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2024-2025 学年上海市奉城高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 3 + i 满足条件| | < 5，则实数 的取值范围是( )
A. ( 4,4) B. ( 5,5) C. (0,5) D. ( 3,3)
2.已知 1, 2是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是( )
A. = 2 1 +
1
2, = 2 1+
1
4 2 B. = 4 1 2 2,
= 2 1 2
C. = 3 1 + 3 2, = 1 + 2 D. = 1 2 2, = 2 1+ 4 2
3.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 = 6， = 2 2，若满足条件的三角形有且只
有两个，则角 的取值范围为( )
A. 0, π π π π3 B. 0, 6 C. 3 , 2 D. 0,
π 2π
3 ∪ 3 , π
4 2π 4π.设集合 = = sin 2026 + sin 2026 + sin
6π
2026 + + sin
2 π
2026 , ∈ Z, > 0 ，则集合 的元素个数为( )
A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知复数 = 1 + 2i(其中 i 为虚数单位)，则 Im = ．
6.已知 = (0,1)， = (1,0)，则 在 方向上的数量投影为 ．
7.已知 = (1,6)，点 ( 1, 4)，则点 的坐标为 ．
8.若关于 的方程 3cos + 3 = 0 在 ∈ 上有解，则实数 的取值范围是 ．
9.已知一个扇形的面积和周长均为 16，则该扇形的圆心角大小为 . (用弧度制)
10.函数 ( ) = tan 1 14π + 12π 的最小正周期为 ．
11.已知 的三个顶点 、 、 的坐标分别为(1,2)、(2,3)、(3,7)，则此三角形的面积为 ．
12 sin π = 1.若 为锐角，满足 3 3，则 cos = ．
13.若函数 ( ) = cos , ∈ [0,2 ]与 ( ) = tan 的图象交于 , 两点，则| + | = ．
14.已知虚数 ，其实部为 1，且 + 2 = ( ∈ )，则实数 为 ．
15.某数学建模小组模拟 月距法 测量经度的一个步骤.如图所示，点 , , , , 均在同一个竖直平面内，
点 , 分别代表 月球 与 轩辕十四 恒星名).组员在地面 处测得轩 十四的仰角∠ = 40 ，随后向着
两 天体 方向前进 4 米至 处，测得两 天体 的仰角分别为∠ = 30 、∠ = 75 .若 月球 距离地
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衣的高度 为 3 米，则 轩辕十四 到 月球 的距离约为 ．
16.已知平面向量 ， ，且 = = 2， = 2，向量 满足 2 2 = ，则 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 = 2， = 3， = 5．
(1)若 与 2 + 垂直，求实数 的值；
(2)若 与 2 方向相反，求实数 的值．
18.(本小题 14 分)
已知：cos = 45， ∈ π, 2π ．
(1)求 cos2 的值；
(2)若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，且终边与单位圆(圆心在原点，半径为 1 的圆)
1 , 3交于第一象限的点 2 2 ，求 cos( )的值．
19.(本小题 14 分)
坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的
海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知
摩天轮最高点距离地面高度为 50 米，转盘直径为 40 米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到
距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动 (单位：分钟)后距离地面的高度为 (单位：米)，
转一周大约需要 15 分钟．
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(1)已知 关于 的函数关系式满足 ( ) = sin( + ) + ( π其中 > 0， > 0，| | ≤ 2 )，求摩天轮转动一
周的解析式 ( )；
(2)若游客在距离地面至少 40 米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能
有多长时间有最佳视觉效果？
20.(本小题 14 分)
π
已知函数 ( ) = 2sin2 4 + 3cos2 ．
(1)求函数 = ( )的单调减区间；
(2)若 ( ) < 2 ∈ π在 4 ,
π
2 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 = ( ) 1( > 0) π在 0, 2 上恰有 3 个零点，求 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
定义：若非零向量 = ( , )，函数 ( )的解析式满足 ( ) = sin + cos ，则称 ( )为 的伴随函数，
为 ( )的伴随向量．
(1)若向量 为函数 ( ) = 2sin + π π 6 + 4sin 2 的伴随向量，求 ；
(2)若函数 ( )为向量 = 3, 1 的伴随函数，在 中， = 2 3， ( ) = 1，且 cos cos = 18，
求 + 的值；
(3) ( ) 若函数 为向量 = (2,1)的伴随函数，关于 的方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且
仅有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.2
6.0
7.(0,2)
8.[0,6]
9.2
10.4
11.32
12.2 2+ 36
13.
