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第三节 不等式及其性质
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个数的大小.
2.理解不等式的概念与性质,并掌握不等式性质的简单应用.
教材再回首
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0)
a=b a-b=0 =1(b≠0)
a0)或>1(a,b<0)
2.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b 　　　;a传递性 a>b,b>c 　　　; a可加性 a>b a+c>b+c 可逆
可乘性 a>b,c>0 　　　　; a>b,c<0 　　 　　 c的 符号
同向 可加性 a>b,c>d 　　　　 同向
同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0 　　　 同向, 同正
可乘方性 a>b>0,n∈N* an>bn 同正
可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2 > 同正
解题结论拓展
1.倒数性质
(1)a>b,ab>0 <;
(2)a<0(3)a>b>0,0;
(4)02.分数性质
若a>b>0,m>0,则
(1)<;>(b-m>0);
(2)>;<(b-m>0).
典题细发掘
1.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 (　　)
A.a>b B.a=b
C.a2.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0,则下列结论正确的是 (　　)
A.-1<-aC.-a<-13.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题为真命题的是 (　　)
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a
4.(人A必修①P43T5改编)已知2A.(-2,1) B.(0,2)
C.(-4,-2) D.(0,1)
题点一　比较数(式)的大小
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　
(1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　)
A.pC.p>q D.p≥q
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　　　　　(用“<”连接).
|思维建模|
(1)作差法的步骤和关注点
①步骤:作差并变形 判断差与0的大小 得结论.
②关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形.
(2)作商法的步骤和关注点
①步骤:作商并变形 判断商与1的大小 得结论.
②关注点:作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化,指、对数恒等变形等.
[即时训练]
1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 (　　)
A.mn
C.m≥n D.m≤n
2.若P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为　　　　.
拓展与建模:糖水不等式
(1)教材母题:(人A必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设a>b>0,m>0,则有<.
②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>.
(2)对数型糖水不等式
①设n∈N*,且n>1,则有logn+1n②设a>b>1,m>0,则有logab③上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m).
[示例]　比较大小:log74　　　　log96.
解题观摩:
法一　log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9法二:普通型糖水不等式
log74=<=<=log96.
法三:对数型糖水不等式
由对数型糖水不等式直接可得log74题点二　不等式的基本性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(多选)已知c<0A.ac+bC.< D.>
|思维建模|　
判断命题真假的2种方法
(1)直接法:直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件.
(2)特殊值法:注意取值要遵循三个原则:①满足题设条件;②取值要简单,便于验证计算;③所取的值要有代表性.
[即时训练]
3.[多选]下列不等式中,结论正确的是 (　　)
A.若a>b,>,则ab<0 B.若<<0,则aC.若a>b,a2>b2,则a>b>0 D.若a>b>0,c>0,则a-c>b-c
题点三　利用不等式的性质求范围
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(人A必修①P43T5改编)已知0A.(2,3) B.(-2,3)
C.(2,7) D.(-2,7)
[变式拓展]　将本例条件改为“-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”,求x-2y的取值范围.
|思维建模|
利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点
(1)同向不等式具有可加性与正值可乘性,但是不能相减或相除.应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.
(2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解.
[即时训练]
4.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是 (　　)
A.[-24,192] B.[-24,252]
C.[36,252] D.[36,192]
5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.
　第三节　不等式及其性质
课前·“四基”落实
[教材再回首]
2.ba　a>c　abc　acb+d　ac>bd
[典题细发掘]
1.选A　因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0,所以(+)2>(2+2)2,所以+>2+2,即a>b.
2.选B　因为a-1>0,所以a>1,由不等式基本性质可得-a<-1,故-a<-1<13.ABD
4.选A　因为-2课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)eπ·πe(1)法一:特殊值排除法　令a=b=-1,则p=q=-2,排除A、C;令a=-1,b=-2,则p(注意:当两个式子比较大小时,可直接赋值求解)
法二:作差法　p-q=+-a-b=+=(b2-a2)==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p(2)因为==,又0<<1,0<π-e<1,所以<1,即<1,故eπ·πe[即时训练]
1.选D　由题设得n-m=2(x+1)2-4(x+1)+1-(x2-1)=2x2+4x+2-4x-4+1-x2+1=x2≥0,所以n≥m.故选D.
