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2024-2025 学年湖北省荆州市公安县第三中学高一下学期 5 月考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 = i1 i，则 的共轭复数 的虚部为( )
A. 1 1 1 12 i B. 2 i C. 2 D. 2
2.已知点 (1,3), (4, 1),则与 同方向的单位向量为
A. 35 ,
4
5 B.
4 3 3 4 4 3
5 , 5 C. 5 , 5 D. 5 , 5
3.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 = 1， = 2， = 6，则 =( )
A. B. 3 4 C.
3 D. 2 4或 4 3或 3
4.若 = 1, = 2，且 ⊥ ，则 和 的夹角是( )
A. 30 B. 45 C. 60 D. 135
5 1.已知向量 = (1,2)，向量 在 方向上的投影向量为 2 ，则
=( )
A. 1 B. 12 2 C.
5 5
2 D. 2
6.在 中，sin : sin : sin = 2: 3: 4，则最大角的余弦值为( )
A. 14 B.
2
3 C.
1 D. 13 4
7.在 3中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积 = 3， 2 2 2 = 4 + ，
则 =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
8.在 中， = 8， = 6， 是 外接圆的圆心， 在线段 上，则 的取值范围是( )
A. [18,25] B. [18,32] C. [4,25] D. [4,32]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 π.已知函数 ( ) = 2sin 3 6 ，下列说法正确的是( )
A. 2π3 = ( )
B. π函数 ( )的图象关于点 18 , 0 中心对称
C.将 ( ) π π的图象向左平移6个单位长度，可得到 g( ) = 2sin 3 + 3 的图象
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D.函数 ( ) π在区间 0, 3 上单调递增
10.已知复数 = + ，其中 , ∈ , 为虚数单位，在复平面内 对应的点为 ，则下列说法正确的是( )
A.当 = 0 时， 为纯虚数
B.满足| | = 2 的点 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆
C. 的虚部为
D.若 , ∈ 且复数 3 + 2 是方程 2 + + = 0 的一个根，则方程 2 + + = 0 的另一个复数根为 3
2
11 π.已知点 是三角形 的边 上的点，且 = 6, = 8, ∠ ≥ 2，以下结论正确的有( )
A. 2π若点 是 的中点，∠ = 3 ，则 = 13
B.若 平分∠ , ∠ = π2，则 : = 3: 4
C.三角形 外接圆面积最大值为 9π
D.若∠ = 2π3 ，则内切圆半径为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，在 中， = 1 2 , 是 的中点，若
= + 1 4
，则实数 的值是 ．
13.已知 ∈ 0, π2 ，sin
π
3 =
1
5，则 cos = ．
14.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 sin = 3 cos ，且( + )( ) = (2 + )(2 )，
则 的面积 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)已知 = (2, ), = 1, 1 ，若 + 2
与 2 平行，求 ；
(2)已知 = 2, = 1, 与 的夹角为 120°，若 + 与 3 垂直，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
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在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 cos = 2 + 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 13， = 2 2， 为 的中点，求 ．
17.(本小题 15 分)
→ →
