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第一节 集　合
1.了解集合的含义,了解空集与全集的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
教材再回首
1.集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性:　　　、无序性、　　　.
(2)元素与集合的两种关系:属于,记为　　;不属于,记为　　.
(3)集合的三种表示方法:　 　　、　 　　、图示法.
(4)五个特定的集合:
集合 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数 集 有理 数集 实数 集
符号 　 N*或N+ 　 　 　
2.集合间的基本关系
项目 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 　　　或　　　
真子集 集合A B,但存在元素x∈B,且x A 　　　或　　　
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 　　　　　　 A=B
空集是任何集合的　　　,任何非空集合的　　　　
3.集合的基本运算
项目 文字语言 图形语言 符号表示
并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=　　　　　　 　　　　　　　
交 集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=　　　　　　　　　　 　　　
补 集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA=　　　　　　　 　　 　　　　　　
解题结论拓展
(1)子集的传递性:A B,B C A C.
(2)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
(3)等价关系:A B A∩B=A A∪B=B UA UB.
(4)德·摩根定律: U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. (　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (　　)
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1. (　　)
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B). (　　)
2.(苏教必修①P23T7)若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则 MN= (　　)
A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7}
3.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=　　　　.
4.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0题点一　集合的含义与表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2025·广州模拟)若m∈{1,3,4,m2},则m可能取值的集合为 (　　)
A.{0,1,4} B.{0,3,4}
C.{-1,0,3,4} D.{0,1,3,4}
(2)(2025·宝鸡一模)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素,则实数a= (　　)
A.1 B.0
C.2 D.0或1
|思维建模|　
与集合中元素有关问题的求解策略
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他类型的集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[即时训练]
1.(2024·乐山三模)已知集合A={-1,0,1},B={1,2},C={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的元素个数为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为 (　　)
A.{0} B.{1}
C.{-1,1} D.{0,-1,1}
题点二　集合间的基本关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)设集合P={y|y=ex+1},M={x|y=log2(x-2)},则集合M与集合P的关系是 (　　)
A.M=P B.P∈M
C.M P D.P M
快审准解:求出集合P中函数的值域,集合M中函数的定义域,得到这两个集合,可判断集合间的关系.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a= (　　)
A.2 B.1
C. D.-1
[考教衔接]
[例2]第(2)题源自人教A版必修①P35T9:已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
启示:高考题与教材题均考查由集合的关系求参数值.教材题虽然考查的是由集合运算求参数,但是需转化为集合的关系求解,从考查难度上来说高考题降低了难度.只要掌握教材题目,就能轻轻松松地解决高考题.
|思维建模|
集合间基本关系的解题策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数,那么需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数,需要先确定集合A中元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法求解.
[即时训练]
3.(2024·汕头三模)已知集合A={x∈N|-2A.6 B.7
C.14 D.15
4.设a,b∈R,集合P={x|(x-1)2(x-a)=0},Q={x|(x+1)(x-b)2=0},若P=Q,则a-b= (　　)
A.0 B.2
C.-2 D.1
5.已知集合A={-1,0,2},B={x|1-mx>0},若A B,则m的取值范围是 (　　)
A.(-1,+∞) B.
C. D.(-∞,-1)∪
题点三　集合的基本运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　集合的运算
[例3]
(1)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-3(2)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)= (　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9}
C.{1,2,3} D.{2,3,5}
|思维建模|
解决集合运算问题的3个技巧
(1)看元素构成:集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;连续型数集的运算,常借助数轴求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(二)　根据集合的运算求参数的值或范围
[例4]　已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　　.
|易错提醒|
　　[例4]中易忽略B为空集的情况,因为空集是任何集合的子集,所以在含参集合中若未指明集合非空,要考虑集合为空集的情况,同时注意所得结果端点值的取舍.
|思维建模|　
求参数的值或范围的方法
(1)根据集合运算的结果,利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解,注意对空集的讨论.
(2)在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性).