2.解析:因为P=a2+a+1=+>0,a2-a+1=+>0,则Q>0.因为=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1,所以P≥Q.
答案:P≥Q
题点二
[例2]　选ABD　因为c<0,故C错误;
(易错提醒:因为b+c可正可负,所以不容易化简解决,一般当乘以或除以一个不知正负的数时,我们只需要找到反例即可)
因为c<0>0 < >,故D正确.
[即时训练]
3.选AD　显然a,b均不为0,若a>b>0,则<,不满足要求;若a>0>b,则>,满足要求,所以ab<0;若0>a>b,则<,不满足要求,故ab<0,A正确;
(易错提醒:本选项易忽视对a,b大小的讨论)
因为<<0,所以a<0,b<0,ab>0,<两边同时乘以ab,得bb2,a>b,但是a>0>b,C错误;由不等式性质知,若a>b>0,c>0,则a-c>b-c,D正确.
巧用结论:(1)同向不等式的两边可以相加,不能相减;
(2)一个不等式的两边同时乘以同一个正数,不等号方向不变;同时乘以同一个负数,不等号方向改变.
题点三
[例3]　选D　因为-1[变式拓展]
解:设x-2y=m(x+y)+n(x-y),
则x-2y=(m+n)x+(m-n)y,
∴解得∴x-2y=-(x+y)+(x-y).∵-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,∴-1≤-(x+y)≤,-3≤(x-y)≤,∴-4≤-(x+y)+(x-y)≤2,即-4≤x-2y≤2,即x-2y的取值范围为[-4,2].
[即时训练]
4.选D　设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
所以解得所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).
又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192],故选D.
5.解析:∵0<β<,∴-<-β<0,又0<α<,
∴-<α-β<.又β<α,∴α-β>0,故0<α-β<.
答案:(共58张PPT)
第三节
不等式及其性质
明确目标
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个数的大小.
2.理解不等式的概念与性质，并掌握不等式性质的简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法 作差法 作商法
a>b a-b>0
a=b a-b=0
a2.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b _______；a传递性 a>b，b>c ______；a可加性 a>b a+c>b+c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ________；a>b，c<0 _______ c的符号
同向可加性 a>b，c>d _____________ 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 __________ 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn 同正
可开方性 同正
bb>a
a>c
aac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
解题结论拓展
1.倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a<0(3)a>b>0，0；
(4)02.分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<>(b-m>0)；
(2)><(b-m>0).
典题细发掘
1.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+，b=2+2，则a，b的大小关系是(　　)
A.a>b B.a=b
C.a解析：因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0，所以(+)2>(2+2)2，所以+>2+2，即a>b.
√
2.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0，则下列结论正确的是 (　　)
A.-1<-aC.-a<-1解析：因为a-1>0，所以a>1，由不等式基本性质可得-a<-1，故-a<
-1<1√
3.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题为真命题的是 (　　)
A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2
C.若a
√
√
√
4.(人A必修①P43T5改编)已知2A.(-2，1) B.(0，2)
C.(-4，-2) D.(0，1)
解析：因为-2√
课堂·题点精研
02
[例1]　(1)若a<0，b<0，则p=+与q=a+b的大小关系为(　　)
A.pC.p>q D.p≥q
解析：法一：特殊值排除法　令a=b=-1，则p=q=-2，排除A、C；令a=-1，b=-2，则p(注意：当两个式子比较大小时，可直接赋值求解)
√
题点一　比较数(式)的大小
法二：作差法　p-q=+-a-b=+=
(b2-a2)==.
因为a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0.若a=b，则p-q=0，故p=q；若a≠b，则p-q<0，故p(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_____________(用“<”连接) .
解析：因为==π-e，又0<<1，0<π-e<1，所以π-e
<1，即<1，故eπ·πeeπ·πe(1)作差法的步骤和关注点
①步骤：作差并变形 判断差与0的大小 得结论.
②关注点：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形.
(2)作商法的步骤和关注点
①步骤：作商并变形 判断商与1的大小 得结论.
②关注点：作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等.
思维建模
1.若m=x2-1，n=2(x+1)2-4(x+1)+1，则m与n的大小关系是 (　　)
A.mn
C.m≥n D.m≤n
解析：由题设得n-m=2(x+1)2-4(x+1)+1-(x2-1)=2x2+4x+2-4x-4+1-x2+1=x2≥0，所以n≥m.故选D.