在 中，∠ , ∠ , ∠ 对应的边分别为 , , ，已知向量 = cos , 2cos2 2 1 , = ( , 4 )，且 =
0, 为边 上一点， = 2 5，且 = 2 ．
(1)求 cos∠ ；
(2)求 面积的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, π π2 < < 2 的部分图象如图所示，且 (0, 1)， 的面
π
积等于2．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的对称轴和对称中心；
(3)将 ( ) π图象上所有的点向左平移4个单位长度，得到函数 = ( )的图象，若对于任意的 1, 2 ∈ π
, ，当 1 > 2时， 1 2 < 1 2 恒成立，求实数 的最大值．
19.(本小题 17 分)
在 中，∠ ，∠ ，∠ 对应的边分别为 ， ， ，2sin sin sin = 3 sin2 cos2 + cos2
(1)求 ；
(2)若 = 1, = 3, 为线段 内一点，且 : = 1: 2，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于
任意的 1, 2, 1, 2 ∈ R，都有 1 2 + 2 2 2 2 21 2 ≤ 1 + 1 2 + 2 被称为柯西不等式；在(1)的条件下，
2 1 1
若 = 2，求： 2 + 2 + 2 1 cos2 + 2 π + sin2(π+ ) 的最小值；cos 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13.2 6+ 310
14. 3
15.(1)因为 + = (2, ) + 1, 12 = 1, +
1
2 ，
1
2 = (2, ) 2 1,2 = (4, 1)
且 + 与 2 平行，
所以 1 4 + 12 = 0，解得 = 1，
所以 = 3, 32 ，
2
所以 = 32 + 3 3 52 = 2 ．
(2)已知 = 2, = 1, 与 的夹角为 120°，
所以 = cos120° = 2 × 1 × 12 = 1，
因为 + 与 3 垂直，
2
所以 + 3 = 3 2 + (3 ) = 13 4 = 0
4
所以 = 13．
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2 2 2
16.(1)法一：因为 2 cos = 2 + 2 + ，由余弦定理：2 2 = 2 + 2 ，
2 2 2
得： 2 + 2 2 = 2 cos = + 2，则 2 = 2 ，因为 ∈ 0, π ，所以 =
3π
4 ．
法二：因为 2 cos = 2 + 2 ，由正弦定理得：
2sin cos = 2sin + 2sin ，2sin cos = 2sin π ( + ) + 2sin ，
2sin cos = 2sin cos + 2cos sin + 2sin ，2cos sin = 2sin ，
2 3π
因为 sin > 0，所以 cos = 2 ，因为 ∈ 0, π ，所以 = 4．
(2)在 中，由余弦定理得：( 13)2 = 2 + (2 2)2 2 × 2 2 × 22 ，
得： = 1，
2+ 2 2 1+13 8 3 13
法一：cos = 2 = 2×1× 13 = 13 ，
在 中，由余弦定理得： 2 = 1 + 134 2 × 1 ×
13
2 ×
3 13
13 =
5 5
4，得： = 2 ．
法二：因为∠ + ∠ = π，所以 cos∠ + ∠cos = 0，
2+ 2 2 2+ 2 2
所以 2 + 2 = 0，
2 2
2+ 132 1
2 2+ 132 (2 2)
2
5
所以
2 13
+ = 0，解得： = ．
2 2
13 2
2
法三：因为
2 2 2
= 1 2
+ 1，所以 = + 4
+ 2 ，

2 = 1 2 54 8 + 1 + 2 × 2 2 × 1 × 2 ，所以 = 2 ．
17.(1)因为 = cos , 2cos2 2 1 , = ( , 4 )，且 = 0，
所以 cos + ( 4 ) 2cos2 2 1 = 0，
利用二倍角公式和边化角可得：sin cos + sin 4sin cos = 0，
即 sin cos + cos sin 4sin cos = 0，
所以 sin( + ) = 4sin cos ，
因为 + = π ，
所以 sin = 4sin cos ，
又因为 ∈ 0, π 1 1，所以 sin ≠ 0，所以 cos = 4，即 cos∠ = 4．
(2)
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因为 = 2 ，
所以 = + = + 1 = + 1 = 2 + 1 3 3 3 3
