的“绝对差”，记为 ( ( ), ( ))，则 (sin cos , 1) =
≤ ≤ 0≤ ≤0.5
A. 1 22 B.
2
2 C. 1 D. 1 +
2
2
4.已知平面向量 ， ， ，且 = 1， = 2.已知向量 与 所成的角为 60°，且 ≥ 对任意实
1数 恒成立，则 + + 2
的最小值为( )
A. 3 + 1 B. 2 3 C. 3 + 5 D. 2 5
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.若 sin = 2 2 ∈ 3 ， 2 , ，则 tan = ．
6.四边形 为菱形，其中∠ = 120°， = 1，则 = ．
7.已知点 (1,3) π sin cos 是角 终边上一点，将角 的终边逆时针旋转2得到角 ，则sin cos = ．
8.若函数 ( ) = sin + cos π的图象关于直线 = 6对称，则实数 的值是 ．
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9.已知 = ( )的表达式为 ( ) = sin(2 + )( > 0,0 ≤ < 2 )的部分图象如图，则 (0) = ．
10.已知 tan , tan 是方程 2 3 3 = 0 的两个实数根，则 sin(2 + 2 ) = ．
11 3π.已知 + = 2，tan + tan = 2，则 cos( ) = ．
12.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = 3，且 2 + 2 = 3 + 2，则 的面积最
大值是 ．
13.如图，矩形 中， = 4， = 6，点 是 中点，连接 .将 沿 折叠，点 落在点 处，
则 sin∠ 的值为 ．
14.函数 ( ) = ln 1 + 2 2 是定义在 上的奇函数，且关于 的不等式 2 sin + cos2 ≥
0 有解．则实数 的取值范围为 ．
4cos sin( + π6 ) 1,0 ≤ ≤
π
6
15.已知定义在 R 上的偶函数 ( )，当 ≥ 0 时满足 ( ) = π+1 ，关于 的方程1 6 + 32 2 , >
π
6
( ) 2 + 2 ( ) + 2 = 0 有且仅有 6 个不同实根，则实数 的取值范围是 ．
16.设函数 ( ) = 1 sin( + 1) + 2 sin( + 2) + + sin( + )，其中 、 ( = 1,2, , , ∈
, ≥ 2)为已知实常数， ∈ ．
下列所有正确命题的序号是________ __．

①若 (0) = ( 2 ) = 0，则 ( ) = 0 对任意实数 恒成立；
②若 (0) = 0，则函数 ( )为奇函数；

③若 ( 2 ) = 0，则函数 ( )为偶函数；
④当 2(0) + 2( 2 ) ≠ 0 时，若 ( 1) = ( 2) = 0，则 1 2 = ( ∈ )．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题 14 分)
已知 ， 的夹角为60 ，且 = 1, = 2，设 = 3 , = + 2 ．
(1)若 ⊥ ，求实数 ；
(2)若 // ，求实数 ；
(3) = 2 时，求 与 的夹角的余弦值．
18.(本小题 14 分)
设函数 = ( ) 的表达式为 ( ) = sin 2 + 6 , ∈ ．
(1)求函数 = ( )在 ∈ [0, ]上的单调递增区间；
(2)将函数 = ( ) 的图像向左平移6个单位，得到函数 ( )的图像，函数 ( ) = ( ) + ( )，当 1, 2 ∈

