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第2课时　基本不等式的综合应用
题点一　利用基本不等式求参数值或范围
[例1]　若存在m∈,使不等式+≤k成立,则k的最小值是 (　　)
A.8 B.10
C.16 D.24
|思维建模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.
[即时训练]
1.对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为 (　　)
A.{m|-22}
C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2}
2.已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-8) B.(-8,+∞)
C.(-∞,-6) D.(-6,+∞)
题点二　基本不等式与其他知识相结合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为 (　　)
A.4 B.9
C.3+2 D.8
|思维建模|
　　当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.解题时注意基本不等式成立的条件.
[即时训练]
3.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1,λ),b=(μ,1),其中λ>0,若a∥b,则实数μ的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞) B.[2,+∞)
C.[,+∞) D.[1,+∞)
4.已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0对称,则+的最小值是 (　　)
A.2 B.3
C.6 D.4
题点三　基本不等式的实际应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示,要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住,菜园间留有一个十字形过道,纵向部分路宽为1 m,横向部分路宽为2 m.
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时,所用篱笆最短 此时该菜园的总面积为多少
(2)为节省土地,使菜园的总面积最小,此时矩形用地的长和宽分别为多少
快审准解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m,用x表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可;
(2)用x表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可.
|思维建模|　
基本不等式实际应用问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
[即时训练]
5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则平整完这块场地所需的最少费用是 (　　)
A.10 000元 B.10 480元
C.10 816元 D.10 818元
6.李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则应投入广告费用　　　万元,获得总利润为　　　万元.
第2课时　基本不等式的综合应用
题点一
[例1]　选A　因为m∈,所以0<2m<1,2m+(1-2m)=1,则+=[2m+(1-2m)]=++4≥2+4=8,当且仅当=,即m=时取等号.因为存在m∈,使不等式+≤k成立,所以k≥8,即k的最小值为8.
[即时训练]
1.选C　因为对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立,
所以mx即m>=x+对任意的x∈(-∞,0)恒成立.
因为x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
所以x+=-≤-2=-2,
当且仅当-x=,即x=-1时取等号,所以m>-2.
2.选D　不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立.∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6.
题点二
[例2]　选B　因为函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(-2,-1),所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以+=(2m+n)=++5≥2+5=9,当且仅当=且2m+n=1,即n=m=时取等号.
[即时训练]
3.选A　因为a∥b,所以λμ=2λ2+1.又λ>0,所以μ==2λ+≥2=2,当且仅当2λ=,即λ=时,等号成立.
4.快审准解:转化为直线l过圆心,得2a+3b=1,再利用基本不等式可得答案.
选D　因为圆C:(x-2)2+=9关于直线l:ax+by-1=0(ab>0)对称,
所以直线l过圆心(2,3),即2a+3b=1,则+=(2a+3b)=2++.
因为ab>0,且2a+3b=1,所以a>0,b>0,
所以+=2++≥2+2=4,
当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,
故+的最小值是4.
题点三
[例3]　解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m,
则所需篱笆的长度为4×2×,因为x+≥2=12,当且仅当x=6时,等号成立,所以当矩形用地的长和宽均为6 m时,所用篱笆最短,此时该菜园的总面积为(2×6+1)×(2×6+2)=182 m2.
(2)设菜园的总面积为y m2,
则y=(2x+1)=146+4x+≥146+2=146+24,当且仅当4x=,即x=3时,等号成立,此时另一边为=6.故当矩形用地的长和宽分别为6 m,3 m时,菜园的总面积最小.
[即时训练]
5.快审准解:设矩形场地的长为x米,则W=4x++10 016,结合基本不等式计算即可求解.
选C　设矩形场地的长为x米,则宽为米,
所以W=(x+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,
当且仅当4x=,即x=100时,等号成立.
所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816元.
6.解析:设李明获得的利润为f(x)万元,x≥0,
则f(x)=8m-x=8-x=24--x=25-≤25-2=25-8=17,当且仅当x+1=,即x=3时,等号成立.此时总利润为17.
