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2024-2025 学年广东省江门市鹤山市纪元中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在 中，已知 = 3， = 2， = 60 ，则角 的值为( )
A. 45 或135 B. 45 C. 135 D. 30 或150
2.已知复数 满足： i + 2 = 1 + i，则 =( )
A. 35+
1
5 i B.
1+ 1 i C. 1 + 15 5 3 i D.
1 1
3 + 3 i
3 .已知角 的终边上一点 的坐标为(1,2)，则 tan( + 4 ) =( )
A. 1 B. 13 3 C. 3 D. 3
4 π.下列函数中，在 0, 2 上递增，且周期为π的偶函数是( )
A. = sin B. = cos2 C. = tan D. = sin
5.如果 , 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
2 2
A. = B. 2 = C. 2 ≠ D. = 1
→ →
6.在 中， = c， = ，若点 满足 = 3 ，则 =( )
1 → → → → → → → →A. 4 +
3
4 B.
7
4
3
4 C.
3 1 3 7
4 + 4 D. 4 + 4
7.若 tan = 2tan , sin( + ) = 13，则 sin( ) =( )
A. 19 B.
1 C. 2 D. 29 9 9
8.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角
形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形
就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形 的边长为 4，则勒洛三角形的面积为( )
A. 4π 3 B. 4π 2 3 C. 8π 3 D. 8π 8 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若复数 1 = 2 i, 2 = 3 + 4i，则下列说法正确的是( )
A. 2 = 2
B. 1 2的虚部是 5i
C.在复平面内， 2所对应的点在第四象限
D.在复数范围内， 21是方程 4 + 5 = 0 的根
10.设向量 = (2,0), = (1,1)，则( )
A. = B. 与 π的夹角是4
C. ( ) ⊥ D.向量 在向量 上的投影向量是
11.已知函数 ( ) = sin2 和 ( ) = sin 2 π3 ，则( )
A. ( )和 ( )的最小正周期相同
B. ( ) π和 ( )在区间 0, 4 上的单调性相同
C. ( ) π的图象向右平移3个单位长度得到 ( )的图象
D. ( )和 ( ) π的图象关于直线 = 3对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2, ), = ( 1, )，若 2 + 与 垂直，则正数 的值为 ．
13.已知 tan = 2，则sin2 3sin cos =
14 ( ) = sin( + )( > 0, > 0) 2025π.已知函数 的部分图象如图所示，则 2 =
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知 = 4， = 2，且 与 的夹角为 60°．
(1)求(2 + ) (2 )的值
(2)求 2 的值；
(3)若向量 2 与 3 平行，求实数 的值．
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16.(本小题 13 分)
已知 sin = 3 π5，且 ∈ 2 , π ．
(1) sin 2π +cos 3π+ 求 π 的值；sin 2 sin π
(2) π已知 ∈ 0, 2 ，且 sin( + ) =
5
13，求 cos 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，甲船在距离 港口 24 海里并在南偏西 20°方向的 处驻留等候进港，乙船在 港口南偏东 40°方向的
处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为 31 海里．
(1)求∠ 的正弦值；
(2)当乙船行驶 20 海里到达 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的
距离．
18.(本小题 17 分)
函数 ( ) = 4sin cos 4cos2 + 2，
(1)把 ( )的单调减区间
(2)求 ( ) π在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值及取最值时相应 的值
(3)把 = ( )图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍得到函数 = ( )的图象，再把函数 = ( )图象上
π
所有的点向左平移4个单位长度，得到函数 = ( )的图象，若函数 = ( ) 2在区间[0, ]上至少有 20
个零点，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
在锐角 中， , , 是角 , , 的对边，若满足 3 = sin + 3 cos ．
(1)求角 的大小；
(2)求 sin + sin 取值范围；
(3)当 sin + sin 取得最大值时，在 所在平面内取一点 ( 与 在 两侧)，使得线段 = 2, = 1，
求 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 25/ 0.4
14. 3
15.解：(1)因为 = 4， = 2，
2 2
所以(2 + )·(2 ) = 4 2 = 4 2 = 4 × 42 22 = 60．