[即时训练]
6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
7.(2024·临汾三模)已知集合A={x|x>a},B={x|1A.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
8.(2024·邵阳三模)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},如图所示,则图中阴影部分表示的集合是 (　　)
A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1}
C.{x|x>6} D.{x|x<-1或x>6}
|习得方略|
集合混合运算中的Venn图
　第一节　集　合
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)确定性　互异性　(2)∈　 　(3)列举法　描述法　
(4)N　Z　Q　R
2.A B　B A　AB　B?A　A B且B A　子集　真子集
3.{x|x∈A,或x∈B}　{x|x∈A,且x∈B}　{x|x∈U,且x A}
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C
3.解析:易知B={x|x≥3},故A∪B={x|x≥2}.
答案:{x|x≥2}
4.解析:由图可知a≥2.
答案:[2,+∞)
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)D
(1)由{1,3,4,m2},得m2≠1,则m≠1,由m∈{1,3,4,m2},得m=3,此时m2=9,符合题意;或m=4,此时m2=16,符合题意;或m=m2,则m=0,此时m2=0,符合题意,所以m可能取值的集合为{0,3,4}.
易错提醒:对于含有字母的集合,在求出字母的值后,注意检验集合元素是否满足元素的互异性.
(2)当a=0时,由ax2-2x+1=0可得x=,满足题意;当a≠0时,由ax2-2x+1=0只有一个根,得Δ=(-2)2-4a=0,解得a=1.综上,实数a的取值为0或1.
易错提醒:本题易忽视a=0,而错选A.遇到含参数的方程务必要考虑参数为0的情况.
[即时训练]
1.选C　由题意知,a∈{-1,0,1},b∈{1,2},当a∈{-1,0,1},b=1时,a+b∈{0,1,2};当a∈{-1,0,1},b=2时,a+b∈{1,2,3},所以C={0,1,2,3},所以集合C中的元素个数为4.
2.选D　因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,
所以当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两相等实根时,x=a2=1,即a=±1;
当方程有两不相等实根时,x=a2=0,即a=0.
综上,实数a所有取值的集合为{0,1,-1}.
题点二
[例2]　(1)C　(2)B
(1)因为函数y=ex+1的值域为(1,+∞),函数y=log2(x-2)的定义域为(2,+∞),即P=(1,+∞),M=(2,+∞),所以M P.
(2)依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.所以a=1,故选B.
[即时训练]
3.选A　易知A={x∈N|-2法一:列举法　满足条件的集合有{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共6个,
法二:公式法　集合A中有3个元素,则所有非空真子集的个数为23-2=6.
4.选C　由题意得P=Q=
因为P=Q,所以当且仅当a=-1,b=1时,P=Q成立.
故a-b=-2,故选C.
5.选C　由题意A B,则 -1题点三
[例3]　(1)C　(2)D
(1)由集合的并运算,得M∪N={x|-3(2)由题意得B={1,4,9,16,25,81},
则A∩B={1,4,9},所以 A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
[例4]　解析:x2-3x-10=(x-5)(x+2)≤0 A=[-2,5],
当m+1>2m-1,即m<2时,B= ,满足A∪B=A;当m+1≤2m-1,即m≥2时,
由A∪B=A,得 2≤m≤3,
综上所述,m的取值范围是(-∞,3].
答案:(-∞,3]
[即时训练]
6.选A　因为A={x|-57.选A　因为B={x|12},又A∪ RB=R,所以a≤1.如图所示.
8.选D　因为A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},所以A∪B={x|-1≤x≤6},所以题图中阴影部分表示的集合为 U(A∪B)={x|x<-1或x>6}.(共60张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
第一节
集 合
明确目标
1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：_________、无序性、________.
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为___；不属于，记为.
(3)集合的三种表示方法：_________、________、图示法.
(4)五个特定的集合：
确定性
互异性
∈
列举法
描述法
集合 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _____ N*或N+ ____ ____ ____
N
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
项目 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 _______或______
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A ______或______
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 _________________ A=B
空集是任何集合的_____，任何非空集合的________
A B
B A
A B
B A
A B且B A
子集
真子集
3.集合的基本运算
项目 文字语言 图形语言 符号表示
并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=________________
交 集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=_________________
补 集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA=________________
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x A}
解题结论拓展
(1)子集的传递性：A B，B C A C.
(2)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
(3)等价关系：A B A∩B=A A∪B=B UA UB.
(4)德·摩根定律：U(A∩B)=( UA)∪( UB)
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.(　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
×
×
×
√
2.(苏教必修①P23T7)若M={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}，N={x|x2-2x-3=0，x∈R}，则 MN= (　　)
A.{-1，3}
B.{-1，0，1，2，3，4，5，6，7}
C.{0，1，2，4，5，6，7}
D.{1，2，3，4，5，6，7}
√
3.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B=_________.
