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第1课时　基本不等式的简单应用
教材再回首
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　.
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　时,等号成立.
2.三个重要的不等式
(1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)若a>0,b>0,则≤≤ ≤ ,当且仅当a=b时,等号成立.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　　　,几何平均数为　　　.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当　　　时,x+y有最小值　　　.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当　　　时,xy有最大值　　　.(简记:和定积最大)
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)不等式ab≤与≥ 成立的条件是相同的. (　　)
(2)函数y=x+的最小值是2. (　　)
(3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4. (　　)
(4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件. (　　)
2.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 (　　)
A.1+ B.1+
C.3 D.4
3.(苏教必修①P61T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 (　　)
A.4 B.4
C.9 D.18
4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.
方法一　直接法求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　
(1)已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　)
A.2 B.2
C.4 D.5
(2)已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为　　　　.
|思维建模|　
利用基本不等式求最值的策略
(1)求“和”式的最小值时,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值;求“积”式的最大值时,一般运用变形ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0).
(2)注意检验等号成立的条件是否满足.
[即时训练]
1.若正数a,b满足ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
2.已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
方法二　配凑法求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)若x<,则f(x)=3x+1+有 (　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
(2)已知0|思维建模|　配凑法的运用技巧
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0)、+的形式等,然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件.
[即时训练]
3.已知实数x>1,则函数y=2x+的最小值为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
4.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0,则a++的最小值为 (　　)
A.2 B.
C.3 D.3
方法三　常数代换法求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(2025·扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.4
C.6 D.2+3
|习得方略|
　　常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值.
|思维建模|
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值.
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
[即时训练]
5.(2025·安庆模拟)已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
6.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x-6y的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.12
方法四　构造不等式法求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]
(1)(人A必修①P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为 (　　)
A.9 B.6
C.3 D.12
(2)若本例(1)条件不变,则a+b的最小值为　　　　.
|思维建模|　
构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本不等式,构造目标式的不等式求解.
[即时训练]
7.若正数x,y满足x+y-2xy=0,则x+y的最小值为 (　　)
A.4 B.1
C.5 D.2
拓展与建模:基本不等式的推广
(1)三元基本不等式
a3+b3+c3≥3abc
(a,b,c均为正实数)
当且仅当a=b=c时等号成立.
(2)推广到n元基本不等式为≥(a1,a2,…,an均为正实数),
当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
(3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致.
[针对训练]
1.若x>0,则4x+的最小值是 (　　)
A.9 B.3
C.13 D.不存在
2.若a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,则(1-a)·(1-b)(1-c)的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
第1课时　基本不等式的简单应用
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)a>0,b>0　(2)a=b　2.(1)2ab　3.　
4.(1)x=y　2　(2)x=y　　　
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.选C　当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2 +2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.
3.D
4.解析:因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=·2x·(3-2x)≤=,当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号.
答案:
课堂·题点精研
方法一
[例1]　(1)C　(2)3
(1)++2≥2+2≥4=4,当且仅当=且 =,即a=b=1时取等号.
易错提醒:连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性.
(2)由已知,得12=4x+3y≥2,解得xy≤3,当且仅当4x=3y时取等号.
[即时训练]
1.选C　由正数a,b满足ab=2,得(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4+2a+b≥4+2=8,当且仅当b=2a=2时取等号,所以当a=1,b=2时,(a+1)(b+2)取得最小值8.
2.选C　因为2a-b-2=0,所以2a-b=2,因为32a>0,3-b>0,所以9a+=32a+3-b≥2=2=2=6,当且仅当即时,取等号,故9a+的最小值为6.
方法二
[例2]　(1)C　(2)
(1)因为x<,所以3x-2<0,所以f(x)=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3,
(注意:本题易忽视把负数转化为正数)
当且仅当2-3x=,即x=-时,取等号.
(2)因为00,所以x=·≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.
[即时训练]
3.选B　∵实数x>1,∴x-1>0,∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6,
当且仅当2(x-1)=,即x=2时等号成立,
∴函数y=2x+的最小值为6.