4 ,
5
6 ，且 1 ≠ 2时，有 1 = 2 ，求 1 + 2 的值．
19.(本小题 14 分)
在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019 年 8 月 16 日上午，423 米的东莞第一高楼民盈国
贸中心 2 号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录
诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出 134 米.”
在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一
周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 点测得国贸中心顶部的仰角
为 ，正对国贸中心前进了 米后，到达 点，在 点测得国贸中心顶部的仰角为 ，然后计算出国贸中心的
高度(如图)．
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢 11 层楼(与国贸中心处于同一水平
面，每层约 3 米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国
贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 1米；②正对国贸中心，将镜子前移 米，重复①中的操作，
测量出人与镜子的距离为 2米.然后计算出国贸中心的高度(如图)．
实际操作中，第一小组测得 = 90 米， = 42°， = 48°，最终算得国贸中心高度为 1；第二小组测得 1 =
1.45 米， = 12 米， 2 = 1.4 米，最终算得国贸中心高度为 2；假设他们测量者的“眼高 ”都为 1.6 米.
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(1) 1请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42° ≈ 0.9，tan48° = tan42°，答案保留整数结果)；
(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由．
20.(本小题 14 分)
( ) = sin + π cos + 1 sin 2 + π 3已知函数 3 2 3 4 ．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2) 1 π若 2 6
1 π π π
2 + 12 ≥ 2 对任意的 ∈ 4 , 3 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) π π 1已知函数 ( ) = 8 3 .记方程 ( ) = 3在区间 0, 24 上的根从小到大依次为 1, 2, ，求 1 +
2 + + 的值．
21.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，若存在区间[ , ] ，满足 = ( ), ∈ [ , ] = [ , ]，则称[ , ]
是函数 = ( )的“保值区间”．
(1)已知 < 2，若[ , 2]是函数 = 2 4 + 5 的“保值区间”，求实数 的值；
(2) 证明：函数 = 1+| |在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”；
(3)已知 , , ∈ , ≥ 0，设 ( ) = 2 + + , ( ) = 2 + ，若存在 , 使得[ 1,1]均为函数 =
( ), = ( )的“保值区间”，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2 2
6.1
7.12/0.5
8. 3
9. 1
10.2425/0.96
11. 1
12.6+3 34 ;
13. 725
14. 2 3 4, + ∞
15. 3 172 , 12
16.①②③④．
17.解：(1)由 , 的夹角为60 ，且 = 1, = 2，得 = 1 × 2cos60 = 1，
2
由 ⊥ ，得 = (3 ) ( + 2 ) = 3 2 + (6 ) 2 = 3 + 6 8 = 0，
所以 = 1．
1
(2)由 // ，得 3 = ( + 2 ), ∈ R , 3 = ，而 不共线，则 1 = 2 ，解得
= 2 ,
= 6
所以 = 6．
2
(3)当 = 2 时， = 2( + )， = (3 )2 = 9 2 6 + = 9 6 + 4 = 7，
2 = 2 ( + )2 = 2 2 + 2 + = 2 1 + 2 + 4 = 2 7，
2
且 = 2(3 ) ( + ) = 2(3 2 + 2 ) = 2 cos , = 2，则 = 7×2 7 =
1
7，
所以 与 1的夹角的余弦值为7．
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18.解：(1) 令 2 + 6 ∈ [ 2 + 2 , 2 + 2 ], ∈ ，解得 ∈ [
+ , 3 6 + ], ∈
∈ [0, ] [0, ] [ 2 时，单调递增区间为 6 和 3 , ]
(2)由题意 ( ) = sin 2( + 6 ) +

6 = sin(2 +

2 ) = cos2
3 1
( ) = 2 sin2 + 2 cos2 + cos2 = 3sin(2 + 3 )
2 + = 令 3 2 + , ∈ ，解得 =
+ 12 2 , ∈ 为 ( )的对称轴
, ∈ , 5 7 7 1 2 4 6 ， 1 = 2 ，此时 1 + 2 = 2 × 12 = 6
7 3
1 + 2 = 3sin(2 × 6 + 3 ) = 2
19. (1) = = 解： 第一小组：在 中得， tan ；在 中得， tan
因为 = 即tan tan =
= tan tan ≈ 90得 tan tan 1 ≈ 426.3 米
0.9 0.9
1 = 426.3 + 1.6 ≈ 428 米

第二小组： ，得 = = 1
同理 得， = 2 =
( )
因为 = 得 1 2 =
所以 = 12×1.6 =1 2 1.45 1.4
= 384 米
所以 2 = + 3 × 11 = 417 米
(2)优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：① 的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意(用到镜面成像和相似三角形)；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需
要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜
面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值
较小，测量容易造成误差
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20.解：(1) ( ) = sin + π3 cos +
1
2 sin 2 +
π 33 4
1 3 1 π 3
= 2 sin + 2 cos cos + 2 sin 2 + 3 4
1 3(1+ cos2 ) 1 π 3
= 4 sin2 + 4 + 2 sin 2 + 3 4
1 3 3 1 π 3
= 4 sin2 + 4 cos2 + 4 + 2 sin 2 + 3 4
= 12 sin 2 +
π
3 +
1
2 sin 2 +
π
3 = sin 2 +
π
3 ．
2 + π ∈ π令 3 2 + 2 π,
π 5π
2 + 2 π ， ∈ ，解得 ∈ 12 + π,
π
12 + π ， ∈ ，
故 ( ) 5π π的单调递增区间为 12 + π, 12 + π ， ∈ ．
(2)由(1)知 ( ) = sin 2 + π3 ，
1 π 1则 2 6 2 +
π π π
12 ≥ 2 对任意的 ∈ 4 , 3 恒成立，
π π
即 sin cos ≥ 2 对任意的 ∈ 4 , 3 恒成立，
则 ≥ 2+cos π πsin 对任意的 ∈ 4 , 3 恒成立，
cos2 2+cos sin2

