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2024-2025 学年华东师范大学第二附属中学高一下学期期中质量调研
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 1)， = ( 3,2 )，若 与 共线且反向，则实数 的值为( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 1 或 3
2 1.函数 = sin 部分图象是( )
A. B.
C. D.
3 5π 100.若 是函数 = sin cos 的一个周期，则正整数 所有可能取值个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 2 = 2 + 2 + , sin = 2sin ， 1, 2, 3依次是边
的四等分点( 1靠近 点)，记 1 = 1 2, 2 = 1 3, 3 = 2 3，则( )
A. 3 > 2 > 1 B. 3 > 1 > 2 C. 1 > 3 > 2 D. 1 > 2 > 3
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.若 是第四象限角，则点 sin , tan 在第 象限．
6.已知点 ( 3,4) π是角 的终边上一点，则 sin 2 + = ．
7.已知扇形的周长为 8，面积为 4，则这个扇形圆心角的弧度数为 ．
8.已知 (1,3), (4, 1)，求与向量 方向相同的单位向量为 ．
9.若平面向量 ， ， 两两的夹角为120°，且| | = | | = 1，| | = 3，则| + + | = ．
10 2025π.已知扇形的半径为 ，弧长为 ，若其周长为 6，当该扇形面积最大时，其圆心角为 ，则 cos cos +
sin sin 2025π = ．
11.已知 sin 1 + sin 2 + + sin 2025 = 2025，则 sin 1 + 2 + + 2025 = ．
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12.已知定义在( π2 ,
π 3
2 )上的函数 ( ) = + tan + 2 ( 2) + (

，则不等式 2 ) > 4 的解集是 ．
13.已知 中， = = 4，∠ = 23π，点 在线段 上，且 = 2 ，则
的值为 ．
14 π.如图，在半径为 3 的圆 中，弦 所对的圆周角∠ = 3，且 + = 3 6，则图中阴影部分的面积
为 ．
15.已知函数 ( ) = sin4 cos4 (0 ≤ ≤ 2π)，则关于 的方程： ( ( )) + ( ( ) 1)2 = 0 的实根个数
为 ．
16.已知 1 21, 2为单位向量，设向量 = 3 1 + 2, = 1 + 2，向量 , 的夹角为 ，若 1 2 2 ≤ 1，求cos
的取值范围 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
∈ 0, π ∈ 0, π sin( ) = 4 cos( + ) = 5已知 ， 2 ， 5， 13．
(1)分别求 cos( )和 sin( + )的值；
(2)求 cos 的值．
18.(本小题 14 分)
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知 1， 2是两个夹角为 60°的单位向量， = 1+ 3 2， = 5 1 + 2．
(1)求 ， ；
(2)设 = 1，是否存在实数 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
19.(本小题 14 分)
如图，已知 是边长为 2 的正三角形．如图 1 , 2是 边的两个四等分点．
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→ → →
(1) 1若 为线段 1上一点，且 = + 12 ，求实数 的值；
→ →
(2)若 为线段 2上的动点，求 的最小值．
20.(本小题 14 分)
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利
在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 ，该点
即称为托里拆利点(以下简称“ 点”).通过研究发现三角形中的“ 点”满足到三角形三个顶点的距离和
+ + 最小.当 的三个内角均小于120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为“
点”；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“ 点”.试用以上知识解决下面问题：已
知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ．