4.选C　法一:利用基本不等式　∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,∴a++=+++≥2+2=3,当且仅当a+b=2,a-b=,即a=,b=时等号成立.故选C.
法二:利用柯西不等式　由a>b>0,得a-b>0,则(a+b+a-b)≥=9,当且仅当=a-b时等号成立,可得a++≥a+≥2=3.当且仅当a=,即a=,b=时等号成立,故选C.
方法三
[例3]　选D　因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=+==++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=-1时取等号.
[即时训练]
5.选B　由题意得m+=
=≥=4,
当且仅当mn=,即m=1,n=3时等号成立.
6.选C　由x>0,y>0且+=1,可得xy=x+2y,所以4xy-3x-6y=4x+8y-3x-6y=x+2y==4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时取等号.
方法四
[例4]　(1)A　(2)6
(1)因为a>0,b>0,所以a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立.
所以ab=a+b+3≥2+3,整理可得ab-2-3≥0,解得 ≥3或 ≤-1(舍去).
所以 ≥3,即ab≥9.所以当a=b=3时,ab的最小值为9.
(2)因为a>0,b>0,所以a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立.
所以ab=a+b+3≤,整理可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0,解得a+b≥6或a+b≤-2(舍去).
所以当a=b=3时,a+b的最小值为6.
[即时训练]
7.选D　法一　由x+y-2xy=0,得x+y=2xy,
又x>0,y>0,xy≤,
所以x+y≤,解得x+y≥2,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
法二　由x+y-2xy=0,得x+y=2xy,所以+=2,
则x+y=(x+y)=≥=2,
当且仅当即时,等号成立.
拓展与建模
1.选B　4x+=2x+2x+≥3=3,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,故选B.
2.选C　由于a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以0第四节
基本不等式
明确目标
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，了解基本不等式的推导过程.
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
第1课时　基本不等式的简单应用
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：_____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当______时，等号成立.
a>0，b>0
a=b
2.三个重要的不等式
(1)a2+b2≥_______ (a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号.
(3)若a>0，b>0，则≤≤ ≤ ，当且仅当a=b时，等号成立.
2ab
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为_____.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当____时，x+y有最小值____.
(简记：积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有最大值___.
(简记：和定积最大)
x=y
2
x=y
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式ab≤与≥ 成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y=x+的最小值是2.(　　)
(3)函数y=sin x+，x∈的最小值是4.(　　)
(4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　)
×
×
×
×
2.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a等于(　　)
A.1+ B.1+
C.3 D.4
解析：当x>2时，x-2>0，f(x)=(x-2)++2≥2+2=4，当且仅当x-2=，即x=3时取等号.
√
3.(苏教必修①P61T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 (　　)
A.4 B.4
C.9 D.18
√
4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是___.
解析：因为0≤x≤1，所以3-2x>0，所以y=·2x·(3-2x)
≤=，当且仅当2x=3-2x，即x=时取等号.
课堂·题点精研
02
[例1]　(1)已知a>0，b>0，则++2的最小值是(　　)
A.2 B.2
C.4 D.5
解析：++2≥2+2≥4=4，当且仅当=且 =，即a=b=1时取等号.
易错提醒：连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性.
√
方法一　直接法求最值
(2)已知x，y为正实数，且满足4x+3y=12，则xy的最大值为____.
解析：由已知，得12=4x+3y≥2，解得xy≤3，当且仅当4x=3y时取等号.
3
利用基本不等式求最值的策略
(1)求“和”式的最小值时，一般运用变形a+b≥2，这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形ab≤，这时必须确保“和”是定值(a>0，b>0).
(2)注意检验等号成立的条件是否满足.
思维建模
1.若正数a，b满足ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
解析：由正数a，b满足ab=2，得(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4+2a+b
≥4+2=8，当且仅当b=2a=2时取等号，所以当a=1，b=2时，(a+1)(b+2)取得最小值8.