解析：易知B={x|x≥3}，故A∪B={x|x≥2}.
{x|x≥2}
4.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0解析：由图可知a≥2.
[2，+∞)
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2025·广州模拟)若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为(　　)
A.{0，1，4} B.{0，3，4}
C.{-1，0，3，4} D.{0，1，3，4}
√
题点一　集合的含义与表示
解析：由{1，3，4，m2}，得m2≠1，则m≠1，由m∈{1，3，4，m2}，得m=3，此时m2=9，符合题意；或m=4，此时m2=16，符合题意；或m=m2，则m=0，此时m2=0，符合题意，所以m可能取值的集合为{0，3，4}.
易错提醒：对于含有字母的集合，在求出字母的值后，注意检验集合元素是否满足元素的互异性.
(2)(2025·宝鸡一模)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a= (　　)
A.1 B.0
C.2 D.0或1
解析：当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意；当a≠0时，由ax2-2x+1=0只有一个根，得Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1.
综上，实数a的取值为0或1.
易错提醒：本题易忽视a=0，而错选A.遇到含参数的方程务必要考虑参数为0的情况.
√
与集合中元素有关问题的求解策略
(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
思维建模
1.(2024·乐山三模)已知集合A={-1，0，1}，B={1，2}，C={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的元素个数为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：由题意知，a∈{-1，0，1}，b∈{1，2}，当a∈{-1，0，1}，b=1时，a+b∈{0，1，2}；当a∈{-1，0，1}，b=2时，a+b∈{1，2，3}，所以C={0，1，2，3}，所以集合C中的元素个数为4.
即时训练
√
2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为 (　　)
A.{0} B.{1}
C.{-1，1} D.{0，-1，1}
解析：因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，所以当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两相等实根时，x=a2=1，即a=±1；
当方程有两不相等实根时，x=a2=0，即a=0.
综上，实数a所有取值的集合为{0，1，-1}.
√
[例2] (1)设集合P={y|y=ex+1}，M={x|y=log2(x-2)}，则集合M与集合P的关系是(　　)
A.M=P B.P∈M
C.M P D.P M
快审准解：求出集合P中函数的值域，集合M中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.
解析：因为函数y=ex+1的值域为(1，+∞)，函数y=log2(x-2)的定义域为(2，+∞)，即P=(1，+∞)，M=(2，+∞)，所以M P.
√
题点二　集合间的基本关系
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a= (　　)
A.2 B.1 C. D.-1
解析：依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A B.所以a=1，故选B.
√
|考|教|衔|接|
[例2]第(2)题源自人教A版必修①P35T9：已知集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}，是否存在实数a，使得A∪B=A 若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
启示：高考题与教材题均考查由集合的关系求参数值.教材题虽然考查的是由集合运算求参数，但是需转化为集合的关系求解，从考查难度上来说高考题降低了难度.只要掌握教材题目，就能轻轻松松地解决高考题.
集合间基本关系的解题策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数，那么需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法求解.
思维建模
3.(2024·汕头三模)已知集合A={x∈N|-2A.6 B.7
C.14 D.15
即时训练
√
解析：易知A={x∈N|-2法一：列举法　满足条件的集合有{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共6个，
法二：公式法　集合A中有3个元素，则所有非空真子集的个数为23-2=6.
4.设a，b∈R，集合P={x|(x-1)2(x-a)=0}，Q={x|(x+1)(x-b)2=0}，若P=Q，则a-b= (　　)
A.0 B.2
C.-2 D.1
解析：由题意得P=Q=因为P=Q，所以当且仅当a=-1，b=1时，P=Q成立.故a-b=-2，故选C.
√
5.已知集合A={-1，0，2}，B={x |1-mx >0}，若A B，则m的取值范围是 (　　)
A.(-1，+∞) B.
C. D.(-∞，-1)∪
解析：由题意A B，则 -1√
考法(一)　集合的运算
[例3]
(1)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-3解析：由集合的并运算，得M∪N={x|-3√
题点三　集合的基本运算
(2)(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则 A(A∩B)=(　　)
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
解析：由题意得B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}，所以 A(A∩B)={2，3，5}.故选D.
