江苏省沭阳如东中学2024-2025学年高一(下)期中学情检测数学试卷(图片版,含答案)

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江苏省沭阳如东中学2024-2025学年高一(下)期中学情检测数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年江苏省沭阳如东中学高一下学期期中学情检测
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1 = 3 i.已知 1 i,则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
2.已知 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,若 : : = 1: 1: 4,则 : : =( )
A. 1: 1: 4 B. 1: 1: 2 C. 2: 3: 1 D. 1: 1: 3
3.在平行四边形 中, 为一条对角线,若 = (2,4), = (1,3),则 =( )
A. ( 2, 4) B. ( 3, 5) C. (3,5) D. (2,4)
2cos10 4 cos70

. cos20 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
→ →
5.已知向量 = (2,1), = (3,4),则 在 上的投影向量为( )
A. (2,1) B. (1,2) C. (2,4) D. ( 2, 1)
6.函数 ( ) = cos2 6cos + 1 的值域为( )
A. 9 92 , + ∞ B. 2 , 4 C. [ 4,8] D.
9
2 , 8
7.设 , 是两个非零向量,且( 3 ) ⊥ (7 + 5 ),( + 4 ) ⊥ (7 + 2 ),则 与 的夹角是( )
A. π B. π C. 2π D. 5π6 3 3 6
8.已知tan2 + 3tan 2 = 0,则 sin 2 π3 =( )
A. 36 B.
3 3 3
6 C. 3 D. 3
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数 ,则下列说法正确的是( )
A.若| | = 1,则 =± 1 B.若 2 = 1,则 =± i
C.若 2 + = 1,则 3 = 1 D.若 4 = 1,则 2i ≤ 3
10.点 在 所在平面内,下列说法正确的是( )
A.若 + + = 0,则 为 的重心
B.若 > 0,则 为锐角三角形
第 1页,共 8页
C.若 = 13
+ 23
,则 = 2 3
D.若 为边长为 2 的正三角形,点 在线段 上运动,则 ( + ) = 3
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减
中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上
1 2+ 2 = 2 2
2 2
文字写成公式,即 4 2 ( 为三角形的面积, , , 为三角形的三边).现有 满足
sin : sin : sin = 3: 5: 7,且 的面积 15 3,则( )
A. 1的最长边长为 14 B. 的三个内角满足 + = 2
C. 的三条高的和为 8 3 D. 的中线 的长为 19
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知复数 = i2020 + 1 i 2若 1 = 4 3i,则 1 =
13.四边形 内接于圆 , // , = 2 = 8,若 = + 且 + 2 = 1,则四边形
的面积为
14.已知在△ 中, = ,∠ 的角平分线与边 交于 点,线段 的中垂线过点 ,则 = ,
cos =
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (2,1), = ( 1,3).
(1)设 ∈ R,若向量 + 与 互相平行,求 的值;
(2)设 ∈ R,当 取得最小值时,求向量 与 夹角的余弦值.
16.(本小题 15 分)
π
已知2 < < π sin +
= 2, 4 10 .
(1)求 tan 的值;
(2)若 (7,1)在角 终边上,求 cos( + 2 )的值.
17.(本小题 15 分)
在 中,内角 , , + 的对边分别为 , , ,且 sin 2 = sin .
(1)求角 ;
(2)若边 = 4, △ 的面积为 2 3,角 的平分线交边 于点 ,求 .
第 2页,共 8页
18.(本小题 17 分)
复兴中学有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置,喷灌装置位于半圆周
上的 π处,其喷灌的有效覆盖区域为三角形 ,点 , 在直径 上(如图所示).其中张角∠ = 6 , ∠ =
π
6.
(1)若喷灌的有效覆盖区域面积为 4 3,求 + ;
(2)设∠ = ,求喷灌的有效覆盖区域的最大面积.
19.(本小题 17 分)
, = sin 对任意两个非零向量 ,定义新运算: ,其中 为 与 的夹角.
(1)若非零向量 , 满足 = 2 ,且 > 3,求 2 的取值范围;
(2)若向量 = , 4 , = 2, ,且 = 1,求正数 的值;
(3)已知非零向量 , 满足 = ( 是正整数),向量 , 的夹角 ∈ π π 6 , 3 , 和 都是有理数,且
2 2
+ = 6825,求 sin .
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 + i
13.7 15
14. 5+1 5 12 ; 4
15.解:(1)因为 = (2,1), = ( 1,3),
所以 + = (1,4), = (2 + , 1 3 ),
又向量 + 与 互相平行,所以 1 × (1 3 ) = 4(2 + ),解得 = 1,
所以 = (1,4),则 = 12 + 42 = 17;
(2)因为 = (2 + , 1 3 ),
所以 = (2 + )2 + (1 3 )2 = 10 2 2 + 5
2
= 10 110 +
49
10,
1
所以当 = 时 10 取得最小值,
此时 1 10
= 21 , 7 1 21 7 49 210 10 ,则 10 = 10 × 2+ 1 × 10 = 10, = 2 + 1
2 = 5,
2 2
1 10
= 21 7 7 1010 + 10 = 10 ,

