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第二节 常用逻辑用
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义,能正确地对两种命题进行否定.
教材再回首
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果　　　,则p是q的充分条件;
(2)如果　　　,则p是q的必要条件;
(3)如果既有p q,又有q p,记作　　　　　,则p是q的充要条件.
2.充分、必要条件与对应集合间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
(1)若A B,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件.
(2)若A?B,则p是q的　　　　　　条件,q是p的　　　　　　条件.
(3)若A=B,则p是q的　　　　　.
3.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 　　
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 　　
4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 x∈M,p(x) x∈M,p(x)
否定 x∈M, p(x) x∈M, p(x)
5.常见词语的否定词语
原词 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多 有一个 至多 有n个 至少 有一个
否定 不等 于 (≠) 不大 于 (≤) 不小 于 (≥) 不是 不 都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件. (　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. (　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　)
(4)命题“ x∈R,sin2+cos2=”是真命题. (　　)
2.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.
4.(人B必修①P38T5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为　　　　.
题点一　充分、必要条件的判断
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(m-2,m+1),b=(3,m-7),则“m=1”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
|思维建模|
1.充分、必要条件的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”与“若q,则p”的真假,例如p q为真,则p是q的充分条件;
(2)集合法:若A B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;若A、B没有任何包含关系,则A是B的既不充分也不必要条件.
2.判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么;
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断;
(3)直接判断比较困难时,可举反例进行判断.
[即时训练]
1.(2024·梅州二模)常言道:“不经历风雨,怎么见彩虹”.就此话而言,“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.“|x-3|≠1”是“x≠2”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题点二　充分、必要条件的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知集合P={x|-1≤x≤5},S={x|2-m≤x≤3+2m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件
[变式拓展]　本例条件不变,是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件
|易错提醒|
　　解决充分、必要条件求参数时,易混淆A是B的充分不必要条件(A B且B / A),与A的充分不必要条件是B(B A且A / B).
|思维建模|
由充分、必要条件求参数范围的策略
(1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形.
(2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍.
[即时训练]
3.若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b=　　　　;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是　　　　.
题点三　全称量词与存在量词
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
考法(一)　含量词命题的否定
[例3]　(2024·青岛三模)已知命题p: x∈,sin xA. x ,sin x>x B. x∈,sin x>x
C. x ,sin x≥x D. x∈,sin x≥x
|思维建模|　
含量词命题否定的步骤
(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.
考法(二)　含量词命题的真假判断
[例4]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x,则 (　　)
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
|思维建模|　
判断含量词命题真假的方法
(1)要判断全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
(2)要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可;
(3)命题p和 p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题否定的真假.
考法(三)　由含量词命题的真假求参数
[例5]　若命题“ x<2,2xA.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
|思维建模|　
由含量词命题的真假求参数的思路
与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.
[即时训练]
4.(2025·梅州一模)命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 (　　)
A. x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B. x (0,+∞),ln x=x-1
C. x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D. x (0,+∞),ln x=x-1
5.下列命题为真命题的是 (　　)
A.任意两个等腰三角形都相似 B.所有的梯形都是等腰梯形
C. x∈R,x+|x|≥0 D. x∈R,x2-x+1=0
6.若命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
　
第二节　常用逻辑用语
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)p q　(2)q p　(3)p q　2.(1)充分　必要　
(2)充分不必要　必要不充分　(3)充要条件　3. 　
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.选B　由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形,但反之不成立.
3.任意一个偶数都不是素数
4.解析:因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A?B,所以a<3.
答案:(-∞,3)
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)A
(1)由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,故选C.
(2)由a∥b可得3(m+1)=(m-2)(m-7),
解得m=1或m=11,
故“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
[即时训练]
1.选B　由题意,经历风雨不一定会见彩虹,但见彩虹一定会经历风雨,所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.
2.快审准解:化简条件,根据充分条件和必要条件的定义判断“|x-3|≠1”与“x≠2”的关系.
选A　由|x-3|≠1,得x-3≠±1,即x≠4且x≠2.所以|x-3|≠1能推出x≠2成立,但x≠2不能推出|x-3|≠1成立.所以“|x-3|≠1”是“x≠2”的充分不必要条件.故选A.
