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华二2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若是第四象限角，则点在第 象限.
2．已知点是角的终边上一点，则 ．
3．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 .
4．已知，求与向量方向相同的单位向量为 .
5．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
6．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ．
7．已知，则 .
8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 .
9．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 .
10. 如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为 .
11．已知函数，则关于的方程：的实根个数为 .
12．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ）.
A．3 B．1 C． D．或3
14．函数部分图象是（ ）.
A． B．
C． D．
15．若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
16．在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题 （本大题满分78分，17、18题各14分，19、20、21题各18分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知，，，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，．
（1）求，；
（2）设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
（1）若为线段上一点，且，求实数的值；
（2）若为线段上的动点，求的最小值．
20．三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，求的大小；
（2）在（1）的条件下，若，设点为的“点”， 求；
（3）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
试卷第1页，共5页
21. 定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
（1）已知，判断它是否为“函数”；
（2）若函数是“函数”，当，，求在上的解.
（3）判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
华二2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若是第四象限角，则点在第 象限.
【答案】三
2．已知点是角的终边上一点，则 ．
【答案】
3．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 .
【答案】2
4．已知，求与向量方向相同的单位向量为 .
【答案】
5．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
【答案】2
6．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ．
【答案】
7．已知，则 .
【答案】1
8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 .
【答案】
9．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 .
【答案】8
10. 如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
11．已知函数，则关于的方程：的实根个数为 .
【答案】8
12．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 .
【答案】
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ）.
A．3 B．1 C． D．或3
【答案】A
14．函数部分图象是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
15．若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
16．在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
三、解答题 （本大题满分78分，17、18题各14分，19、20、21题各18分）.
17．已知，，，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）因为，，所以，
又因，，
故，
因为，又因，
则，则.
（2）因为；所以
，
因为，则得，
因，故.
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，．
（1）求，；
（2）设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）， （2）存在，
【解析】（1）因为，是两个夹角为的单位向量，所以，，
又，，所以
，又，
所以．
（2）因为，．
若是以为斜边的直角三角形，则，
即，
可得，即，
化简得，解得，所以存在满足条件．
19．如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
（1）若为线段上一点，且，求实数的值；
（2）若为线段上的动点，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设，则，
所以，解得.
（2）记，，
设，则，，
，，
所以当，即时，取得最小值为.
20．三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，求的大小；
（2）在（1）的条件下，若，设点为的“点”， 求；
（3）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）在 中，由正弦定理得，
，有，
，，
，，又，；
（2）由（1）知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
.
（3）由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，（舍）
或，即，，
由点为的“点”，得，
设， ，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，所以实数的最小值为.
21. 定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
（1）已知，判断它是否为“函数”；
（2）若函数是“函数”，当，，求在上的解.
（3）判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
【答案】（1）是 （2） （3）是，，，.
【解析】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，
即，即对任意的实数恒成立，
则， 解得，所以是为“函数”
（2）因为函数是“函数”，所以，
由于当，，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
则，
所以当，，
令，则，所以或，
即或，因为，所以
故在上的解为.
（3）由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
即
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：解得：，
由，解得：
所以函数为“函数，其中，，.

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