√
解决集合运算问题的3个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形结合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
思维建模
考法(二)　根据集合的运算求参数的值或范围
[例4]　已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是__________.
解析：x2-3x-10=(x-5)(x+2)≤0 A=[-2，5]，
当m+1>2m-1，即m<2时，B= ，满足A∪B=A；当m+1≤2m-1，即m≥2时，由A∪B=A，得 2≤m≤3，
综上所述，m的取值范围是(-∞，3].
(-∞，3]
易忽略B为空集的情况，因为空集是任何集合的子集，所以在含参集合中若未指明集合非空，要考虑集合为空集的情况，同时注意所得结果端点值的取舍.
易错提醒
求参数的值或范围的方法
(1)根据集合运算的结果，利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解，注意对空集的讨论.
(2)在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).
思维建模
6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
解析：因为A={x|-5即时训练
√
7.(2024·临汾三模)已知集合A={x|x>a}，B={x|1A.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
解析：因为B={x|12}，又A∪ RB
=R，所以a≤1.如图所示.
√
8.(2024·邵阳三模)已知全集U=R，集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是 (　　)
A.{x|-1≤x≤6}
B.{x|x<-1}
C.{x|x>6}
D.{x|x<-1或x>6}
解析：因为A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，所以A∪B={x|
-1≤x≤6}，所以题图中阴影部分表示的集合为 U(A∪B)={x|x<-1或x>6}.
√
集合混合运算中的Venn图
习得方略
数智赋能：电子版随堂训练(集合的新定义问题)，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2024·衡阳三模)已知集合A={1，5}，B={1，a+3}，若A=B，则实数a的值为(　　)
A.-1 B.0
C.-2 D.2
解析：由题意，得a+3=5，a=2，故选D.
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2.(2024·全国甲卷)若集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x+1∈A}，则A∩B= (　　)
A.{1，3，4} B.{2，3，4}
C.{1，2，3，4} D.{0，1，2，3，4，9}
解析：因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x+1∈A}={0，1，2，3，4，8}，
所以A∩B={1，2，3，4}.故选C.
√
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3.(2025·嘉兴模拟)已知集合U={x|1A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
解析：因为U={x|1 UA={4，5，6}，所以A={2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6 A，7∈A.
√
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4.(2025·广州一模)设集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}，若B A，则a= (　　)
A.2 B.1
C.-2 D.-1
解析：由A={1，3，a2}，得a2≠1，
即a≠±1，此时a+2≠1，a+2≠3，
由B A，得a2=a+2，而a≠-1，所以a=2.
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5.(2024·安庆二模)若集合P={x|-2≤xA.8 B.7
C.6 D.4
解析：根据题意，当m=时，集合P==
{-2，-1，0}，
集合P中有3个元素，所以集合P的非空真子集的个数为23-2=6.
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6.已知集合A={x||2-x|<1}，B={x|aA.0 B.1
C.2 D.3
解析：因为A=(1，3)，A∪B=(1，5)，
又B=(a，a+3)，所以a+3=5，即a=2.
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7.已知集合A={x|x>4}，B={x|x<2m}，且 RB A，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(2，+∞) B.[2，+∞)
C.(-∞，2) D.(-∞，2]
解析：因为B={x|x<2m}，所以 RB={x|x≥2m}，又A={x|x>4}，且 RB A，所以2m>4，得m>2.
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8.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B=B，则下列集合表示空集的是 (　　)
A.( UA)∩B B.A∩B
C.( UA)∩( UB) D.A∩( UB)
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解析：由Venn图表示集合U，A，B如图所示，
由图可得( UA)∩B= BA，A∩B=A，( UA)∩( UB)= UB，A∩( UB)= .
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9.已知集合A={(x，y)|y=|x|}，B=，则集合A∩B的真子集的个数为(　　)
A.3 B.7
C.15 D.31
快审准解：法一联立方程求解方程组的解，根据解的个数可得A∩B的真子集个数.法二数形结合求解交点个数，进而得交集中的元素个数，由真子集个数公式即可求解.
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解析：法一　联立解得或
∵A={(x，y)|y=|x|}，B=，
∴A∩B=，
故集合A∩B的真子集的个数为22-1=3.