题点二
[例2]　解:若“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,则S?P.当S= 时,
(注意:对S是否为空集进行讨论)
2-m>3+2m,得m<-;当S≠ 时,需满足2-m≤3+2m,且等号不同时成立,解得-≤m≤1.综上所述,存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,且m的取值范围为(-∞,1].
[变式拓展]
解:若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,则P?S,所以等号不同时成立,解得m≥3.故存在实数m∈[3,+∞),使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件.
[即时训练]
3.解析:(1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且有b>0,解得b=.
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立,则b>对任意的x>2恒成立.当x>2时,∈,则b≥,因为A是B的充分不必要条件,所以b的取值范围是.
答案:(1)　(2)
题点三
[例3]　选D　命题p: x∈,sin x[例4]　选B　法一　对于p,由|x+1|>1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2,显然 x∈R,|x+1|>1不恒成立,所以命题p为假命题, p为真命题.
对于q,由x3=x,解得x=0或x=1或x=-1,所以 x>0使得x3=x,所以q是真命题.
法二　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题.综上, p和q都是真命题.
[例5]　选C　函数y=2x在R上单调递增,
(指数函数y=ax(a>1)在R上单调递增)
当x<2时,2x<22=4,由“ x<2,2x[即时训练]
4.选C　因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“ x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“ x∈(0,+∞),ln x≠x-1”.
5.选C　任意两个等腰三角形不一定相似,故A错误;所有的梯形都是等腰梯形是假命题,故B错误;因为 x∈R,|x|≥-x,所以x+|x|≥0,故C正确; x∈R,x2-x+1=+≥>0,故D错误.
6.解析:命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,等价于“方程x2+x-a=0无实根”,则Δ=1+4a<0,解得a<-,即实数a的取值范围为.
答案:(共58张PPT)
第二节
常用逻辑用语
明确目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法 .
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系 .
3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确地对两种命题进行否定.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果______，则p是q的充分条件；
(2)如果______，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p q，又有q p，记作______，则p是q的充要条件.
p q
q p
p q
2.充分、必要条件与对应集合间的关系
设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，
(1)若A B，则p是q的_______条件，q是p的_____条件.
(2)若A B，则p是q的___________条件，q是p的___________条件.
(3)若A=B，则p是q的__________.
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要条件
3.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ___
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ___


4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
5.常见词语的否定词语
原词 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个
否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也
没有
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2+cos2=”是真命题.(　　)
√
√
√
×
2.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形，但反之不成立.
3.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________________________.
√
任意一个偶数都不是素数
4.(人B必修①P38T5改编)已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为___________.
解析：因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A B，所以a<3.
(-∞，3)
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C.
√
题点一　充分、必要条件的判断
(2)已知向量a=(m-2，m+1)，b=(3，m-7)，则“m=1”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由a∥b可得3(m+1)=(m-2)(m-7)，解得m=1或m=11，
故“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
√
1.充分、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，例如p q为真，则p是q的充分条件；
(2)集合法：若A B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；若A、B没有任何包含关系，则A是B的既不充分也不必要条件.
思维建模
2.判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举反例进行判断.
1.(2024·梅州二模)常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定会经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.
即时训练
√
2.“|x-3|≠1”是“x≠2”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
快审准解：化简条件，根据充分条件和必要条件的定义判断“|x-3|≠1”与“x≠2”的关系.
解析：由|x-3|≠1，得x-3≠±1，即x≠4且x≠2.所以|x-3|≠1能推出x≠2成立，但x≠2不能推出|x-3|≠1成立.所以“|x-3|≠1”是“x≠2”的充分不必要条件.故选A.
√
[例2]　已知集合P={x|-1≤x≤5}，S={x|2-m≤x≤3+2m}，是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件
解：若“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P.当S= 时，
(注意：对S是否为空集进行讨论)
2-m>3+2m，得m<-；当S≠ 时，需满足2-m≤3+2m，且等号不同时成立，解得-≤m≤1.综上所述，存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，且m的取值范围为(-∞，1].