14.2
15.4.25 米
16. 4 3 2,4 3 + 2
17.解：(1)因为 = 2， = 3， = 5，
2
所以 = = 5，即 32 = 5，所以 = 4，
2
又 与 2 + 2垂直，所以 2 + = 0，即 2 + ( 2) = 0，
17
即 2 × 22 + ( 2) × 4 32 = 0，解得 = 12．

(2)因为 = 2， = 3 且 = 4，所以 cos , = 4 2

= 2×3 = 3，
所以 与 不共线，
又 与 2 方向相反，则 = 2 ( < 0)，
= 2 = 2 = 2
即 2 2 1 = ，解得 (舍去)或 , = 2 = 2
所以 = 2．
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18.解：(1)cos2 = 2cos2 1 = 725
(2)因为 cos = 45， ∈ π, 2π
3
，故 sin = 1 cos2 = 5
sin = 3 , cos = 1由题意， 2 2，故 cos( ) = cos cos + sin sin =
4 1
5 × 2
3 3 4+3 3
5 × 2 = 10
19.解：(1)由题意可知：摩天轮最高点距离地面 50m，最低点距离地面 50 40 = 10m，
+ = 50 = 20
所以 = 10，所以 = 30 ,
又因为转一周大约需要 15min 2π 2π，所以 = = 15，
所以 ( ) = 20sin 2π15 + + 30，
又因为 (0) = 20sin + 30 = 10，
所以 sin = 1 且| | ≤ π π2，所以 = 2，
( ) = 20sin 2π所以 15
π
2 + 30, ∈ [0,15]；
(2)因为 ( ) = 20sin 2π15
π
2 + 30 = 20cos
2π
15 + 30，
2π
令 20cos 15 + 30 ≥ 40，则 cos
2π 1
15 ≤ 2，
2π 2π 2π 4π
又因为 ∈ [0,15]，则 15 ∈ 0,2π ，所以 3 ≤ 15 ≤ 3，
所以 5 ≤ ≤ 10，且 10 5 = 5min，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有 5min 最佳视觉效果．
1 cos π+2
20.解：(1) ( ) = 2sin2 π4 + 3cos2 = 2
2
2 3cos2
= sin2 3cos2 + 1 = 2sin 2 π3 + 1，
π π 3π 5π 11π
由2 + 2 π ≤ 2 3 ≤ 2 + 2 π 12 + π ≤ ≤ 12 + π ∈ Z ，
5π 11π
所以函数 = ( )的单调递减区间为 12 + π, 12 + π ∈ Z ；
(2)因为不等式 ( ) < 2 ∈ π , π在 4 2 上恒成立，
所以 + 2 > ( )max, ∈
π
4 ,
π
2 ，
因为 ∈ π π π π 2π4 , 2 ，所以 2 3 ∈ 6 , 3 ，
所以 ( )max = 1 + 2sin
π
2 = 3，
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所以 + 2 > 3 > 1，即 ∈ (1, + ∞)；
(3) = ( ) 1 = 2sin 2 π3 ，
由 ∈ 0, π2 ，得 2
π ∈ π3 3 , π
π
3 ，
因为函数 = ( ) 1( > 0)在 0, π2 上恰有 3 个零点，
π 7 10
所以 2π < π 3 ≤ 3π，解得3 < ≤ 3，
7 10所以 的取值范围为 3 , 3 ．
21.解：(1)因 ( ) = 2sin( + π6 ) + 4sin(
π
2 ) = 3sin + cos 4cos = 3sin 3cos ，
则 = ( 3, 3)，故| | = ( 3)2 + ( 3)2 = 2 3．
(2)依题意， ( ) = 3sin cos ，
由 ( ) = 3sin cos = 2sin( π π6 ) = 1 可得 sin( 6 ) =
1
2，
因 0 < < π π π 5π π π π，则 6 < 6 < 6，故 6 = 6，解得 = 3
因 + = π ，则 cos( + ) = cos cos sin sin = cos = 12，
又 cos cos = 18，代入解得 sin sin =
3
8①，
2 3
由正弦定理，sin = 3 = sin = sin ，可得 = 4sin , = 4sin ，
2
代入①，可得 = 16sin sin = 6②，
又由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 2 + 2 = 12③，
于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 12 + 3 = 30，
解得 + = 30．
(3)依题意， ( ) = 2sin + cos ，
由 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 可得 2sin + cos = + cos + 1 2 3 cos ，
即 = 2sin + 2 3 cos 1，
0 ≤ ≤ π 3π π当 2或 2 ≤ ≤ 2π时， = 2sin + 2 3cos 1 = 4sin( + 3 ) 1；
π 3π
当2 < < 2时， = 2sin 2 3cos 1 = 4sin(
π
3 ) 1，
作出函数 = 2sin + 2 3 cos 1 在 0,2π 上的图象．
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因方程 ( ) = + 2cos2 2 2 3 cos 在 0,2π 上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数 = 与函数 = 2sin + 2 3 cos 1 的图象在 0,2π 上有四个交点．
由图知，当且仅当 1 < < 2 3 1 或 2 3 1 < < 3 时，两者有四个交点．
故实数 的取值范围为(1,2 3 1) ∪ 2 3 1,3 ．
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