(1)若 3 sin = 3 cos ，则
①求 ；
②若 = 4，设点 为 的“ 点”，求 + + ；
(2)若 cos cos = ，设 点为 的“ 点”，| | + | | = 2 | |，求实数 的最小值．
21.(本小题 14 分)
定义在 R 上的函数 = ( )，若存在实数 , , 使得 ( ) + ( ) = 1 对任意的实数 恒成立，则称函数
= ( )为“ ( , , )函数”；
(1)已知 = + 1，判断它是否为“ (1, , )函数”；
(2)若函数 = ( )是“ (1,1,2)函数”，当 ∈ [0,2] π， ( ) = sin 4 ，求 ( ) =
1
2在 ∈ 2022,2024 上的解．
(3)判断函数 = 2sin + cos + 1 是否为“ ( , , )函数”，若是，求所有符合条件的 , , ；若不是，请说
明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6. 35/ 0.6
7.2
8. 35 ,
4
5
9.2
10.1 + sin1/sin1 + 1
11.1
12.( 43 , π)
13.8
14.3π
15.8
16.[ 2023 , 1]
17.解：(1) π因为 ∈ 0, π ， ∈ 0, 2 ，
所以( ) ∈ π, π 42 ，又因 sin( ) = 5 > 0，
( ) ∈ 0, π2 ，故 cos( ) = 1 sin
2( ) = 1 16 325 = 5，
3π 5
因为( + ) ∈ 0, 2 ，又因 cos( + ) = 13 > 0，
π 2
则( + ) ∈ 0, 2 ，则 sin( + ) = 1 cos
2( + ) = 1 5 = 1213 13．
(2)因为 2 = ( + ) + ( )；
所以 cos2 = cos ( ) + ( + )
= cos( )cos( + ) sin( )sin( + )
= 3 × 5 4 12 335 13 5 × 13 = 65，
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因为 cos2 = 2cos2 1 = 3365，
33
cos2 = 1+cos2
1
= 65 = 16则得 2 2 65，
因 ∈ 0, π cos = 4 652 ，故 65 ．
18.解：(1)因为 1， 2是两个夹角为 60°的单位向量，
所以 1 = 2 = 1， 1 = 1 × 1 ×
1 = 12 2 2，
又 = 1+ 3 2， = 5 1+ 2，
所以 = 1+ 3 22 = 1
2 + 6 1 2 + 9 2
2
= 12 + 6 × 1 + 9 × 122 = 13，
又 = = 5 1+ 2 1 + 3 2 = 4 1 2 2，
所以 = 4 1 2 2
2
2 = 16 1 + 4
2
2 16 1 2 = 16 + 4 16 ×
1
2 = 2 3．
(2)因为 = = ( 1) 1 3 2， = = ( 5) 1 2．
若 是以 为斜边的直角三角形，则 ⊥ ，
即 = ( 1) 1 3 2 ( 5) 1 2 = 0，
可得( 1)( 5) 1
2 + 3 2
2 4( 4) 1 2 = 0，
即( 1)( 5) + 3 2( 4) = 0，化简得 2 8 + 16 = 0，解得 = 4，
所以存在 = 4 满足条件．
1 1 1 19.解：(1)设 = 1(0 ≤ ≤ 1)，则 = + 12 = 1 = + 4 = + 4
→
= 3
1
4 + 4 ，
3
4 = 1所以 1 ，解得 = ．
4 =
1 4
12
(2)记 = , = ，
2 = + 2 = +
1 = + 1 ( ) = 14 4 4 +
3
4
，
设 = 2, 0 ≤ ≤ 1，
则 = 1 32 = 4 4 ，
= + = 14 + (1
3
4 ) ，
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3 3 2
= 4 4 4 + 1 4 = 16
2 + (6 4) + 3(3 4)
2
= 1 13 24 14 =
13
4
7 49
13 52， ∈ [0,1]，
= 7 = 7所以当 ，即 13 13 2时，
取得最小值为 4952．
20.解：(1)①在 中，由正弦定理得 3sin sin sin = 3sin cos ，
∵ = π ( + )，有 sin = sin( + )，
3(sin cos + cos sin ) sin sin = 3sin cos ，
3cos sin = sin sin ，
∵ sin ≠ 0，∴ tan = 3，又 ∈ (0, π)，
∴ = π3；
π
②由①知 = 3，则 的三个角都小于120
，
由“ 点”定义知：∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
设| | = ，| | = ，| | = ，由 + + = 得