，
4 1 4
两边平方得：20 = 9
2 + 29 + 9 cos =
1
9
2 + 4 2 + ≥ 19 (4 + ) =
5
9 ，
所以 ≤ 36，当且仅当 = 2 时取等号．
由 cos = 14 , 0 < < π，可得：sin = 1 cos
2 = 154 ，
1 1 15 9 15
所以 = 2 sin ≤ 2 × 36 × 4 = 2 ．
所以 9 15面积的最大值为 2 ．
18.(1)由图可得 ( ) ∈ [ 2,2]，则 = 2 1， (0) = 2sin = 1，则 sin = 2，
= π解得 6 + 2 π
7π
或 = 6 + 2 π， ∈ Z，由
π ≤ ≤ π2 2，则 =
π
6，
1 π
由 = 2 × 2 × | | = 2，则| | =
π
2，由图可得周期 = π，易得 = 2，
所以 ( ) = 2sin 2 π6 ．
(2)令 2 π π6 = 2 + π， ∈ Z，解得 =
π 1
3 + 2 π， ∈ Z，
令 2 π6 = π， ∈ Z，解得 =
π
12 +
1
2 π， ∈ Z，
所以 ( ) = 2sin 2 π6 的对称轴为直线 =
π
3 +
1
2 π， ∈ Z，
π
对称中心为 12 +
1
2 π, 0 ， ∈ Z．
(3) π由题意可得 ( ) = + 4 = 2sin 2 +
π π2 6 = 2cos 2
π
6 ，
要证 1 2 < 1 2 ，只需证 1 1 < 2 2 ，
令 ( ) = ( ) ( ) = 2sin 2 π π6 2cos 2 6 = 2 2sin 2
5π
12 ，
由题意可得 1 > 2，则 1 < 2 ，即求函数 ( )的单调递减区间，
π 5π 3π 11π 11π
令2 + 2 π ≤ 2 12 ≤ 2 + 2 π， ∈ Z，解得 24 + π ≤ ≤ 12 + π， ∈ Z，
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11π
由题意可得 π , 24 + π,
11π
12 + π ， ∈ Z，
11π+ π ≤ π ≤ ≤ 11π则 24 12 + π
11
， ∈ ，解得2 ≤ ≤ 12 + ， ∈ ，
当 = 0 11 11 11 11 时，令 = 12 ，则 = 12，此时[ , ] = 12 , 12 24 , 12 ，不合题意，
= 11 令 24 ，则 =
13 11 13 11 11
24，此时[ , ] = 24 , 24 24 , 12 ，符合题意；
= 1 23 11 11 23 35 23 当 时，令 = 12 ，则 = 12，此时[ , ] = 12 , 12 24 , 12 ，不合题意，
令 = 35 24 ，则 =
11
24 < 2，不符合题意；易知当 > 1 时，都不符合题意
13 所以 的最大值为 24．
19.(1)因为 2sin sin sin = 3(sin2 cos2 + cos2 )
所以 2sin sin sin = 3(sin2 + sin2 sin2 )，
由正弦定理 2 sin = 3( 2 + 2 2)，
2
sin = 3 +
2 2
所以 2 = 3cos
即：tan = 3，又 ∈ (0, π) ，所以 = 3；
(2)(方法一)因为 : = 1: 2，所以 = 12
，
所以 = + = + 1 = + 1 = 2 + 1 3 3 3 3 ，
所以
2
= ( 2 + 1 )23 3 =
1
9 (2 +
)2 = 19 (4
2 + 2 + 4 cos )
= 19 (36 + 1 + 4 3
1 43 43
2 ) = 9，及 = 3
(方法二)以 所在的直线为 轴， 为坐标原点建立坐标系，如图，
则 (3,0), ( 1 32 , 2 )
则： = (3,0), = ( 12 ,
3 5
2 ), = ( 2 ,
3 ), = + 2 2 3 = (
13 , 36 6 )
→ 13 2 3 2 43
所以 = = 6 + 6 = 3 ；
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(3)根据柯西不等式：( 2 + 2 + 2) 2 11 cos2 + cos2( ) +
1
2 sin
2( + )
= ( 2 + 2 + 2)( 1 1 1sin2 + sin2 + sin2 )
≥ ( 2 2 2sin + sin + sin ) = 9( sin ) = 48 (当且仅当 为正三角形时取等号)3
2 1 1
即：( 2 + 2 + 2) 1 cos2 + cos2( 2 )
+ sin2( + ) 的最小值为 48．
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