1 49
cos = 10 = 10 = 7 2所以设向量 与 夹角 ,则 ,
1 7 10 1010 5× 10
所以向量 7 2与 夹角的余弦值为 10 .
第 4页,共 8页
16.解:(1) 由题意可得,sin + 4 = sin cos 4 + cos sin
2
4 = 2 sin + cos =
2
10,
则 sin + cos = 15,
因sin2 + cos2 = 1,则 sin = 45 , cos =
3 3
5或 sin = 5 , cos =
4
5,
π
因2 < < π,则 sin > 0, cos < 0,则 sin =
4
5 , cos =
3
5,
4
tan = sin 则 5 4cos = 3
= 3.
5
(2)因点 (7,1)在角 终边上,则 cos = 7 = 75 2 , sin =
1 = 1 .
72+12 72+12 5 2
cos2 = 2cos2 1 = 2 × 7
2
则 5 2 1 = 2 ×
49
50 1 =
24
25,
sin2 = 2sin cos = 2 × 1 × 75 2 5 2 =
7
25,
则 cos( + 2 ) = cos cos2 sin sin2 = 3 24 4 7 45 × 25 5 × 25 = 5.
17.解:(1) sin + 2 = sin sin sin
π
2 2 = sin sin cos

2 = sin = 2sin

2 cos

2 sin
= 12 2,
π 5π π 5π
所以2 = 6或2 = 6,即 = 3或 = 3 (舍),
π
所以 = 3.
(2)因为 = 4, △ 的面积为 2 3,
1
所以2 sin =
1
2 × 4 ×
3
2 = 2 3 = 2,
2
cos = +
2 2 22+42=
2 1
由余弦定理得, 2 2×2×4 = 2 = 2 3,
2 2 2 2 2 2
cos = + 2 3 +2 4 π2 = 2×2 3×2 = 0 = 2,
1 2 1 2
由 = + 得,2 3 = 2 × 2 × × 2 + 2 × 2 3 × × 2 ,
解得 = 3 2 6.
18.解:(1)由已知得 为直角三角形,因为 = 8, ∠ = π6,
所以∠ = π 13 , = 2 = 4,
第 5页,共 8页
= sin∠ = 4 × 3设点 到 的距离为 ,则 2 = 2 3,
1所以 = 2 = 3 = 4 3,得 = 4,
1
因为 = 2 sin∠ = 4 3,
1
所以4 = 4 3,得 = 16 3,
在 中,由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,
即 16 = 2 + 2 2 × 16 3 × 3,得 2 + 22 = 64,
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 64 + 32 3,
所以 + = 4 3 + 4;
(2)因为∠ = π π2 , ∠ = 6,所以∠ = ∈ 0,
π
3 ,
所以∠ = π ∠ ∠ = π π3 +
π
6 =
π
2 ,
则∠ = ∠ + ∠ = π + π = 2π2 6 3 .
在 4中,由正弦定理得:sin = sin∠ ,得sinπ = =3 sin
π cos

2
2 3
所以 = cos ,
= 4 4在 中,由正弦定理得:sin sin∠ ,得sinπ = 2π = ,3 sin 3 sin
π
3+
= 2 3所以
sin π

3+
所以 1 = 2 sin∠ =
1 × 2 32 ×
2 3 × sin π
sin π+ cos 63
3 3
= =
sin π π3 + cos sin 3 cos + cos
π
3 sin cos
3
=
3cos2 + 12 2sin cos
3
=
3
4 (cos2 + 1)+
1
4sin2
12
=
sin2 + 3cos2 + 3
12
=
2sin 2 + π3 + 3
第 6页,共 8页
因为 ∈ 0, π 2 + π π3 ,所以 3 ∈ 3 , π ,
所以 0 ≤ sin 2 + π3 ≤ 1,
π
所以当 sin 2 + 3 = 0,即 =
π 12
3时, 取得最大值 3 = 4 3.
所以,喷灌的有效覆盖区域的最大面积为 4 3.
2 sin
19. sin 解:(1)因为 = 且 = 2 ,则 = = 2sin ,
又 > 3 32 ,所以 2sin > 2 ,得到 sin >
3
4 ,
sin sin = = = sin 1 ≥ sin > 3又 2 ,且2 2 2 8
3 1
所以 的取值范围是 8 , 2 .
(2)因为 = , 4 和 = 2, ,则 = 2 + 16, = 4+ 2, = 2 + 4 = 6 ,
cos =
= 6 则设向量 和 的夹角为 ,则


2+16 2+4
2 2 2
所以sin2 = 1 cos2 = 1 36 2+16 2+4 =
8
2+16 2+4 ,
2 2
则 = sin =
+16 × 8 = 1,整理得到 2 8 = 2 + 4,
2+4 2+16 2+4
所以 2 8 = 2 + 4(舍)或 8 2 = 2 + 4,解得 = 2 或 = 2(舍),
所以 = 2.

(3)因为 = ,则 = sin
sin
= sin , =
sin

= ,
2

2
+
2
= 68 sin 2 + sin
2
,则 = 68 2 2 sin 6825 25,即 sin + 2 = 25,
∈ π π 1又 6 , 2 ,则2 < sin < 1,又 是正整数,
2
当 = 1, 2sin2 + sin 2 = 2sin
2 ∈ (1,2)不合题意,
2
当 = 2,4sin2 + sin 4 =
17
4 sin
2 ∈ 17 17 17 2 68 2 1616 , 4 ,由 4 sin = 25,得到sin = 25,
sin = 4 ∈ 1 , 1 sin = 4所以 5 2 ,满足题意,故 5,
= 3 sin
2 82sin2 68
当 时,9sin2 + 9 = 9 = 25,得到sin
2 = 9×34 sin = 3 34 = 3 139425×41,解得 5 41 205 ,
此时 = 3sin = 9 1394205 ,不是有理数,所以 = 3 不合题意,
2
当 ≥ 4 时, 2sin2 + sin 2 > 16sin
2 > 4 > 6825,所以 ≥ 4 时,不合题意,
第 7页,共 8页
4
综上,sin = 5.
第 8页,共 8页

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