即时训练
√
2.若P=a2+a+1，Q=(a∈R)，则P，Q的大小关系为_______.
解析：因为P=a2+a+1=+>0，a2-a+1=+>0，则Q>0.因为=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1，所以P≥Q.
P≥Q
拓展与建模
糖水不等式
(1)教材母题：(人A必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式：
①设a>b>0，m>0，则有<.
②糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有>.
(2)对数型糖水不等式
①设n∈N*，且n>1，则有logn+1n②设a>b>1，m>0，则有logab③上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb+m(a+m).
[示例]　比较大小：log74___log96.
解题观摩：
法一　log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9法二：普通型糖水不等式
log74=<=<=log96.
法三：对数型糖水不等式
由对数型糖水不等式直接可得log74[例2]　(多选)已知c<0A.ac+bC.< D.>
√
题点二　不等式的基本性质
√
√
解析：因为c<0，故C错误；
(易错提醒：因为b+c可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘以或除以一个不知正负的数时，我们只需要找到反例即可)
因为c<0>0 < >，故D正确.
判断命题真假的2 种方法
(1)直接法：直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意前提条件.
(2)特殊值法：注意取值要遵循三个原则：
①满足题设条件；
②取值要简单，便于验证计算；
③所取的值要有代表性.
思维建模
3.[多选]下列不等式中，结论正确的是 (　　)
A.若a>b，>，则ab<0
B.若<<0，则aC.若a>b，a2>b2，则a>b>0
D.若a>b>0，c>0，则a-c>b-c
即时训练
√
√
解析：显然a，b均不为0，若a>b>0，则<，不满足要求；若a>0>b，则>，满足要求，所以ab<0；若0>a>b，则<，不满足要求，故ab<0，A正确；
(易错提醒：本选项易忽视对a，b大小的讨论)
因为<<0，所以a<0，b<0，ab>0，<两边同时乘以ab，得bb2，a>b，但是a>0>b，C错误；由不等式性质知，若a>b>0，c>0，则a-c>b-c，D正确.
(1)同向不等式的两边可以相加，不能相减；
(2)一个不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变；同时乘以同一个负数，不等号方向改变.
巧用结论
[例3]　(人A必修①P43T5改编)已知0A.(2，3) B.(-2，3)
C.(2，7) D.(-2，7)
解析：因为-1√
题点三　利用不等式的性质求范围
[变式拓展]　将本例条件改为“-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1”，求x-2y的取值范围.
解：设x-2y=m(x+y)+n(x-y)，则x-2y=(m+n)x+(m-n)y，
∴解得
∴x-2y=-(x+y)+(x-y).∵-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，∴-1≤-(x+y)
≤，-3≤(x-y)≤，∴-4≤-(x+y)+(x-y)≤2，即-4≤x-2y≤2，
即-4≤x-2y≤2,即x-2y的取值范围为［-4，2］.
利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点
(1)同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除.应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
(2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解.
思维建模
4.已知a-b∈[5，27]，a+b∈[6，30]，则7a-5b的取值范围是 (　　)
A.[-24，192] B.[-24，252]
C.[36，252] D.[36，192]
即时训练
√
解析：设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b，所以解得
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).又a-b∈[5，27]，a+b∈[6，30]，所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36，192]，故选D.
5.已知0<β<α<，则α-β的取值范围是___________.
解析：∵0<β<，∴-<-β<0，
又0<α<，∴-<α-β<.
又β<α，∴α-β>0，故0<α-β<.
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知a>0，b>0，设m=a-2+2，n=2-b，则(　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m解析：由题意可知，m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0，当且仅当a=b=1时，等号成立，即m≥n.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.若a>b>c，且a+b+c=0，则b2-4ac是 (　　)
A.负数 B.零
C.正数 D.正负不确定
快审准解：根据题意得出a，c的正负，进而可得答案.
解析：因为a+b+c=0，且a>b>c，
所以a>0，c<0，b不确定，所以b2≥0，ac<0.
