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2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习模拟训练试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，
则符合这一结果的实验可能是（　 　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D.一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
3. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，在中，的平分线与边相交于点E．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　 　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
7. 如图，一次函数与函数的图象相交于点，．
下列说法错误的是( )

A．两图象的交点的坐标为
B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大
C．若，则的取值范围是或
D．连接、，则的面积是
如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），
交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①； ②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 比较下列实数的大小 ．
10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11.如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图，
若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有 人．
如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，
点A在第二象限，则A的坐标为 ．
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，
连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝ ．

14．﹣= ．
15. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
16．已知关于x的方程有增根，则m的值是 ．
如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，
则折痕的长为 ．

如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，
BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
则k的值是
三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)
(2)
20．解分式方程：
(1)
(2)
21
. 先化简，再求值：，其中为满足的整数．
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．
搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，
不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到）
(2)盒子里白色的球有____________个；
(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值．
《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，
被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校名学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求本次调查的学生的人数；
(2)求扇形统计图中3部所在扇形的圆心角的度数；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著．
为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．
经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，
用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个．
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？
25. 像，这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
26. 如图，在矩形中，点在边上，，
请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使，
连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
① 求证：平分；
② 求线段的长．
27.综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，
另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，
满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；
木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，
同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，
因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，
分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．
发现直线可以看成是直线通过平移得到的，
在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”
可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，
将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
(1)点A坐标是（ 　　，　　）、点B坐标是（ 　　，　　）；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，
如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末复习模拟训练试卷解答
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，
则符合这一结果的实验可能是（　 　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
【答案】D
【详解】试题解析：A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故本选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故本选项错误；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故本选项错误；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为≈0.33，故本选项正确．
故选D
3. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
当时，
∴即．
故选：B．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意；
B、，故此选项错误，故不符合题意；
C、，故此选项正确，故符合题意；
D、，故此选项错误，故不符合题意；
故选：C．
如图，在中，的平分线与边相交于点E．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得，可得，，由角平分线的定义可求解，掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
6. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　 　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
7. 如图，一次函数与函数的图象相交于点，．
下列说法错误的是( )

A．两图象的交点的坐标为
B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大
C．若，则的取值范围是或
D．连接、，则的面积是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的性质；将代入，得，进而求得，即可判断A选项；根据函数图象可得反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，即可判断B选项；根据交点的横坐标结合函数图象即可判断C选项；连接、，设直线与轴交于点，将代入得出，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：将代入，得，则，
将代入
得，则
∴A. 两图象的交点的坐标为，故该选项正确，不符合题意；
B. 一次函数随x的增大而增大，反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，故该选项不正确，符合题意；
C. ∵，，
根据函数图象可得，若，则的取值范围是或，故该选项正确，不符合题意；
D. 连接、，设直线与轴交于点，

将代入，则，
∴，即，
∵，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），
交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①； ②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【答案】A
【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故①正确；
②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大，
∴面积也先变小，后变大；
故②错误；
③∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴周长的最小值为；
故③正确；
④∵，G为中点，
∴，
∴点E在运动过程中，与始终相等，
故④正确；
综上，①③④正确．
故选：A．
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 比较下列实数的大小 ．
【答案】
【分析】由算术平方根的含义可得，可得，再利用不等式的性质可得答案．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故答案为：
10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
11.如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图，
若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有 人．
【答案】400
【分析】本题考查的是从扇形统计图中获取信息，先求解总人数与步行人数的百分比，再进一步可得答案．
【详解】解： ∵该校共有学生是：（人）
∴步行的学生所占的百分比是，
∴估计步行的有（人）．
故答案为400．
如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，
点A在第二象限，则A的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点B（b，0），点C（a，0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可．
【详解】解：设点B（b，0），点C（a，0），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A（b，），即OB＝ b，AB＝，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴点D（a，），即OC＝a，CD＝，
又∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
即＝a b＝，
解得a＝，b＝，
∴点A，
故答案为：．
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，
连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝ ．

【答案】6．
【分析】证明△CDA≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AD=DF，CF=AC，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：在△CDA和△CDF中，
∴△CDA≌△CDF，
∴AD=DF，CF=AC=15，
∴BF=BC-CF=12，
∵AD=DF，AE=EB，
.
故答案为6．
14．﹣= ．
【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式=
故答案为：．
15. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，由直角三角形的性质可求解．解题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴，
故答案为：．
16．已知关于x的方程有增根，则m的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，将分式方程去分母得整式方程，
根据分式方程有增根，代入整式方程求出m的值即可，熟练掌握分式方程的增根的确定方法是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，
解得
故答案为：
如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，
则折痕的长为 ．