2 2+2 cos
2 2 2 2
令 = 2
+sin 2 3cos 2+sin 2 3 tan2
sin = +2sin 2cos
=
2 2sin

2cos
= 2tan ，2 2 2
∈ π , π π π因为 4 3 ，则 = tan 2 ∈ tan 8 , tan 6 ，且 > 0，
tan π = 3 < 3 3 1 3 π π因为 6 3 ，则函数 = 2 + 2 = 2 + 在 tan 8 , tan 6 上单调递减，
2tanπ π π
由 81 tan2π
= tan 4 = 1，解得 tan8 8
= 2 1，
则 = 3 3 2 12 + 2的最大值为 = 2 2 1 + 2 = 2 2 + 1，故 ≥ 2 2 + 1．
(3)令 ( ) = π8
π
3 = sin 2
π π + π8 3 3 = sin
π π 1
4 3 = 3，
∵ ∈ [0,24] ∴ π π ∈ π 17π， 4 3 3 , 3 ，
令 = π π π 17π4 3 ∈ 3 , 3 ，又 sin
17π
3 = sin
5π
3 =
3
2 <
1
3，
函数 = sin 在 π , 17π3 3 上的图象如下图所示，
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由图可知， = sin 1的图象与直线 = 3共有 6 个交点，即 = 6，
则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2 ×
π
2 + 2 ×
5π
2 + 2 ×
9π
2 = 15π，
4 π 4 4
因 = + 3 = + 3，
4
所以 1 + 2 + + 6 = π 1 + + + +
4
2 6 3 × 6 = 60 + 8 = 68．
21.解：(1)由题可知函数 = 2 4 + 5 开口向上，且对称轴为 = 2，
所以 = 2 4 + 5 在[ , 2]单调递减，
2
根据题意可知， = 2 4 × 2 + 52 = 12 = 4 + 5
(2)设 ( ) = 1+| |， ( ) = 1+| | = 1+| | = ( )

所以 ( ) = 1+| |为奇函数，
当 ≥ 0 时， ( ) = 11+ = 1+ +1
显然此时 ( )单调递减，

利用奇函数的性质可知， ( ) = 1+| |在定义域内严格单调递减；
假设 ( ) = 1+| |存在“保值区间”为[ , ]

( ) = 1+| | =
则 ( ) =
又因为 < ，故 < 0 < ，
1+| | =
1 = + = 所以有
= + =
解得 = = 0，
1+
显然与已知矛盾，故不存在“保值区间”．
(3)①当 = 0 时，此时 ( ) = + , ( ) = 2 ，
若 > 0，因为存在 , 使得[ 1,1]为函数 = ( )的“保值区间”，
( 1) = 1
所以有 (1) = 1
+ = 1 = 1
+ = 1 = 0 ,
此时 ( ) = , ( ) = ，
显然 (1) = 1, ( 1) = 1，此时[ 1,1]是 = ( )的“保值区间”，
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故 = 0 满足题意；
②当 > 0 时，函数 ( ) = 2 + + 的图像开口向上，且对称轴为 = 2
若 2 ≤ 1，即 ≥ 2 ，函数 ( )在[ 1,1]上单调递增，
( 1) = 1
+ = 1 = 1所以有 (1) = 1 + + = 1 + = 0 ,
因为 ≥ 2 ，得 0 < ≤ 12，
此时 ( ) = 2 + 的图像开口向下，对称轴为 = 2 =
1
2 ≤ 1，
所以 ( )在[ 1,1]单调递减，
所以有 ( 1) = + + = 1, (1) = + = 1，故[ 1,1]是 = ( )的“保值区间”；
若 1 < 2 ≤ 0 0 ≤ < 2 ，此时 ( )的“保值区间”为[ 1,1]，
2 = 1
4 2
所以有 4 = 1，且 ( 1) > 1，
(1) = 1 + + = 1
由 ( ) = 2 + + , ( ) = 2 + 易知 (1) = ( 1), ( 1) = (1)，
因为[ 1,1]均为函数 = ( ), = ( )的“保值区间”，
2
所以有 ( 1) = + + = 1, (1) = ( 1) > 1 4 ， 2 = 4 = 1，
4 2 1
4 = 1
= 8
所以有 + + = 1 = 34 ,
4 ( )2
4 = 1 =
1
8
不满足 0 ≤ < 2 ，故此时无解；
若 0 < 2 < 1 2 < < 0，
2 = 1
4 2
易知 4 = 1 ,
( 1) = 1 + = 1
4 2 1
4 = 1
= 8
同上可知， + = 1 = 34 ,
4 ( )2
4 = 1 =
1
8
不满足条件 2 < < 0，故此时无解；
若 2 ≥ 1 ≤ 2 ，此时函数 ( )在[ 1,1]上单调递减，
( 1) = 1 + = 1 = 1
得 (1) = 1 + + = 1 + = 0 ,
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此时 ( ) = 2 + 1的图像开口向下，对称轴为 = 2 = 2 ≥ 1，
所以 ( )在[ 1,1]单调递增，
(1) = ( 1) = 1
此时得 ( 1) = (1) = 1 ,
因为 ≤ 2 , = 1 0 < ≤ 12，
此时[ 1,1]均为函数 = ( ), = ( )的“保值区间”；
1
所以 0 < ≤ 2满足题意．
1
综上所述，若存在 , 使得[ 1,1]均为函数 = ( ), = ( )的“保值区间”，则 ∈ 0, 2 ．
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