所以b2-4ac>0.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.若1<α<3，-2<β<4，则α-|β|的取值范围是 (　　)
A.(-3，1) B.(-3，3)
C.(0，3) D.(-3，5)
解析：∵-2<β<4，∴0≤|β|<4，-4<-|β|≤0，又1<α<3，
∴-3<α-|β|<3.
√
1
5
6
7
8
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10
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12
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15
2
3
4
13
4.(2024·济南二模)若aA.a2C.< D.<
解析：由于ab2，故A错误；
由于a，c关系不确定，所以a+b，故C错误；由于a|b|>0，<，故D正确.故选D.
√
1
5
6
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2
3
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13
5.(2024·驻马店二模)已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是 (　　)
A.a>b+c B.a2C.ac>b2 D.ab+bc>b2+ac
解析：当a=3，b=2，c=1时，a=b+c，且acb>0，a>c>0，所以a2>bc，故B错误；ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0，故D正确.
√
1
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2
3
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13
6.已知-3A.<< B.<<
C.1<<3 D.<<1
解析：因为-3√
1
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2
3
4
13
7.已知实数m，n，p满足m2+n+4=4m+p，且m+n2+1=0，则下列说法正确的是 (　　)
A.n≥p>m B.p≥n>m
C.n>p>m D.p>n>m
解析：因为m2+n+4=4m+p，移项得m2-4m+4=p-n，所以p-n=(m-2)2≥0，可得p≥n.由m+n2+1=0，得m=-n2-1，可得n-m=n-(-n2-1)=n2+
n+1=+>0，所以n>m.综上所述，不等式p≥n>m成立，故选B.
√
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3
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13
8.(2025·咸阳模拟)若ab>a2，且a，b∈(0，1)，则下列不等式一定正确的是 (　　)
A.< B.ab>b2
C.1+ab√
1
5
6
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14
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2
3
4
13
解析：因为a，b∈(0，1)且ab>a2，
可得ab-a2=a(b-a)>0，所以b-a>0.由-=<0，
得<，所以A正确；由ab-b2=b(a-b)<0，得ab0，所以1+ab>a+b，所以C不正确；由-=>0，得>，所以D不正确.
1
5
6
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2
3
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13
9.(2025·成都模拟)已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为 (　　)
A.> B.ln(a+1)>ln(b+1)
C.a3>b3>0 D.>
快审准解：利用不等式的性质，结合对数函数、幂函数的单调性、充分条件、必要条件的定义判断即得.
√
1
5
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2
3
4
13
解析：>，不能推出a>b>0，如>，反之a>b>0，则有<，即>是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误；由ln(a+1)>ln(b+1)，得a+1>b+1>0，即a>b>-1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>-1，因此“ln(a+1)>ln(b+1)”是“a>b>0”的必要不充分条件，B正确；a3>b3>0 a>b>0，“a3>b3>0”是“a>b>0”的充要条件，C错误；由>，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，因此“>”是“a>b>0”的充分不必要条件，D错误.
1
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二、多选题
10.已知a>b>0，c>0，则下列式子正确的是(　　)
A.c-b>c-a B.<
C.≥ D.<
1
5
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√
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√
√
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11
12
14
15
2
3
4
解析：由a>b>0，c>0，得-a<-b<0，所以c-ab>0，c>0，所以ac>bc>0，所以>>0，所以>>0，B正确.因为a>b>0，所以a+2≤a+(a+2b)=2(a+b)，当且仅当a=2b时取等号，所以≥=，C正确.因为-=
=>0，所以>，D错误.
13
11.若实数a，b满足1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，则下列结论正确的是 (　　)
A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3
C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14
1
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6
7
8
9
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14
15
2
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4
√
13
√
√
解析：由题意，1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，两式相加得0≤2a≤8，即0≤a≤4，故A正确；由-1≤a-b≤3，得-3≤b-a≤1，又1≤a+b≤5，所以两式相加得-2≤2b≤6，即-1≤b≤3，故B正确；设3a-2b=m(a+b)
+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则解得则3a-2b
=(a+b)+(a-b).
1
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2
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13
因为1≤a+b≤5，所以≤(a+b)≤，因为-1≤a-b≤3，所以-
≤(a-b)≤，所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10，即-2≤3a-2b≤10，故C正确，D错误.故选ABC.