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法二　在同一直角坐标系中画出函数y=|x|以及+y2=1的图象，如图所示.由图象可知两图形有2个交点，所以A∩B的元素个数为2，进而其真子集的个数为22-1=3.
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10.已知集合A={x||x-1|>2}，B={x|x2+px+q≤0}，若A∪B=R，且A∩B=[-2，-1)，则p，q的值分别为 (　　)
A.-1，-6 B.1，-6
C.3，2 D.-3，2
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解析：由|x-1|>2可得x-1>2或x-1<-2，解得x>3或x<-1，
所以A=(-∞，-1)∪(3，+∞).又因为A∪B=R，A∩B=[-2，-1)，所以B=[-2，3]，
所以-2，3是方程x2+px+q=0的两个根，由根与系数的关系可得解得p=-1，q=-6.
13
二、多选题
11.设集合M={x|x=6k+1，k∈Z}，N={x|x=6k+4，k∈Z}，P={x|x=3k-2，k∈Z}，则下列说法正确的是(　　)
A.M=N P B.(M∪N) P
C.M∩N= D. PM=N
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解析：因为M={x|x=6k+1，k∈Z}={x|x=3(2k+1)-2，k∈Z}，N={x|x=6k+4，k∈Z}={x|x=3(2k+2)-2，k∈Z}，当k∈Z时，2k+1为奇数，2k+2为偶数，则M≠N，M∪N=P，M∩N= ， PM=N.
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12.(2025·南通模拟)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式不一定成立的是 (　　)
A.B A B.C A
C.A∩( UB)=A∩( UC) D.( UA)∩B=( UA)∩C
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√
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解析：当U={1，2，3}，A={1}，B={2，3}，C={1，2，3}时，满足A∪B=A∪C，
此时，B，C不是A的子集，所以A、B不一定成立；由上得 UB=
{1}， UC= ，A∩( UB)={1}，A∩( UC)= ，所以C不一定成立；若 x∈( UA)∩B，则x A，x∈B，因为A∪B=A∪C，所以x∈C，于是x∈( UA)∩C，所以( UA)∩B ( UA)∩C，同理若 x∈( UA)∩C，则x∈( UA)∩B， UA∩C ( UA)∩B，因此( UA)∩B=( UA)∩C成立，所以D成立.
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三、填空题
13.已知集合A={3，5}，B=，C={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则集合C中所有元素之和为____.
解析：由题意，得C=，则集合C中所有元素之和为+++=5.
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14.设集合U={x∈N|x≤7}，S={0，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩( UT)=___________.
解析：因为U={x∈N|x≤7}={0，1，2，3，4，5，6，7}， UT
={0，1，2，4，6}，所以S∩( UT)={0，2，4}.
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{0，2，4}
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15.(2025·济宁一模)设集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|-a≤x≤a}，若A B，则实数a的取值范围是___________.
解析：由集合A={x|x2-x-6<0}={x|(x-3)·(x+2)<0}={x|-2可得即解得a∈[3，+∞).
13
[3，+∞)课时跟踪检测(一)　集　合
一、单选题
1.(2024·衡阳三模)已知集合A={1,5},B={1,a+3},若A=B,则实数a的值为 (　　)
A.-1 B.0
C.-2 D.2
2.(2024·全国甲卷)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　)
A.{1,3,4} B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9}
3.(2025·嘉兴模拟)已知集合U={x|1A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
4.(2025·广州一模)设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B A,则a= (　　)
A.2 B.1
C.-2 D.-1
5.(2024·安庆二模)若集合P={x|-2≤xA.8 B.7
C.6 D.4
6.已知集合A={x||2-x|<1},B={x|aA.0 B.1
C.2 D.3
7.已知集合A={x|x>4},B={x|x<2m},且 RB A,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
8.已知全集U,若集合A和集合B都是U的非空子集,且满足A∪B=B,则下列集合表示空集的是 (　　)
A.( UA)∩B B.A∩B
C.( UA)∩( UB) D.A∩( UB)
9.已知集合A={(x,y)|y=|x|},B=,则集合A∩B的真子集的个数为 (　　)
A.3 B.7
C.15 D.31
10.已知集合A={x||x-1|>2},B={x|x2+px+q≤0},若A∪B=R,且A∩B=[-2,-1),则p,q的值分别为 (　　)
A.-1,-6 B.1,-6
C.3,2 D.-3,2
二、多选题
11.设集合M={x|x=6k+1,k∈Z},N={x|x=6k+4,k∈Z},P={x|x=3k-2,k∈Z},则下列说法正确的是 (　　)
A.M=NP B.(M∪N) P
C.M∩N= D. PM=N
12.(2025·南通模拟)设U为全集,集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C,那么下列各式不一定成立的是 (　　)
A.B A B.C A
C.A∩( UB)=A∩( UC) D.( UA)∩B=( UA)∩C
三、填空题
13.已知集合A={3,5},B=,C={x|x=ab,a∈A,b∈B},则集合C中所有元素之和为　　　　.
