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2024-2025学年江苏省镇江中学高一下学期期中学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足：，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列叙述中，正确的是．
A. 因为，，所以
B. 因为，，所以
C. 因为，，，所以
D. 因为，，所以
5.已知等边三角形的边长为，设，，，那么( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设，，，则有( )
A. B. C. D.
8.在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是( )
A.
B. 若，则的最大值为
C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限
D. 若是关于的方程的一个根，则
10.给出下列命题中，其中正确的选项有( )
A. 若非零向量，满足：，则与共线且同向
B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为
C. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
D. 在中，若，则为等腰三角形
11.在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 的取值范围是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
13. ．
14.如图，一幅壁画的最高点处离地面，最低点处离地面，现在从离地高的处观赏它．
若处离墙的距离为，则 ；
若要视角最大，则离墙的距离为___ __．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足为纯虚数，．
求以及；
设，若，求实数的值．
16.本小题分
在直角坐标系中，已知向量，，其中，为坐标平面内一点．
若，，三点共线，求的值；
若向量与的夹角为，求的值；
若四边形为矩形，求点坐标．
17.本小题分
已知角，满足，，且，．
求的值；
求的大小．
18.本小题分
如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，．

若，用，表示，；
求的取值范围．
19.本小题分
在，其中为角的平分线的长交于点；；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在中，内角，，的对边分别为，，，______．
求角的大小；
若，，为的重心，求的长；
求的取值范围．
参考答案
1.
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11.
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13.
14.；
15.【详解】设，则，
由为纯虚数，
得，且，
由，得，
由解得，验证知，满足题意．
所以．
由可知，，
由，得，
整理，得，
解得或．
故实数的值为或．

16.【详解】向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，
即，解得；
，
解得，
设，
由，，
，
，
若四边形为矩形，则，
即，解得；
由，得
解得，
故

17.【详解】因为，，所以；
因为，，所以
所以，，
所以；
因为，，所以，
因为，，所以，，
，得，，
，因为
所以．

18.【详解】由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形．

所以，
因为，，所以，
所以，
．
因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，
所以，
设，则，．
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为．
所以的取值范围．

19.【详解】方案一：选条件．
由题意可得，．
为的平分线，，
，即
又，，即，
，，
，．
方案二：选条件．
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，
，．
方案三：选条件．
由正弦定理得，，
又，
，
，
易知，
，，．
法延长交于点，因为为三角形的重心，
所以为的中点，
所以，
．
法在中，由余弦定理可得，，
，．
延长交于点，
为的重心，为的中点，且．
在中，由余弦定理可得，，
，．
因为，所以，
从而

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