即时训练
√
2.已知a，b∈R，且2a-b-2=0，则9a+的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：因为2a-b-2=0，所以2a-b=2，因为32a>0，3-b>0，所以9a+=32a+3-b≥2=2=2=6，当且仅当即时，取等号，故9a+的最小值为6.
√
[例2]
(1)若x<，则f(x)=3x+1+有(　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
解析：因为x<，所以3x-2<0，所以f(x)=3x-2++3=
-+3≤-2+3=-3，
(注意：本题易忽视把负数转化为正数)
当且仅当2-3x=，即x=-时，取等号.
√
方法二　配凑法求最值
(2)已知0解析：因为00，所以x=·
≤·=，当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立.
配凑法的运用技巧
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，如凑成x+(a>0)、+的形式等，然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件.
思维建模
3.已知实数x>1，则函数y=2x+的最小值为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
即时训练
√
解析：∵实数x>1，∴x-1>0，
∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6，
当且仅当2(x-1)=，即x=2时等号成立，∴函数y=2x+的最小值为6.
4.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0，则a++的最小值为(　　)
A.2 B.
C.3 D.3
√
解析：法一：利用基本不等式　∵a>b>0，∴a+b>0，a-b>0，∴a++=+++≥2+2=3，当且仅当a+b=2，a-b=，即a=，b=时等号成立.故选C.
法二：利用柯西不等式　由a>b>0，得a-b>0，则(a+b+a-b)≥=9，当且仅当=a-b时等号成立，可得a++≥a+≥2=3.当且仅当a=，即a=，b=时等号成立，故选C.
[例3]　(2025·扬州模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为(　　)
A.4 B.4
C.6　　　 D.2+3
√
方法三　常数代换法求最值
解析：因为x>0，y>0，且2x+y=1，
所以=+==++3≥2+3=2+3，
当且仅当=，即x=，y=-1时取等号.
常数代换法，主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求+的最值”的问题，先将+转化为·，再用基本不等式求最值.
习得方略
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值.
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
思维建模
5.(2025·安庆模拟)已知m，n∈(0，+∞)，+n=4，则m+的最小值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
即时训练
√
解析：由题意得m+=
=≥=4，
当且仅当mn=，即m=1，n=3时等号成立.
6.已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x-6y的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.8 D.12
解析：由x>0，y>0且+=1，可得xy=x+2y，所以4xy-3x-6y=4x+
8y-3x-6y=x+2y==4++≥4+2=8，当且仅当=，即x=4，y=2时取等号.
√
[例4]　
(1)(人A必修①P58T5改编)若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为(　　)
A.9 B.6
C.3 D.12
方法四　构造不等式法求最值
√
解析：因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立.
所以ab=a+b+3≥2+3，整理可得ab-2-3≥0，解得 ≥3或 ≤-1(舍去).
所以 ≥3，即ab≥9.所以当a=b=3时，ab的最小值为9.
(2)若本例(1)条件不变，则a+b的最小值为____.
解析：因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，
等号成立.
所以ab=a+b+3≤，整理可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0，
解得a+b≥6或a+b≤-2(舍去).
所以当a=b=3时，a+b的最小值为6.
6
思维建模
构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
7.若正数x，y满足x+y-2xy=0，则x+y的最小值为 (　　)
A.4 B.1
C.5 D.2
解析：法一　由x+y-2xy=0，得x+y=2xy，又x>0，y>0，xy≤，所以x+y≤，解得x+y≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立.
即时训练
√
法二　由x+y-2xy=0，得x+y=2xy，
所以+=2，则x+y=(x+y)=
≥=2，
当且仅当即时，等号成立.
拓展与建模
基本不等式的推广
(1)三元基本不等式
a3+b3+c3≥3abc(a，b，c均为正实数)
当且仅当a=b=c时等号成立.
(2)推广到n元基本不等式为≥(a1，a2，…，an均为正实数)，
当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
(3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致.