题点二　充分、必要条件的应用
[变式拓展]　本例条件不变，是否存在实数m，使得“x∈P ”是“x∈S”的充分不必要条件
解：若“x∈P ”是“x∈S ”的充分不必要条件，则P S，所以等号不同时成立，解得m≥3.故存在实数m∈[3，+∞)，使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件.
解决充分、必要条件求参数时，易混淆A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且A B).
易错提醒
由充分、必要条件求参数范围的策略
思维建模
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
3.若集合A={x|x>2}，B={x|bx>1}，其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件，则b=_____；
解析：由已知可得A=B，则x=2是方程bx=1的解，且有b>0，解得b=.
即时训练
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________.
解析：若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，
则b>对任意的x>2恒成立.
当x>2时，∈，则b≥，因为A是B的充分不必要条件，
所以b的取值范围是.
考法(一)　含量词命题的否定
[例3]　(2024·青岛三模)已知命题p： x∈，sin xA. x ，sin x>x B. x∈，sin x>x
C. x ，sin x≥x D. x∈，sin x≥x
解析：命题p： x∈，sin x√
题点三　全称量词与存在量词
含量词命题否定的步骤
思维建模
改写 量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写
否定 结论 对原命题的结论进行否定
考法(二)　含量词命题的真假判断
[例4]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
√
解析：法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然 x∈R，|x+1|>1不恒成立，所以命题p为假命题， p为真命题.
对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以 x>0使得x3=x，所以q是真命题.
法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题， p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题， q是假命题.综上， p和q都是真命题.
判断含量词命题真假的方法
(1)要判断全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可；
(3)命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题否定的真假.
思维建模
考法(三)　由含量词命题的真假求参数
[例5]　若命题“ x<2，2xA.(-∞，4] B.(-∞，4)
C.[4，+∞) D.(4，+∞)
解析：函数y=2x在R上单调递增，
(指数函数y=ax(a>1)在R上单调递增)
当x<2时，2x<22=4，由“ x<2，2x√
由含量词命题的真假求参数的思路
与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.
思维建模
4.(2025·梅州一模)命题“ x∈(0，+∞)，ln x=x-1”的否定是 (　　)
A. x∈(0，+∞)，ln x≠x-1
B. x (0，+∞)，ln x=x-1
C. x∈(0，+∞)，ln x≠x-1
D. x (0，+∞)，ln x=x-1
解析：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“ x∈(0，+∞)，ln x=x-1”的否定是“ x∈(0，+∞)，ln x≠x-1”.
即时训练
√
5.下列命题为真命题的是 (　　)
A.任意两个等腰三角形都相似
B.所有的梯形都是等腰梯形
C. x∈R，x+|x|≥0
D. x∈R，x2-x+1=0
解析：任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；因为 x∈R，|x|≥-x，所以x+|x|≥0，故C正确； x∈R，x2-x+1=2+≥>0，故D错误.
√
6.若命题“ x∈R，x2+x-a=0”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
解析：命题“ x∈R，x2+x-a=0”为假命题，等价于“方程x2+x-a=0无实根”，则Δ=1+4a<0，解得a<-，即实数a的取值范围为.
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.命题“ a>0，a2+1<2”的否定为(　　)
A. a>0，a2+1≥2 B. a≤0，a2+1≥2
C. a>0，a2+1≥2 D. a≤0，a2+1≥2
快审准解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
解析： “ a>0，a2+1<2”的否定是“ a>0，a2+1≥2”.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.下列命题既是全称量词命题，又是真命题的是 (　　)
A.菱形的四条边都相等 　
B. x∈N，使2x为偶数
C. x∈R，x2+2x+1>0 　
D.π是无理数
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.对于C， x∈R，x2+2x+1>0，是全称量词命题，当x=-1时，x2+2x+1=0，故是假命题.对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.

1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
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3.(2025·天津模拟)已知a，b∈R，则“a=b=0”是“|a+b|=0”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
快审准解：根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
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解析：若a=b=0，则|a+b|=0，即充分性成立；若|a+b|=0，例如a=1，b=-1，满足条件，但a=b=0不成立，即必要性不成立.综上所述，“a=b=0”是“|a+b|=0”的充分不必要条件.
