资源简介

2024-2025学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一下学期 5月半
月考理科数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (4,1)， = (2, )，且 // + ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 12 2 D. 2
2 1.已知 sin cos = 8， ∈ 0, π ，则 sin cos =( )
A. 52 B.
5 C. 32 2 D.
3
2
3.在 中， = 30 , = 2， = 2 2，则角 的大小为( )
A. 45 B. 135 或45 C. 15 D. 105 或15
4.设函数 ( ) = sin( + π3 )在区间(0, π)恰有三条对称轴 两个零点，则 的取值范围是( )
A. 53 ,
13
6 B.
5 , 19 C. ( 13 , 8 ] D. ( 13 , 193 6 6 3 6 6 ]
5.已知 = 2cos246° 1， = cos2025°cos2024° + sin2025°sin2024° tan14°+tan31°， = 1 tan14°tan31°，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6 4.已知角 终边在第二象限，且 tan = 3，则 1 + sin2 + 2 2cos2 的值为( )
A. 1 B. 7 C. 9 135 5 D. 5
7.如图，一个半径为 4 米的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 2 米．设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位：m)(在水面下则 为负数)，若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算
时间，则 与时间 (单位：s)之间的关系可以表示为( )
A. = 4sin π π20 6 + 2 B. = 4sin
π π
20 + 6 + 2
C. = 4sin π10
π
6 + 2 D. = 4sin
π
10 +
π
6 + 2
8.在 中， = = 2， = 2 3，点 在线段 上.当 取得最小值时， =( )
第 1页，共 7页
A. 3 B. 7 C. 3 D. 72 2 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)函数 = sin( + )( > 0, > 0,0 < < π)在一个周期内的图像如图所示，则( )
A. 2该函数的解析式为 = 2sin 3 +
π
3
B. π该函数图像的对称中心为 3 , 0 ， ∈ Z
C. 5π π该函数的增区间是 3 π 4 , 3 π + 4 ， ∈ Z
D.把函数 = 2sin + π 33 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
10.已知向量 = (1,2)， = ( 4,2)，则( )
A. ⊥ + B. = +
C. 在 上的投影向量是 D. 在 + 上的投影向量是( 3,4)
11.已知函数 ( ) = cos2 2 3sin cos ，则下列命题正确的是( )
A. ( )的最小正周期为π
B.函数 ( ) π的图象关于直线 = 3对称
C. ( )在区间[ 2π π3 , 6 ]上单调递增
D. ( ) π将函数 的图象向右平移3个单位长度后所得到的图象与函数 = 2cos2 的图象重合
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,3)， = ( , 1)，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 ．
13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是 1998 2006 年重建的，如图 1.某人为了测量塔高 ，
在 点处测得仰角为 45°，在 点处测得仰角为 60°， 、 两点间的距离为 30 米，∠ = 30°，如图 2，则
塔的高度为 米.
14.已知在锐角三角形 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 2 = ( + ) 2 sin ，则 cos cos 的取值范围
是 ．
第 2页，共 7页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知 tan = 3．
(1) sin cos 求sin +cos 的值；
(2)求sin2 + 2cos + π sin + π2 的值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (3,4)， = (1, )．
(1)若 ⊥ ，求 ；
(2)若 = (1,2)， // 2 ，求 2 与 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需
求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼
养殖场计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池 ，矩形一边 在 上，点 在圆弧 上，点
在边 上，且∠ = π3， = 60 米，设∠ = ．
(1)求扇形 的面积；
(2)求矩形 的面积 ( )；当 为何值时， ( )取得最大值，并求出这个最大值．
18.(本小题 17 分)
在锐角 中，角 ， ， 所对的边 ， ， ，且 sin + sin = sin + sin ．
(1)求角 ；
(2)若 = 7，2 = 3 ，求 的面积；
(3)若 = 3，求 的周长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )．
第 3页，共 7页
(1)设 ( ) = ( ) + π3 ， ( )
π