【答案】
【分析】连接，交于，由勾股定理求得的长，通过证明得到即是等腰三角形，从而得到，设，则，在中，，求出，再在中，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，交于，则由轴对称的性质可知，垂直平分，
，
在中，，
由折叠可得，，
四边形为矩形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
平分，
，
由折叠知，，
设，则，
在中，，
解得，即，
中，，
，
故答案为：．
如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，
BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
则k的值是
【答案】6
【分析】根据三角形面积公式求得AE＝，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝，设A（m，），则D（m ，），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝，进一步求得k＝6．
【详解】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD∥x轴，BD∥y轴，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD＝，
∵S△ABD＝BD AE＝2，BD＝，
∴AE＝，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝，
∴D的纵坐标为，
设A（m，），则D（m ，），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k＝m＝（m ）×，
解得m＝，
∴k＝m＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算以及零指数幂；
（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可．
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
20．解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根．
（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案；
（2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案．
【详解】（1）解：去分母，得，
解得，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：去分母，得，
解得，
经检验：是增根，舍去，
∴原方程无解．
21. 先化简，再求值：，其中为满足的整数．
【答案】；时，原式．
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再根据分式有意义的条件选取合适的数据代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴把代入得：原式．
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．
搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，
不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到）
(2)盒子里白色的球有____________个；
(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值．
【答案】(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）根据从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，即可得到答案；
（2）利用黑、白两种颜色的球总数乘以（1）中白球的概率的估计值即可得到答案；
（3）根据“随机摸出1个球是白球的概率是”列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，
∴摸到白球的概率的估计值为，
故答案为：
（2）（个），
即盒子里白色的球有个；
（3）由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的根．
∴m的值为．
《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，
被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校名学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求本次调查的学生的人数；
(2)求扇形统计图中3部所在扇形的圆心角的度数；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）利用2部对应的人数除以对应的百分比即可；
（2）用3部对应的人数除以总人数，再乘以即可；
（3）计算出1部的人数，再补全统计图；
（4）用2部、3部和4部对应的人数除以样本总人数，再乘以全校人即可．
【详解】（1）解：本次调查被调查的学生为：（人）；
（2）解：扇形统计图中3部所在扇形的圆心角为：
（3）解： 1部的人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（4）解：（人）
∴全校大约有名学生读完了2部以上（含2部）名著
为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．
经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，
用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个．
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？
【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
(2)至少可购买种充电桩100个．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过100万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元．
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
万元．
答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
由题可得：，
解得：，
答：至少可购买种充电桩100个．
25. 像，这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
26. 如图，在矩形中，点在边上，，
请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在的延长线上求作点，使，
连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：平分；
②求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）如图：用圆规和直尺作线段的垂直平分线与的延长线的交点即为F；
（2）①由矩形的性质可得，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后得到即可证明结论；②如图2，过点作于点．设．然后说明四边形是矩形可得，即；最后运用勾股定理求得x即可解答
【小问1详解】
解：如图1所示：
【小问2详解】
解：①证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
平分；
②如图2，过点作于点．设．
四边形是矩形，
，
中，，
，
，
．
27.综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，
另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，
满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；
木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，
同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，
因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，
分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．
发现直线可以看成是直线通过平移得到的，
在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”
可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
(1)点A坐标是（ 　　，　　）、点B坐标是（ 　　，　　）；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，0； 0，1
(2)
(3)符合要求点 N 的坐标是（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）．
【分析】（1）由，分别令，，即可求解；
（2）过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得F点的坐标，设直线BC的函数表达式为，利用待定系数法即可得到结论；
（3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-1，令y=0，则，
∴，．
故答案为：，0；0，-1；
（2）解：过A作交BC于F，过F作轴于E．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴ ．
设直线BC的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线BC的函数表达式为：；
（3）解：存在．
如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形．
∴，．
∵直线BM为，
∴设直线CN的函数表达式为．
∵直线BC的函数表达式为：，
∴，
∴，
解得，
∴直线CN的函数表达式为，
设．
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴点N的坐标为；
如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时．
∴，．
∵直线BM为，
∴设直线CN的函数表达式为．
∵直线BC的函数表达式为：1，
∴，
∴，
解得，
∴直线CN的函数表达式为，
设．
∵，，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为；
③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时．
∴，
设．
∵，，
∴，
∴，
解得或0（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为．
∵，，
∴点N的坐标为．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，-2）、（- 1，2）、（+3，2）．
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