1 3 + 1 3 1 3 1 32 2 2 2 + 2 2 = 2 × 4 × 2 ，整理得 + + = 4，
所以 + +
= ( 1 12 ) + ( 2 ) + (
1
2 ) =
1
2 × 4 = 2．
(2)由 cos cos = ，结合正弦定理 sin cos sin cos = sin ，
有 sin( ) = sin ，∵ , , 均为三角形内角，∴ = (舍)
或 + = π π，即 = + = π ，∴ = 2，
由点 为 的“ 点”，得∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
设| | = | |，| | = | |，| | = ，( > 0, > 0, > 0)，
由| | + | | = 2 | |，得 + = 2 ，由余弦定理得
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 3 = (
2 + + 1) 2，
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 3 = (
2 + + 1) 2，
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2 2 2 23 = ( + + ) ，
相加得| |2 + | |2 = | |2，得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
整理得 + + 2 = ，
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于是 + + 2 = ≤ ( + 2 )
2，当且仅当 = ，即 = = 1 + 3时取等号，
又 + = 2 ,因为 2 2 2 ≥ 0,而 > 0,解得 ≥ 1 + 3，所以实数 的最小值为 1 + 3．
21.解：(1)若 = ( ) = + 1 是为“ (1, , )函数”，则存在实数 ， ， 使得 ( ) + ( ) = 1 对任
意的实数 恒成立，
即 + 1 + ( + 1 ) = 1，即 + + = 0 对任意的实数 恒成立，
= 1 = 1
则 = 0，解得 = 1 ,
所以 = ( ) = + 1 是“ (1, 1,1)函数”
(2)因为函数 = ( )是“ (1,1,2)函数”，所以 ( ) + ( 2) = 1，
由于当 ∈ [0,2]， ( ) = sin π4 ，
当 ∈ [2,4]，则 2 ∈ [0,2]，所以 ( ) = 1 ( 2) = 1 sin π4 ( 2) = 1 + cos
π
4 ，
当 ∈ [4,6]，则 2 ∈ [2,4]，所以 ( ) = 1 ( 2) = 1 1 + cos π4 ( 2) = sin
π
4 ，
当 ∈ [6,8]，则 2 ∈ [4,6] π π，所以 ( ) = 1 ( 2) = 1 + sin 4 ( 2) = 1 cos 4 ，
当 ∈ [8,10]，则 2 ∈ [6,8]，所以 ( ) = 1 ( 2) = 1 1 cos π4 ( 2) = sin
π
4 ，
sin π4 , 8 ≤ ≤ 2 + 8
1 + cos π
则 ( ) = 4
, 2 + 8 < ≤ 4 + 8
, ( ∈ Z)
sin π4 , 4 + 8 < ≤ 6 + 8
1 cos π4 , 6 + 8 < ≤ 8 + 8
所以当 ∈ [2022,2024]， ( ) = 1 cos π4 ，
( ) = 1令 2，则 cos
π
4 =
1
2，
π = π+ 2 π π = 5π+ 2 π( ∈ Z) = 4所以4 3 或4 3 ，即 3 + 8 或 =
20
3 + 8 ( ∈ Z)，
20 6068
因为 ∈ [2022,2024]，所以 = 3 + 8 × 252 = 3
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故 ( ) = 1 60682在 ∈ [2022,2024]上的解为 3 ．
(3)由题可得： ( ) = sin + 2cos + 1 = 5sin( + ) + 1，
则 ( ) = 5sin( + ) + 1，其中 0 < < π2，且 tan = 2，
由于 ( ) + ( ) = 1，可化为 5 sin( + ) + + 5 sin( + ) + = 1，
即 5 + cos sin( + ) 5 cos( + )sin + + 1 = 0
+ cos = 0
由已知条件，上式对任意的实数 恒成立，故必有： sin = 0
+ 1 = 0
= 12
解得： = 1 ,2
cos = 1
由 cos = 1，解得： = π + 2 π( ∈ Z)
所以函数 = sin + 2cos + 1 为“ ( , , ) 1 1函数，其中 = 2， = 2， = π + 2 π( ∈ Z)．
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