1
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2
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4
13
易错提醒：对于C，常见的错误解法如下：由A知0≤a≤4，所以0≤3a≤12，由B知-1≤b≤3，所以-6≤-2b≤2，从而-6≤3a-2b
≤14.该方法求出来的范围比正确范围要大，原因是此方法忽略了a和b的关系，事实上a和b有相互制约的关系，两者不可能在各自的范围内随意取值，比如取a=4，b=-1，满足0≤a≤4，-1≤b≤3，但不满足条件-1≤a-b≤3，从而3a-2b取不到14.所以此类题型注意结合“整体代换”思想求解.
1
5
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14
15
2
3
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13
12.已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc=1，则下列说法正确的是 (　　)
A.(a+c)2> B.<
C.a2>b2 D.(a2b-1)(ab2-1)>0
1
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√
13
√
√
解析：根据abc=1可得=ac，故(a+c)2>，即(a+c)2>ac，即a2+ac
+c2>0.因为a2+ac+c2=+>0恒成立，所以(a+c)2>成立，故A正确；因为a>b>c，所以a-c>b-c>0，故<成立，故B正确；当a=，b=-1，c=-2时，满足a>b>c且abc=1，但a2>b2不成立，故C错误；因为abc=1，(a2b-1)·(ab2-1)==，a>b>c，所以>0，故D正确.
1
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3
4
13
三、填空题
13.已知a>0，-1解析：因为a>0，-1所以ab<0，01
5
6
7
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9
10
11
12
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2
3
4
13
ab1
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2
3
4
14.若a，b同时满足下列两个条件：
①a+b>ab；②>.
请写出一组a，b的值________________________.
13
a=-1，b=2(答案不唯一)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
解析：容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2；当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
13
1
5
6
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2
3
4
15.已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a+b+c=0，那么的取值范围是_________________.
解析：由于a>b>c，且a+b+c=0，所以a>0，c<0，b=-a-c，
则-a-c-c，>-2，-a-c>c，-a>2c，<-，所以-2<<-.
13课时跟踪检测(三)　不等式及其性质
一、单选题
1.已知a>0,b>0,设m=a-2+2,n=2-b,则 (　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m2.若a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac是 (　　)
A.负数 B.零
C.正数 D.正负不确定
3.若1<α<3,-2<β<4,则α-|β|的取值范围是 (　　)
A.(-3,1) B.(-3,3)
C.(0,3) D.(-3,5)
4.(2024·济南二模)若aA.a2C.< D.<
5.(2024·驻马店二模)已知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是 (　　)
A.a>b+c B.a2C.ac>b2 D.ab+bc>b2+ac
6.已知-3A.<< B.<<
C.1<<3 D.<<1
7.已知实数m,n,p满足m2+n+4=4m+p,且m+n2+1=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.n≥p>m B.p≥n>m
C.n>p>m D.p>n>m
8.(2025·咸阳模拟)若ab>a2,且a,b∈(0,1),则下列不等式一定正确的是 (　　)
A.< B.ab>b2 C.1+ab9.(2025·成都模拟)已知a,b为实数,则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为 (　　)
A.> B.ln(a+1)>ln(b+1)
C.a3>b3>0 D.>
二、多选题
10.已知a>b>0,c>0,则下列式子正确的是 (　　)
A.c-b>c-a B.<
C.≥ D.<
11.若实数a,b满足1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则下列结论正确的是 (　　)
A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3
C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14
12.已知实数a,b,c满足a>b>c,且abc=1,则下列说法正确的是 (　　)
A.(a+c)2> B.<
C.a2>b2 D.(a2b-1)(ab2-1)>0
三、填空题
13.已知a>0,-114.若a,b同时满足下列两个条件:
①a+b>ab;②>.请写出一组a,b的值　　　　.
15.已知实数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是　　　　.
课时跟踪检测(三)
1.选A　由题意可知,m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,即m≥n.
2.快审准解:根据题意得出a,c的正负,进而可得答案.
选C　因为a+b+c=0,且a>b>c,
所以a>0,c<0,b不确定,所以b2≥0,ac<0.
所以b2-4ac>0.故选C.
3.选B　∵-2<β<4,∴0≤|β|<4,-4<-|β|≤0,又1<α<3,∴-3<α-|β|<3.
