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2024-2025 学年广东省江门市新会区陈经纶中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1 2 (i 是虚数单位)，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
2.在 中，角 , , 的对边分别为 , , , sin2 = sin2 + sin2 + sin sin ，则 cos =( )
A. 1 B. 12 C.
3 D. 32 2
3 cos .已知cos sin = 2，则 sin2 =( )
A. 12 B.
9
5 C.
4
5 D. 2
4 1+tan15°.1 tan15° =( )
A. 33 B. 3 C.
3
3 D. 3
→ → → → → →
5 2 .已知非零平面向量 , 的夹角为 3，且 = 1, + 2 = 2，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 3
6.如图，在 中， ⊥ ， = 2， = 3 ，则 的值为( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 16
7.奏唱中华人民共和国国歌需要 46s.某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°看台的某一列的正前
方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为
10 2m(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升
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旗手升旗的速度应为( )
A. 3 323 m/s B.
5 3
23 m/s C.
7 3m/s D. 8 323 23 m/s
8.已知 sin( + ) = 12，sin( ) =
1
3，则cos
2 cos2 =( )
A. 136 B.
1
36 C.
1 1
6 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数 ( ) = cos2 2 3sin cos ，下列命题中正确的命题为( )
A.函数 ( )的最小正周期为π；
B.函数 ( )的最大值为 2；；
C. ( ) π π在区间 6 , 3 上是单调递增；
D.将函数 ( ) 7π的图象向右平移12个单位后将与 = 2sin2 的图象重合．
10.已知向量 = ( 4,2)， = (2, )，则下列说法正确的是( )
A.当 ⊥ 时， = 4
B.当 // 时， = 1
C.当 = 2 时， 在 上的投影向量为( 1, 1)
D.当 与 的夹角为锐角时， 的取值范围为(4, + ∞)．
11.设 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 2, = 3，则下列选项正确的是( )
A. 2 3外接圆半径为 3 ； B. 面积的最大值为 3；
C. + 2 4 21最大值为 ； D. 23 +
2的最小值为 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 i 是虚数单位，则 i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + 5i5 + 6i6 + 7i7 + 8i8 = . (用 + i 的形式表示， , ∈ R)
13.在 中， = 1200， = 2， 的角平分线 = 3，则 = ．
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14 .设为两个非零向量 ， 的夹角，且 = 6，已知对任意实数 ，|
+ |的最小值为 1，则| | = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 + 2 + 2 6 i， ∈ R，i 是虚数单位．
(1)若复数 为纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 的部分图象，如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) ∈ π6 ,
π
6 ，求函数 ( )的值域；
17.(本小题 15 分)
已知在 中，点 在线段 上，且 = 2 ，延长 到 ，使 = .设 = ， = ．
(1)用 、 表示向量 、 ；
(2)若向量 与 + 共线，求 的值．
18.(本小题 17 分)
在四边形 中， // ， = = = 1．
(1)若 = 32，求 ；
(2)若 = 2 ，求 cos∠ ．
19.(本小题 17 分)
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如图所示，摩天轮直径为 110 ，最高点距离地面 120 ，相当于 40 层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装
了 48 个透明座舱，每个座舱最多可坐 8 人，整个摩天轮可同时供 380 余人观光，并且运行时按逆时针匀
速旋转，转一周需要 30 ．
(1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问 5 后他距离地面的高度是多少？
(2)若甲、乙两游客分别坐在 ， 两个座舱里，且他们之间间隔 15 个座舱，求 ， 两个座舱的直线距离；
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 4i
13. 6
14.2
215. + 2 = 0,解：(1) ∵复数 为纯虚数，∴
2
解得 = 0，
6 ≠ 0,
∴ 的值为 0．
(2) ∵复数 在复平面内对应的点在第四象限，
2
∴ + 2 > 0,2 解得 0 < < 3， 6 < 0,
故 的取值范围为(0,3)．
16. 5π π π 2π解：(1)由图象易得： = 3，2 = 6 3 = 2，所以 = π，所以 = π = 2．
π π π π
又函数图象过点 12 , 3 ，所以 3sin 2 × 12 + = 3 6 + = 2 π + 2， ∈ Z．
又| | < π2，所以 = 0 =
π
， 3，
所以 ( ) = 3sin 2 + π3 ．
(2) ∈ π , π 2 + π 2π当 6 6 时， 3 ∈ 0, 3 ，所以 sin 2 +
π
3 ∈ [0,1]，所以 ( ) ∈ 0, 3 ．
即所求函数的值域为： 0, 3
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17.(1)解：因为 = ，结合图形可知 为 的中点，
所以， = + = + 2 = + 2 = 2 = 2 ，
因为 = 2 ，则 = 2 3 =
2 3 ，
所以， = = 2 2 = 2 5 3 3 ．
(2) + = + 2 5解：因为 3 = (2 + 1)
5
3 ，
因为向量 与 + 共线，则存在 ∈ ，使得 + = ，
5 2 + 1 = 2
即(2 + 1) = 2 33 ，所以， = 53
，解得 = 4．
2 9
18. (1) cos∠ = +
2 2 +1 1 3
解： 在三角形 中，根据余弦定理可得， 42 = 3 = 4，2×2×1
3
由题得：∠ = ∠ = ∠ ，所以 cos∠ = cos∠ = 4，
在三角形 中，根据余弦定理可得，
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 1 2 × 3 14 = 2，
2
所以， = 2 ．
(2)设 = 2 = 2 ，在三角形 中，根据余弦定理可得，
2+ 2 2 4 2cos∠ = +1 12 = 2×2 ×1 = ，
2 2 2 2 2
在三角形 + 1+1 2 中，根据余弦定理可得，cos∠ = 2 = 2×1×1 = 2 ，
2 2
所以 2 = ，得： = 3 1 或 = 3 1(舍)，
则 cos∠ = cos∠ = = 3 1．
19.解：(1)设游客高度为 ，所用时间为 ，依题意： = sin( + ) + ( > 0, > 0, π < < π).
由( + ) ( ) = 110 = 55；由 + = 120 = 120 = 65．
由 = 2π π = 30 = 15；由 (0) = 55 + 65 = 10 sin = 1
π
，所以 = 2．
π π
所以 = 55sin 15 2 + 65．
当 = 5 = 55sin π × 5 π + 65 = 55 75时， 15 2 2 + 65 = 2 = 37.5．
所以游客自最低点处登上摩天轮，5 后他距离地面的高度是 37.5m．
(2)因为 , 之间间隔 15 个座舱，所以∠ = 2π48 × 16 =
2π
3．
在 中， = 55cos30° × 2 = 55 3．
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所以 ， 两个座舱的直线距离为 55 3m．
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