1.若x>0，则4x+的最小值是(　　)
A.9 B.3
C.13 D.不存在
解析：4x+=2x+2x+≥3=3，当且仅当2x=，即x=时，等号成立，故选B.
针对训练
√
2.若a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，则(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为 (　　)
A. B. C. D.
解析：由于a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，所以0√
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·定西一模)x2++的最小值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析：由题意知x≠0，所以x2>0，>0，
所以x2++≥2+=3，
当且仅当x2=，即x2=时，等号成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
2.当x>a时，2x+的最小值为10，则a=(　　)
A.1 B.
C.2 D.4
解析：因为x>a，所以x-a>0，所以2x+=2(x-a)++2a≥
2+2a=8+2a，当且仅当=2(x-a)时，等号成立，则8+2a=10，故a=1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是(　　)
A.a2+b2 B.2ab
C.a+b D.2
解析：因为a>1，b>1，所以a2+b2>a+b，根据基本不等式可知a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.因为a≠b，所以a2+b2>2ab，同理，a+b>2.所以四个式子中的最大值为a2+b2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.若x>0，y>0，且2x+3y=12，则xy的最大值为 (　　)
A.9 B.6
C.3 D.
解析：因为x>0，y>0，且2x+3y=12，
所xy=·2x·3y≤=6，
当且仅当2x=3y，即x=3，y=2时，等号成立，所以xy的最大值为6.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.(2024·达州二模)已知实数a，b满足a+=2，则4a+2b的最小值为(　　)
A.4 B.8
C.4 D.8
解析：因为a+=2，所以2a+b=4，
所以4a+2b=22a+2b≥2=2=2=8，
当且仅当22a=2b且2a+b=4，即a=1，b=2时等号成立.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.(2024·哈尔滨二模)已知正实数x，y满足+=1，则2xy-3x的最小值为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：易知+=1 2x+y=xy，则2xy-3x=2(2x+y)-3x
=x+2y=(x+2y)·
=5++≥5+2=9，
当且仅当=，即x=y=3时取等号.
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7.函数f(x)=(x>1)的最小值为(　　)
A.2 B.3+2
C.2+2 D.5
解析：因为x>1，所以x-1>0，所以f(x)==
=x-1++3≥2+3=2+3，当且仅当x-1=，
即x=+1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3+2.故选B.
√
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8.已知实数x>0>y，且+=，则x-y的最小值是(　　)
A.21 B.25
C.29 D.33
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解析：∵x>0>y，等式+=恒成立，
∴(x-y+3)=(x+2+1-y).由于x>0>y，∴1-y>0，2+x>0，
∴(x+2+1-y)=2++≥2+2=4，
当且仅当x+2=1-y，即x=10，y=-11时取等号.
∴(x-y+3)≥4，∴x-y≥21，故x-y的最小值为21.
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二、多选题
9.(2025·泉州模拟)已知a>0，b>0，且a+b=4，则下列结论正确的是(　　)
A.a+2b>4 B.(a-1)(b-1)>1
C.log2a+log2b≥2 D.2a+≥8
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√
解析：由题意，得0b=4+b>4，故A正确；取a=1，b=3，则(a-1)(b-1)=0<1，log2a+log2b=
log23<2，故B、C错误；2a+=2a+2b≥2=8，当且仅当a=b=2时，等号成立，故D正确.
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10.下列结论正确的是 (　　)
A.若x<0，则x+≤-2
B.若x∈R，则≥2
C.若x∈R且x≠0，则≥2
D.若a>1，则(1+a)≥6
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√
√
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解析：若x<0，则-x>0，所以x+=-≤-2=
-2，当且仅当-x=-，即x=-1时，等号成立，A正确；==
+≥2=2，当且仅当=，即x=0时，等号成立，B正确；
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若x∈R且x≠0，则===|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立，C正确；若a>1，取a=，则(1+a)=×=<6，D错误.