14.设集合U={x∈N|x≤7},S={0,2,4,5},T={3,5,7},则S∩( UT)=　　　.
15.(2025·济宁一模)设集合A={x|x2-x-6<0},B={x|-a≤x≤a},若A B,则实数a的取值范围是　　　.
课时跟踪检测(一)
1.选D　由题意,得a+3=5,a=2,故选D.
2.选C　因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A}={0,1,2,3,4,8},所以A∩B={1,2,3,4}.故选C.
3.选A　因为U={x|14.选A　由A={1,3,a2},得a2≠1,
即a≠±1,此时a+2≠1,a+2≠3,
由B A,得a2=a+2,而a≠-1,所以a=2.
5.选C　根据题意,当m=时,集合P=={-2,-1,0},集合P中有3个元素,所以集合P的非空真子集的个数为23-2=6.
6.选C　因为A=(1,3),A∪B=(1,5),
又B=(a,a+3),所以a+3=5,即a=2.
7.选A　因为B={x|x<2m},所以 RB={x|x≥2m},
又A={x|x>4},且 RB A,所以2m>4,得m>2.
8.选D　由Venn图表示集合U,A,B如图所示,
由图可得( UA)∩B= BA,A∩B=A,( UA)∩( UB)= UB,A∩( UB)= .
9.快审准解:法一联立方程求解方程组的解,根据解的个数可得A∩B的真子集个数.法二数形结合求解交点个数,进而得交集中的元素个数,由真子集个数公式即可求解.
选A　法一　联立解得或
∵A={(x,y)|y=|x|},B=,
∴A∩B=,
故集合A∩B的真子集的个数为22-1=3.
法二　在同一直角坐标系中画出函数y=|x|以及+y2=1的图象,如图所示.
由图象可知两图形有2个交点,所以A∩B的元素个数为2,进而其真子集的个数为22-1=3.
10.选A　由|x-1|>2可得x-1>2或x-1<-2,解得x>3或x<-1,
所以A=(-∞,-1)∪(3,+∞).又因为A∪B=R,A∩B=[-2,-1),
所以B=[-2,3],所以-2,3是方程x2+px+q=0的两个根,由根与系数的关系可得解得p=-1,q=-6.
11.选CD　因为M={x|x=6k+1,k∈Z}={x|x=3(2k+1)-2,k∈Z},N={x|x=6k+4,k∈Z}={x|x=3(2k+2)-2,k∈Z},当k∈Z时,2k+1为奇数,2k+2为偶数,则M≠N,M∪N=P,M∩N= , PM=N.
12.选ABC　当U={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}时,满足A∪B=A∪C,
此时,B,C不是A的子集,所以A、B不一定成立;由上得 UB={1}, UC= ,A∩( UB)={1},A∩( UC)= ,所以C不一定成立;若 x∈( UA)∩B,则x A,x∈B,因为A∪B=A∪C,所以x∈C,于是x∈( UA)∩C,所以( UA)∩B ( UA)∩C,同理若 x∈( UA)∩C,则x∈( UA)∩B, UA∩C ( UA)∩B,因此( UA)∩B=( UA)∩C成立,所以D成立.
13.解析:由题意,得C=,则集合C中所有元素之和为+++=5.
答案:5
14.解析:因为U={x∈N|x≤7}={0,1,2,3,4,5,6,7}, UT={0,1,2,4,6},所以S∩( UT)={0,2,4}.
答案:{0,2,4}
15.解析:由集合A={x|x2-x-6<0}={x|(x-3)(x+2)<0}={x|-2答案:[3,+∞)

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