(2)因为 = 4， = 2，且 与 的夹角为 60°，
所以 · = cos60° = 4 × 2 × 12 = 4，
2 2
所以 2 = 4 2 4 · + = 4 × 42 4 × 4 + 22 = 52，
2
所以 2 = 2 = 52 = 2 13．
(3)因为向量 2 与 3 平行，所以 2 = 3 ，
2 =
由平面向量基本定理可得 = 3 ,
= 6 = 6
解得 6或 , = 3 =
6
3
所以 的值为± 6．
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16. 3 π 4解：(1)因为 sin = 5，且 ∈ 2 , π ，所以 cos = 1 sin
2 = 5，
3 4
sin 2π +cos 3π+ = sin cos
5+= 5 = 1所以 ．
sin π2 sin π cos sin
4 3 7
5 5
(2) π因为 ∈ 2 , π ， ∈ 0,
π π
2 ，所以2 < + <
3π
2，
5 12
又 sin( + ) = 13，所以 cos( + ) = 1 sin
2( + ) = 13，
由(1)知，sin = 3 45，cos = 5，
所以 cos = cos ( + ) = cos( + )cos + sin( + )sin
= 12 × 413 5 +
5 3 33
13 × 5 = 65．
17.解：(1)由题设，∠ = 60°， = 31， = 24，
3
△ sin∠
24× 12 3
在 中，sin∠ = sin∠ ，则 sin∠ =
2
= 31 = 31 ；
(2)由题意， = 20 23，由(1)及题图知：∠ 为锐角，则 cos∠ = 31，
由 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 400 + 961 2 × 20 × 31 × 2331 = 441，
所以 = 21 海里．
18.解：(1)依题意，函数 ( ) = 2sin2 2cos2 = 2 2sin(2 π4 )，
π π 3π
由2 + 2 π ≤ 2 4 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z
3π
，得 8 + π ≤ ≤
7π
8 + π, ∈ Z，
所以 ( ) 3π 7π的减区间为[ 8 + π, 8 + π]( ∈ Z)．
(2)由(1)知 ( ) = 2 2sin(2 π π π π 3π4 )， ∈ [0, 2 ]，则 2 4 ∈ [ 4 , 4 ]，
2 π π则当 4 = 4，即 = 0 时，函数 ( )取得最小值 (0) = 2；
2 π = π 3π 3π当 4 2，即 = 8时，函数 ( )取得最大值 ( 8 ) = 2 2．
(3)把 = ( )图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 ( ) = 2 2sin( π4 )，
π
再把函数 = ( )图象上所有的点向左平移4个单位长度，得 ( ) = 2 2sin ，
则函数 = ( ) 2 = 2 2sin 2，令 = 0，即 2 2sin 2 = 0，即 sin = 12，
解得 = π6 + 2 π
5π
或 = 6 + 2 π, ∈ Z，
要使得函数 = ( ) 2区间[0, ] 5π 113π上至少有 20 个零点，则满足 ≥ 6 + 2 × 9π = 6 ，
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113π
所以实数 的最小值为 6 ．
19.解：(1)由 3 = sin + 3 cos ，由正弦定理可得 3sin = sin sin + 3sin cos ，
因为 = π ( + )，则 sin = sin π ( + ) = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
可得 3sin cos + 3cos sin = sin sin + 3sin cos ，即 3sin cos = sin sin ，
π
又因为 ∈ 0, 2 ，则 sin > 0，可得 3cos = sin ，即 tan = 3，
且 ∈ 0, π2 ，所以 =
π
3．
(2)在锐角 中，由(1) π 2π得 = 3，则 = 3 ，
0 < < π2 π
可得 2π π，解得6 < <
π
，
0 < 23 < 2
可得 sin + sin = sin + sin( + ) = sin + 1 sin + 32 2 cos
= 3 32 sin + 2 cos = 3sin +
π
6 ，
π < < π π π 2π由6 2，得3 < + 6 < 3，
3 < sin + π则 2 6 ≤ 1
3 π
，即2 < 3sin + 6 ≤ 3，
3
所以 sin + sin 的取值范围为 2 , 3 ．
(3)由(2) π π π知，当 sin + sin 取得最大值时， + 6 = 2，即 = 3，
π
且 = 3，可知 为等边三角形，
在 中，令∠ = , ∠ = , = = = ，
1
由正弦定理可得sin = sin ，则 sin = sin ，
由余弦定理可得 2 = 22 + 12 2 × 2 × 1 × cos = 5 4cos ，
则 2cos2 = 2 2sin2 = 5 4cos sin2 = cos2 4cos + 4 = 2 cos 2，
所以 cos = 2 cos ，
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1 3 1所以 = 2 × × 2sin 3 + = 2 cos + 2 sin
= 32 (2 cos ) +
1 π
2 sin = 3 + sin 3 ≤ 3 + 1，
∈ 0, π 5π且 ，故当 = 6 时等号成立，所以 面积的最大值为 3 + 1．
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