4.选D　由于ab2,故A错误;
由于a,c关系不确定,所以a+b,故C错误;由于a所以|a|>|b|>0,<,故D正确.故选D.
5.选D　当a=3,b=2,c=1时,a=b+c,且acb>0,a>c>0,所以a2>bc,故B错误;ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D正确.
6.选C　因为-37.选B　因为m2+n+4=4m+p,移项得m2-4m+4=p-n,所以p-n=(m-2)2≥0,可得p≥n.由m+n2+1=0,得m=-n2-1,可得n-m=n-(-n2-1)=n2+n+1=+>0,所以n>m.综上所述,不等式p≥n>m成立,故选B.
8.选A　因为a,b∈(0,1)且ab>a2,
可得ab-a2=a(b-a)>0,所以b-a>0.
由-=<0,得<,所以A正确;由ab-b2=b(a-b)<0,得ab0,所以1+ab>a+b,所以C不正确;由-=>0,得>,所以D不正确.
9.快审准解:利用不等式的性质,结合对数函数、幂函数的单调性、充分条件、必要条件的定义判断即得.
选B　>,不能推出a>b>0,如>,反之a>b>0,则有<,即>是a>b>0的既不充分也不必要条件,A错误;由ln(a+1)>ln(b+1),得a+1>b+1>0,即a>b>-1,不能推出a>b>0,反之a>b>0,则a>b>-1,因此“ln(a+1)>ln(b+1)”是“a>b>0”的必要不充分条件,B正确;a3>b3>0 a>b>0,“a3>b3>0”是“a>b>0”的充要条件,C错误;由>,得a>b≥1>0,反之a>b>0不能推出a>b≥1,因此“>”是“a>b>0”的充分不必要条件,D错误.
10.选ABC　由a>b>0,c>0,得-a<-b<0,所以c-ab>0,c>0,所以ac>bc>0,所以>>0,所以>>0,B正确.因为a>b>0,所以a+2≤a+(a+2b)=2(a+b),当且仅当a=2b时取等号,所以≥=,C正确.因为-==>0,所以>,D错误.
11.选ABC　由题意,1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,两式相加得0≤2a≤8,即0≤a≤4,故A正确;由-1≤a-b≤3,得-3≤b-a≤1,又1≤a+b≤5,所以两式相加得-2≤2b≤6,即-1≤b≤3,故B正确;设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得则3a-2b=(a+b)+(a-b).因为1≤a+b≤5,所以≤(a+b)≤,因为-1≤a-b≤3,所以-≤(a-b)≤,所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10,即-2≤3a-2b≤10,故C正确,D错误.故选ABC.
易错提醒:对于C,常见的错误解法如下:由A知0≤a≤4,所以0≤3a≤12,由B知-1≤b≤3,所以-6≤-2b≤2,从而-6≤3a-2b≤14.该方法求出来的范围比正确范围要大,原因是此方法忽略了a和b的关系,事实上a和b有相互制约的关系,两者不可能在各自的范围内随意取值,比如取a=4,b=-1,满足0≤a≤4,-1≤b≤3,但不满足条件-1≤a-b≤3,从而3a-2b取不到14.所以此类题型注意结合“整体代换”思想求解.
12.选ABD　根据abc=1可得=ac,故(a+c)2>,即(a+c)2>ac,即a2+ac+c2>0.因为a2+ac+c2=+>0恒成立,所以(a+c)2>成立,故A正确;因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,故<成立,故B正确;当a=,b=-1,c=-2时,满足a>b>c且abc=1,但a2>b2不成立,故C错误;因为abc=1,(a2b-1)(ab2-1)==,a>b>c,所以>0,故D正确.
13.解析:因为a>0,-1所以ab<0,0答案:ab14.解析:容易发现,若将①式转化为②式,需使(a+b)ab<0,即a+b与ab异号,显然应使a+b>0,ab<0,当a<0,b>0时,要使a+b>0,则|a|<|b|,可取a=-1,b=2;当a>0,b<0时,要使a+b>0,则|a|>|b|,可取a=2,b=-1.
综上,取任意两个异号的实数,且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
答案:a=-1,b=2(答案不唯一)
15.解析:由于a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c,则-a-c-c,>-2,-a-c>c,-a>2c,<-,所以-2<<-.
答案:

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