13
11.(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
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√
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√
解析：注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy，所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy.对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤32，当且仅当x=y时取等号，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确， B正确；
(也可用特例排除法，取x=1，y=1排除A)
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由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y=±1时取等号，所以x2+y2≤2，所以C正确，注意x2+y2=1+xy，如果x，y异号就会有x2+y2≥1不成立，令x=-y，易发现存在x=-y=±，使x2+y2=<1，D不正确.故选BC.
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巧记结论：(1)若x≠0，则≥2，当且仅当x=±1时，等号成立.
(2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a=±b时，等号成立.
(3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x=± 时，等号成立.
(4)若a>0，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a=b时，等号成立.
(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
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三、填空题
12.(2025·商丘模拟)若正数a，b满足a2b=a3+b2，则a的最小值是____.
解析：因为a，b为正数，a2b=a3+b2，
所以1=+≥2，即a≥4，
当且仅当a3=b2，即a=4，b=8时，等号成立.
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13.若a>-1，则的最小值是____.
解析：法一：通解　由a>-1可得a+1>0，则==a-1+=a+1+-2≥2-2=0，当且仅当a+1=，即a=0时，等号成立.
法二：秒解　由a>-1可得a+1>0，a2≥0，则≥0，当a=0时取等号.
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14.若 x∈，使得2x2-λx+1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是_______________.
快审准解：写出存在量词命题的否定，参变分离得到2x+≥λ，由基本不等式求出2x+≥2，从而得到实数λ的取值范围为(-∞，2].
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解析：由题意得 x∈，2x2-λx+1≥0为真命题，即2x+≥λ.由基本不等式得2x+≥2=2，当且仅当2x=，即x=时，等号成立，故实数λ的取值范围为(-∞，2].
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15.(2025·赣州二十校联考)若-1解析：法一　+=，设t=a+2，t∈(1，4)，则a=t-2.
所以==-=-≥-=3，
当且仅当t=，即t=2，即a=0时，等号成立，
所以+的最小值是3.
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法二　因为-10，2-a>0，且(1+a)+(2-a)=3，
所以+=(1+a+2-a)
=≥
=3，当且仅当=，即a=0时，等号成立.
所以+的最小值是3.
13课时跟踪检测(四)　基本不等式的简单应用
一、单选题
1.(2025·定西一模)x2++的最小值为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.当x>a时,2x+的最小值为10,则a= (　　)
A.1 B.
C.2 D.4
3.若a>1,b>1,且a≠b,则a2+b2,2ab,a+b,2中的最大值是 (　　)
A.a2+b2 B.2ab
C.a+b D.2
4.若x>0,y>0,且2x+3y=12,则xy的最大值为 (　　)
A.9 B.6
C.3 D.
5.(2024·达州二模)已知实数a,b满足a+=2,则4a+2b的最小值为 (　　)
A.4 B.8
C.4 D.8
6.(2024·哈尔滨二模)已知正实数x,y满足+=1,则2xy-3x的最小值为 (　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
7.函数f(x)=(x>1)的最小值为 (　　)
A.2 B.3+2
C.2+2 D.5
8.已知实数x>0>y,且+=,则x-y的最小值是 (　　)
A.21 B.25
C.29 D.33
二、多选题
9.(2025·泉州模拟)已知a>0,b>0,且a+b=4,则下列结论正确的是 (　　)
A.a+2b>4 B.(a-1)(b-1)>1
C.log2a+log2b≥2 D.2a+≥8
10.下列结论正确的是 (　　)
A.若x<0,则x+≤-2 B.若x∈R,则≥2
C.若x∈R且x≠0,则≥2 D.若a>1,则(1+a)≥6
11.(2022·新课标Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
三、填空题
12.(2025·商丘模拟)若正数a,b满足a2b=a3+b2,则a的最小值是　　　　.
13.若a>-1,则的最小值是　　　　.
14.若 x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是　　　　.
15.(2025·赣州二十校联考)若-1课时跟踪检测(四)
1.选B　由题意知x≠0,所以x2>0,>0,所以x2++≥2+=3,当且仅当x2=,即x2=时,等号成立.
