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晋元中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知，则________．
2．设为实数，角的终边经过点，若，则________．
3．已知为虚数单位，设，，若为纯虚数，则的值为________．
4．已知，，若，则点的坐标为________．
5．若、都是实数，关于的方程有一个根，则________．
6．函数，的值域为________．
7．已知，，若，则在方向上的数量投影为________．
8．已知函数在时取得最大值，则________．
9．关于的方程有实数解，则实数的取值范围是________．
10．设，若函数在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是________．
11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数，，满足：，，，则________．
12．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18 ，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．，，，且、、三点共线，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
14．已知，，，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
15．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知平面向量、、满足，，，且．若对每一个确定的向量，记的最小值为．现有如下两个命题：
命题：当变化时，的最大值为；
命题：当变化时，可以取到最小值0；则下列选项中，正确的是（ ）
A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题
C．、都为真命题 D．、都为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知向量、是同一平面内的两个向量，其中．
（1）若，且与垂直，求与的夹角；
（2）若，向量满足，且，求的值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知向量，，记．
（1）求函数的单调增区间；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
“玉兰挺芳枝，幽兰出深谷；生长虽不同，气味各芬馥。”这是明代沈周赞美白玉兰的佳句．除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当米时，求的长；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第，3小题满分7分．
已知，其中．
（1）若对任意的恒成立，且，求的值；
（2）当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像．设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值；
（3）当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第，3小题满分6分．
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的数量积记作，定义为，复向量的模定义为．记为虚数单位．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）对两个复向量与，若时，称与平行．设，，
，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
（3）我们知道对于任意平面向量与，都有；
对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由；
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.-36
11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数，，满足：，，，则________．
【答案】
【解析】根据题意，在中，设
在内取一点，使得
设
由余弦定理可得：，
中，由于，则
而，
又由即
变形可得．故答案为：．
12．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________．
【答案】-36
【解析】
当时，，即。设，
二、选择题
13.A 14.A 15.C 16.B
15．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
所以A正确；
同理，
所以B正确；
所以C不正确；
变形为，
即，面积相等，成立，所以D正确．
16．已知平面向量、、满足，，，且．若对每一个确定的向量，记的最小值为．现有如下两个命题：
命题：当变化时，的最大值为；
命题：当变化时，可以取到最小值0；则下列选项中，正确的是（ ）
A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题
C．、都为真命题 D．、都为假命题
【答案】B
【解析】设，则，即
即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，且由，解得，
由题意，，且
所以
因为，则，
所以，当时，取得最小值，
且
令，可得，所以，
令，其中，
下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，
任取且，即，
则
因为，则，则，
所以函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数，
令，其中，
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又因为，即，所以，
故P为假命题，为真命题．故选B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20. 已知，其中．
（1）若对任意的恒成立，且，求的值；
（2）当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像．设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值；
（3）当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】（1）
（2）
（3）
所以
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第，3小题满分6分．
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的数量积记作，定义为，复向量的模定义为．记为虚数单位．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）对两个复向量与，若时，称与平行．设，，
，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
（3）我们知道对于任意平面向量与，都有；
对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由；
【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析 （3）成立，理由见解析
【解析】（1）因为，所以
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为
（2）不存在，
得
若与平行，则，得，
得，而，则此方程无实数根，
故不存在实数，使得与平行．
（3）因为，所以
由复数的三角不等式
由，得，所以
所以
综上所知，．

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