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4.已知命题“ x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，4) B.(-∞，4]
C.(4，+∞) D.[4，+∞)
解析： “ x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16-4a≥0，解得a≤4.
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5.(2024·日照二模)已知a，b∈R，则“a>b”是“a3>b3”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为函数y=x3在定义域R上单调递增，所以由a>b可推出a3>b3，故充分性成立；由a3>b3可推出a>b，故必要性成立.所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件.
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6.已知p：x-a>0，q：x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 (　　)
A.{a|a<1} B.{a|a≤1}
C.{a|a>1} D.{a|a≥1}
解析：p：x>a，因为p是q的充分不必要条件，所以a>1.
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7.“x+y=0”是“+=-2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
快审准解：根据充分条件与必要条件，结合反例，可得答案.
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解析：因为x+y=0，当x=0，y=0时，方程+=-2不成立，所以“x+y=0”不是“+=-2”的充分条件；由+=-2，整理可得y2+x2=
-2xy，即(x+y)2=0，则x+y=0，所以“x+y=0”是“+=-2”的必要条件.故选B.
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8.若“ x∈，sin xA. B.-
C. D.-
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解析：因为“ x∈，sin x恒成立，所以m≤(sin x)min.因为y=sin x在上单调递增，所以当x=-时，y=sin x最小，其最小值为y=sin=
-sin=-，所以m≤-，所以实数m的最大值为-.
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二、多选题
9.使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.0C.x<2 D.0解析：由≥1得≥0，解不等式得0√
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把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面：
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的…”，还是“p的…是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断.
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习得方略
10.下列命题为真命题的是 (　　)
A. x∈R，sin x= B. x∈R，ln x=-1
C. x∈R，x2>0 D. x∈R，3x>0
解析：当x=时，sin x=，故A正确；当x=时，ln x=ln =-1，故B正确；当x=0时，x2=0，故C错误；y=3x的值域为(0，+∞)，故D正确.
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11.下列命题正确的是 (　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1”
C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件
D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
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解析：由<1，即-1<0，得<0，即>0，解得a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误；因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2+y2≥8.当x2+y2≥8时，取x=0，y=3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件，故C错误；当a≠0，b=0时，ab=0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.
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三、填空题
12.已知命题p： x≠y，x2≠y2，则p的否定是_________________，命题p是___ (填“真”或“假”)命题.
快审准解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，求解判断.
解析：命题p的否定是 x≠y，x2=y2.当x=-y，且不为0时，有x2=y2，所以命题p是假命题.
　
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x≠y，x2=y2
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13.已知命题“ x∈{x|-2解析：若原命题为真命题，则 x∈{x|-2[6，+∞).
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14.已知命题p：2快审准解：将问题转化为p是q的充分不必要条件，即p所表示的集合是命题q所表示集合的真子集，可列不等式求解.
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[4，6]
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解析：由|2x-a|<2，得即{x|213
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15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“ x∈[a，b]，f(x)+f(-x)
≠0”是假命题，则f(a+b)=____.
解析：“ x∈[a，b]，f(x)+f(-x)≠0”的否定是“ x∈[a，b]，f(x)+f(-x)=0”，依题意得，命题“ x∈[a，b]，f(x)+f(-x)=0”为真命题，故函数y=f(x)，x∈[a，b]为奇函数，所以a+b=0，所以f(a+b)=f(0)=0.
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0课时跟踪检测(二)　常用逻辑用语
一、单选题
1.命题“ a>0,a2+1<2”的否定为 (　　)
A. a>0,a2+1≥2 B. a≤0,a2+1≥2
C. a>0,a2+1≥2 D. a≤0,a2+1≥2
2.下列命题既是全称量词命题,又是真命题的是 (　　)
A.菱形的四条边都相等 B. x∈N,使2x为偶数
C. x∈R,x2+2x+1>0 D.π是无理数
3.(2025·天津模拟)已知a,b∈R,则“a=b=0”是“|a+b|=0”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知命题“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.(4,+∞) D.[4,+∞)
5.(2024·日照二模)已知a,b∈R,则“a>b”是“a3>b3”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知p:x-a>0,q:x>1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 (　　)
A.{a|a<1} B.{a|a≤1}
C.{a|a>1} D.{a|a≥1}
7.“x+y=0”是“+=-2”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若“ x∈,sin xA. B.-
C. D.-
二、多选题
9.使≥1成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.0C.x<2 D.010.下列命题为真命题的是 (　　)
A. x∈R,sin x= B. x∈R,ln x=-1
C. x∈R,x2>0 D. x∈R,3x>0
11.下列命题正确的是 (　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“对任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x≥1,使得x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
三、填空题
12.已知命题p: x≠y,x2≠y2,则p的否定是　　　　　　　　　　　　,命题p是　　　　(填“真”或“假”)命题.