为偶函数，若存在 ∈ 0, 2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，求实数
的取值范围；
(2)已知函数 ( ) π的图象过点 6 , 1 ，设 ( ) = cos
2 + 2 sin π π π，若对任意的 1 ∈ 2 , 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，
使 1 < 2 + 3 成立，求实数 的取值范围．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3, 1 13 ∪ 3 , + ∞
13.30 3
14. 1, 2
2
15. sin cos tan 1 1 1解：(1)由题意得 3sin +cos = tan +1 = 2 = +1 5；3
π
(2)sin2 + 2cos + π sin + 2
= sin2 2cos2
sin2 2cos2
=
sin2 + cos2
tan2 2
=
tan2 +1
4
9 2= 144 = ．
9+1 13
16.解：(1) = (2,4 )，由 ⊥ 可得 = 0，
即 3 × 2 + 4(4 ) = 0，解得 = 112，
2
所以 = 2, 3 3 52 ，故 = 2
2 + 2 = 2．
(2)依题意 2 = (1,4 2 )，
第 5页，共 7页
又 // 2 ，所以 1 × 2 1 × (4 2 ) = 0，
解得 = 1，则 2 = (1,2)， 2 = 5， = 5，
所以，故 2 11 5与 的夹角的余弦值为 25 ．
17.解：(1) π依题意，∠ = 3，扇形半径即 = 60 米，
1 π
则扇形 的面积为2 ×
2
3 × 60 = 600π平方米．
(2)在 中， = 60sin ， = 60cos ，
在 中， = = 60sin = ，则 3 =
3
3 × 60sin ，
于是 = = 60cos 20 3sin ，
则矩形 面积 ( ) = = 60sin (60cos 20 3sin )
3 1 1
= 1200 3( 3sin cos sin2 ) = 1200 3( 2 sin2 + 2 cos2 2 )
= 1200 3sin(2 + π6 ) 600 3，0 < <
π
3，
( ) = 1200 3sin(2 + π ) 600 3(0 < < π所以 6 3 )；
0 < < π π π 5π π π由 3，得6 < 2 + 6 < 6 ，则当 2 + 6 = 2时，即 =
π
6时， ( )max = 600 3，
π
所以当 = 6时， ( )取得最大值，最大值为 600 3平方米．
18.解：(1)由 sin + sin = sin + sin 和正弦定理，可得 + 2 = 2 + 2，
2 2 2
即 2 + 2 2 = ( )，又由余弦定理，可得 cos = + 12 = 2 = 2，
∵ ∈ 0, π ，∴ = π3；
(2) ∵ = 7，2 = 3 ，∴ = 2 3，代入( )
4 2
，可得9
2 + 2 7 = 23 ，
解得 = 3，∴ = 2，
∴ 1 = 2 sin =
1 × 2 × 3 × 3 = 3 32 2 2 ；
(3)由(1) π 3可知 = 3，由正弦定理可得sin = sin = sin = 3 = 2 3，
2
∴ = 2 3sin ， = 2 3sin ，
2π
∴ + = 2 3sin + 2 3sin = 2 3sin + 2 3sin( 3 )
= 3 3sin + 3cos = 6sin( + π6 )，
第 6页，共 7页
0 < < π
∵ 2 π为锐角三角形，∴ 2π π，解得6 < <
π
0 < < 2
，
3 2
π < + π < 2π则3 6 3 ，所以 sin( +
π
6 ) ∈ (
3
2 , 1],
则 + = 6sin + π6 ∈ 3 3, 6 ,
故 的周长 = + + = 3 + + ∈ 3 3 + 3,9 ,
即 的周长的取值范围 3 3 + 3,9 ．
19.解：(1)由 ( ) π π为偶函数，则 = 2 + π， ∈ Z，又 0 < < ，则 = 2，
所以 ( ) = cos2 ，则 ( ) = cos2 cos2( + π3 ) = cos2 cos2 cos
2π
3 + sin2 sin
2π
3
= 3 cos2 + 3 sin2 = 3sin(2 + π2 2 3 )，
π π π 4π
存在 ∈ 0, 2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，则 2 + 3 ∈ 3 , 3 ，
所以 ( ) < 2 在 2 + π ∈ π 4π 33 3 , 3 上能成立，而 ( ) ∈ [ 2 , 3]，
所以 2 > 32 <
7
2；
(2)由题设 π6 = sin
π
3 + = 1，且 0 < <
π
，则 = 6，
所以 ( ) = sin 2 + π6 ，
而 2 ∈ 0,
π
2 ，则 2 2 +
π π 7π 1
6 ∈ 6 , 6 ，所以 2 ∈ [ 2 , 1]，
对任意的 1 ∈
π π π
2 , 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，使 1 < 2 + 3 成立，
所以 1 max < 2 22 max + 3 = 4，即(cos 1 + 2 sin 1)max = (1 sin 1 + 2 sin 1)max < 4，
令 = sin 1 ∈ [ 1,1]，则 ( ) = 2 + 2 + 1 = ( )2 + 1 + 2，故 ( )max < 4，
当 ≥ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递增，此时 2 < 4，可得 1 ≤ < 2；
当 ≤ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递减，此时 2 < 4，可得 2 < ≤ 1；
当 1 < < 1，则 ( )在[ 1, )上单调递增，在( , 1]上单调递减，此时 1 + 2 < 4，可得 1 < < 1；
综上， 2 < < 2．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