2.选A　因为x>a,所以x-a>0,所以2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=8+2a,当且仅当=2(x-a)时,等号成立,则8+2a=10,故a=1.
3.选A　因为a>1,b>1,所以a2+b2>a+b,根据基本不等式可知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.因为a≠b,所以a2+b2>2ab,同理,a+b>2.所以四个式子中的最大值为a2+b2.
4.选B　因为x>0,y>0,且2x+3y=12,所以xy=·2x·3y≤=6,当且仅当2x=3y,即x=3,y=2时,等号成立,所以xy的最大值为6.
5.选B　因为a+=2,所以2a+b=4,所以4a+2b=22a+2b≥2=2=2=8,当且仅当22a=2b且2a+b=4,即a=1,b=2时等号成立.
6.选B　易知+=1 2x+y=xy,则2xy-3x=2(2x+y)-3x=x+2y=(x+2y)·
=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=y=3时取等号.
7.选B　因为x>1,所以x-1>0,所以f(x)===x-1++3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,所以函数f(x)的最小值为3+2.故选B.
8.选A　∵x>0>y,等式+=恒成立,
∴(x-y+3)=(x+2+1-y).
由于x>0>y,∴1-y>0,2+x>0,∴(x+2+1-y)=2++≥2+2=4,
当且仅当x+2=1-y,即x=10,y=-11时取等号.
∴(x-y+3)≥4,∴x-y≥21,故x-y的最小值为21.
9.选AD　由题意,得04,故A正确;取a=1,b=3,则(a-1)(b-1)=0<1,log2a+log2b=log23<2,故B、C错误;2a+=2a+2b≥2=8,当且仅当a=b=2时,等号成立,故D正确.
10.选ABC　若x<0,则-x>0,所以x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-,即x=-1时,等号成立,A正确;==+≥2=2,当且仅当=,即x=0时,等号成立,B正确;若x∈R且x≠0,则===|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时,等号成立,C正确;若a>1,取a=,则(1+a)=×=<6,D错误.
11.选BC　注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy,所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy.对于A、B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y时取等号,解得-2≤x+y≤2,所以A不正确,(也可用特例排除法,取x=1,y=1排除A)B正确;由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y=±1时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确,注意x2+y2=1+xy,如果x,y异号就会有x2+y2≥1不成立,令x=-y,易发现存在x=-y=±,使x2+y2=<1,D不正确.故选BC.
巧记结论:(1)若x≠0,则≥2,当且仅当x=±1时,等号成立.
(2)若ab≠0,则≥2,当且仅当a=±b时,等号成立.
(3)若ab>0,x≠0,则≥2,当且仅当x=± 时,等号成立.
(4)若a>0,b>0,则≤≤≤ ,当且仅当a=b时,等号成立.
(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
12.解析:因为a,b为正数,a2b=a3+b2,所以1=+≥2,即a≥4,当且仅当a3=b2,即a=4,b=8时,等号成立.
答案:4
13.解析:法一:通解　由a>-1可得a+1>0,则==a-1+=a+1+-2≥2-2=0,当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立.
法二:秒解　由a>-1可得a+1>0,a2≥0,
则≥0,当a=0时取等号.
答案:0
14.快审准解:写出存在量词命题的否定,参变分离得到2x+≥λ,由基本不等式求出2x+≥2,从而得到实数λ的取值范围为(-∞,2].
解析:由题意得 x∈,2x2-λx+1≥0为真命题,即2x+≥λ.由基本不等式得2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,故实数λ的取值范围为(-∞,2].
答案:
15.解析:法一　+=,
设t=a+2,t∈(1,4),则a=t-2.
所以==-
=-≥-=3,当且仅当t=,即t=2,即a=0时,等号成立,所以+的最小值是3.
法二　因为-1所以a+1>0,2-a>0,且(1+a)+(2-a)=3,
所以+=(1+a+2-a)=≥=3,当且仅当=,即a=0时,等号成立.所以+的最小值是3.
答案:3

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