13.已知命题“ x∈{x|-214.已知命题p:215.已知函数f(x)的定义域为[a,b],若“ x∈[a,b],f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=　　　　.
课时跟踪检测(二)
1.快审准解:根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
选C　“ a>0,a2+1<2”的否定是“ a>0,a2+1≥2”.故选C.
2.选A　对于A,所有菱形的四条边都相等,是全称量词命题,且是真命题.对于B, x∈N,使2x为偶数,是存在量词命题.对于C, x∈R,x2+2x+1>0,是全称量词命题,当x=-1时,x2+2x+1=0,故是假命题.对于D,π是无理数,是真命题,但不是全称量词命题.
3.快审准解:根据题意可直接判断充分性,举例说明必要性不成立即可.
选A　若a=b=0,则|a+b|=0,即充分性成立;若|a+b|=0,例如a=1,b=-1,满足条件,但a=b=0不成立,即必要性不成立.综上所述,“a=b=0”是“|a+b|=0”的充分不必要条件.
4.选B　“ x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4.
5.选C　因为函数y=x3在定义域R上单调递增,所以由a>b可推出a3>b3,故充分性成立;由a3>b3可推出a>b,故必要性成立.所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件.
6.选C　p:x>a,因为p是q的充分不必要条件,所以a>1.
7.快审准解:根据充分条件与必要条件,结合反例,可得答案.
选B　因为x+y=0,当x=0,y=0时,方程+=-2不成立,
所以“x+y=0”不是“+=-2”的充分条件;
由+=-2,整理可得y2+x2=-2xy,即(x+y)2=0,则x+y=0,所以“x+y=0”是“+=-2”的必要条件.故选B.
8.选D　因为“ x∈,sin x9.选AB　由≥1得≥0,解不等式得0习得方略:把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面:
(1)准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;
(2)注意问题的形式,看清“p是q的…”,还是“p的…是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行,即转化为两个命题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.
10.选ABD　当x=时,sin x=,故A正确;当x=时,ln x=ln=-1,故B正确;当x=0时,x2=0,故C错误;y=3x的值域为(0,+∞),故D正确.
11.选AD　由<1,即-1<0,得<0,即>0,解得a<0或a>1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;命题“对任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”,故B错误;因为x≥2且y≥2,所以x2≥4,y2≥4,由不等式的性质得x2+y2≥8.当x2+y2≥8时,取x=0,y=3,不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件,故C错误;当a≠0,b=0时,ab=0,由ab≠0可得a≠0且b≠0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.
12.快审准解:根据全称量词命题的否定为存在量词命题,求解判断.
解析:命题p的否定是 x≠y,x2=y2.
当x=-y,且不为0时,有x2=y2,所以命题p是假命题.
答案: x≠y,x2=y2　假
13.解析:若原命题为真命题,则 x∈{x|-2答案:(-∞,-4]∪[6,+∞)
14.快审准解:将问题转化为p是q的充分不必要条件,即p所表示的集合是命题q所表示集合的真子集,可列不等式求解.
解析:由|2x-a|<2,得由于命题 q是命题 p的充分不必要条件,故命题p是命题q的充分不必要条件,
即{x|2所以(等号不同时成立),可得4≤a≤6,
即实数a的取值范围是[4,6].
答案:[4,6]
15.解析:“ x∈[a,b],f(x)+f(-x)≠0”的否定是“ x∈[a,b],f(x)+f(-x)=0”,依题意得,命题“ x∈[a,b],f(x)+f(-x)=0”为真命题,故函数y=f(x),x∈[a,b]为奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0.
答案:0

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