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2024-2025 学年广东省汕头市南澳中学高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.当3 < m < 1 时，复数 = (3 2) + ( 1) 在平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.关于平面向量，下列正确的是( )
A.若 是单位向量，0零向量，则 = 0 = 0
B.若向量 与 不共线，则存在一对实数 , ，使 = +
C.海拔、温度、角度都是向量
D.若 = ，则四边形 是菱形
3.如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )
A. 10π B. 223 π C. 7π D.
13
3 π
4.已知向量 = (3,1)， = ( , 3)，下述正确的是( )
A.若 /\ !/ ，则 = 9
B. 3 10若 = 4，则 cos , = 10
C.若 = (3,1)， = (1, 3)，则 的中点是(2,1)
D.若 ⊥ ，则 2 3 = 130
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5.如图， 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图， /\ !/ 轴， = = = 2，则这个平面图
形的实际周长为( )
A. 8 + 4 2 B. 6 + 4 2 C. 12 D. 8 + 2
6.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )
A. 3: 1 B. 3: 2 C. 2: 3 D. 3: 3
7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
( )
A. 5 1 5 1 5+1 5+14 B. 2 C. 4 D. 2
8.如图所示，为了测量 ， 处岛屿的距离，小明在 处观测， ， 分别在 处的北偏西 15°、北偏东 45°方
向，再往正东方向行驶 40 海里至 处，观测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西 60°方向，则 ， 两处岛
屿间的距离为( )
A. 20 6海里 B. 40 6海里 C. 20(1 + 3)海里 D. 40 海里
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.若 ∈ ， ∈ ，且 ∈ ， ∈ ，则
B.经过两条相交直线，有且只有一个平面
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C.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
D.直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面
10.复数 = 1 + i(i 为虚数单位)， 为 的共轭复数，则下列错误的是( )
A. 对应的点是 1, i B. 的虚部为 1
C. = | |2 = 2 = 2 D. = i
11.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是( )
A. 与 平行 B. 与 是异面直线．
C. 与 成60 角. D. 与 是异面直线．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥的表面积为 m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 .
13.△ 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点， 与 交于点 ，设 = ， = ，则 ， 用表示
向量 =
14.正六棱台的上、下底面边长分别是 2 和 6，侧棱长是 5，则它的表面积是 ，体积是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
(1) 1 2i + 2+i计算： 3+4i 4+3i ．
(2)已知复数 与 + 2 2 8i 均是纯虚数，求 ．
16.(本小题 15 分)
如图，已知 , , , 分别为空间四边形 的边 ， ， ， 上的中点，
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 ，若 = 1，求：正四面体 的体积．
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17.(本小题 15 分)
已知单位向量 1， 2的夹角为 60°， = 1+ 2， = 2 2 1，
(1)求 ， ；
(2)求 与 的夹角 ．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且满足 cos = 3， 5
= 3．
(1)求 的面积；
(2)若 = 1，求 、sin 的值．
19.(本小题 17 分)
在① = 3，② sin = 3，③ = 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存
在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 ，它的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 sin = 3sin ， = 6，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3 3
13.1 3 +
14.60 3 + 24 21； ； ；
；78 3
15.(1) 3 4i 3+4i解：原式= 3+4i + 4+3i
3+ 4i 4 3i
= 1+ 25
25+ 24+ 7i
= 25
= 1 725 + 25 i．
(2)设 = i( ≠ 0)，
则( + 2)2 8i = i + 2 2 8i = 4 2 + (4 8)i，
得 4
2 = 0，解得 = 2，故 = 2i．
4 8 ≠ 0
16.(1)因 , 分别为 的 ， 1上的中点，所以 // ，且 = 2 ；
因 , 分别为 的 ， 上的中点，所以 // ，且 = 12 ；
所以 // ，且 = ，
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所以四边形 为平行四边形．
(2)取 的中心 ，连接 ，连接 ，则 为正四面体的高，
在 中，可得 = 3 = 22 ， 3 =
3
3 ，
在 中，由勾股定理得 = 2 2 = 1 1 = 63 3 ，
1
则正四面体 的体积为 = 3 =
1 3 63 4 3 =
2
12．
17.(1) = 21+ 2 2 2 1 = 2 1 1 2 + 22
= 2 1 32 + 1 = 2，
2 = 2 = 1
2 + 2 1 2+
2
2 = 1 + 2 × 1 × 1 ×
1
2 + 1 = 3，
= 3．
(2)
2 2
= = 22 4 1 2 + 4 1
2 = 1 4 × 12 + 4 = 3，
= 3．
3
∴ cos = 2 1 = 3 3 = 2，∴ = 120°．
18.(1)cos = 35，
而 = | | | | cos = 35 = 3，
∴ = 5
又 ∈ (0, )，∴ sin = 1 cos2 = 45，
1 1 4
∴ = 2 sin = 2 × 5 × 5 = 2
(2) ∵ = 5，而 = 1，∴ = 5
在 中，由余弦定理可得：
2 = 2 + 2 2 cos = 20，
∴ = 2 5，

由正弦定理可得：sin = sin ，
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4
∴ sin = sin
5×
=
5 2 5
2 5 = 5 ．
19.［方法一］【最优解】：余弦定理
由 sin = 3sin 可得： = 3，不妨设 = 3 , = ( > 0)，
则： 2 = 2 + 2 2 cos = 3 2 + 2 2 × 3 × × 3 = 22 ，即 = ．
若选择条件①：
据此可得： = 3 × = 3 2 = 3，∴ = 1，此时 = = 1．
若选择条件②：
2 2 2 2 2 2
据此可得：cos = + = + 3 12 2 2 = 2，
2
sin = 1 1 = 3则： 2 2 ，此时： sin = ×
3
2 = 3，则： = = 2 3．
若选择条件③：

可得 = = 1， = ，与条件 = 3 矛盾，则问题中的三角形不存在．
［方法二］：正弦定理
由 = 6 , + + = ，得 =
5
6 ．
5 1 3
由 sin = 3sin ，得 sin 6 = 3sin ，即2 cos + 2 sin = 3sin ，
tan = 3得 3 .由于 0 < <
2
，得 = 6 .所以 = , = 3．
若选择条件①：

由sin =

sin ，得 = ，得 = 3 ．sin2 sin3 6
解得 = = 1, = 3.所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时 = 1．
若选择条件②：
由 sin = 3，得 sin 2 3 = 3，解得 = 2 3，则 = = 2 3．

由sin = sin ，得 2 = sin ，得 = 3 = 6．sin 3 6
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时 = 2 3．
若选择条件③：
由于 = 3 与 = 矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
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