答案:3　17(共49张PPT)
第2课时　基本不等式的综合应用
目录
01.题点一　利用基本不等式求参数值或范围
02.题点二　基本不等式与其他知识相结合
04.课时跟踪检测
03.题点三　基本不等式的实际应用
[例1]　若存在m∈，使不等式+≤k成立，则k的最小值是(　　)
A.8 B.10
C.16 D.24
√
题点一　利用基本不等式求参数值或范围
解析：因为m∈，所以0<2m<1，2m+(1-2m)=1，则+=[2m+(1-2m)]=++4≥2+
4=8，当且仅当=，即m=时取等号.因为存在m∈，使不等式+≤k成立，所以k≥8，即k的最小值为8.
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.
思维建模
1.对任意的x∈(-∞，0)，x2-mx+1>0恒成立，则m的取值范围为 (　　)
A.{m|-22}
C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2}
即时训练
√
解析：因为对任意的x∈(-∞，0)，x2-mx+1>0恒成立，
所以mx即m>=x+对任意的x∈(-∞，0)恒成立.因为x∈(-∞，0)，则
-x∈(0，+∞)，所以x+=-≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时取等号，所以m>-2.
2.已知x>1时，不等式2x+m+>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-8) B.(-8，+∞)
C.(-∞，-6) D.(-6，+∞)
√
解析：不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2，
∵x>1，∴2(x-1)+≥2×=4，当且仅当x=2时，等号成立.
∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，∴-m-2<4，解得m>-6.
[例2]　已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，若点P在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则+的最小值为(　　)
A.4 B.9
C.3+2 D.8
√
题点二　基本不等式与其他知识相结合
解析：因为函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(-2，
-1)，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，所以+=(2m+n)=++5
≥2+5=9，当且仅当=且2m+n=1，即n=m=时取等号.
当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.解题时注意基本不等式成立的条件.
思维建模
3.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1，λ)，b=(μ，1)，其中λ>0，若a∥b，则实数μ的取值范围是 (　　)
A.[2，+∞) B.[2，+∞)
C.[，+∞) D.[1，+∞)
解析：因为a∥b，所以λμ=2λ2+1.又λ>0，所以μ==2λ+≥
2=2，当且仅当2λ=，即λ=时，等号成立.
即时训练
√
4.已知圆C：x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l：ax+by-1=0对称，则+的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.6 D.4
快审准解：转化为直线l过圆心，得2a+3b=1，再利用基本不等式可得答案.
√
解析：因为圆C：(x-2)2+=9关于直线l：ax+by-1=0(ab>0)对称，所以直线l过圆心(2，3)，即2a+3b=1，则+=(2a+3b)=2++.因为ab>0，且2a+3b=1，所以a>0，b>0，所以+=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=，b=时，等号成立，故+的最小值是4.
[例3]　某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为1 m，横向部分路宽为2 m.
题点三　基本不等式的实际应用
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短 此时该菜园的总面积为多少
快审准解：设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，用x表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可.
解：设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，
则所需篱笆的长度为4×2×，因为x+≥2=12，当且仅当x=6时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为6 m时，所用篱笆最短，此时该菜园的总面积为(2×6+1)×(2×6+2)=182 m2.
(2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少
快审准解：用x表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可.
解：设菜园的总面积为y m2，
则y=(2x+1)=146+4x+≥146+2=146+24，当且仅当4x=，即x=3时，等号成立，此时另一边为=6.故当矩形用地的长和宽分别为6 m，3 m时，菜园的总面积最小.
基本不等式实际应用问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
思维建模
5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则平整完这块场地所需的最少费用是 (　　)
A.10 000元 B.10 480元
C.10 816元 D.10 818元
快审准解：设矩形场地的长为x米，则W=4x++10 016，结合基本不等式计算即可求解.
即时训练
√
解析：设矩形场地的长为x米，则宽为米，
所以W=(x+4)=4x++10 016≥2+10 016
=10 816，当且仅当4x=，即x=100时，等号成立.所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816元.
6.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多，则应投入广告费用____万元，获得总利润为____万元.
　
3
17
解析：设李明获得的利润为f(x)万元，x≥0，
则f(x)=8m-x=8-x=24--x=25-≤25-2=25-8=17，当且仅当x+1=，即x=3时，等号成立.此时总利润为17.
课时跟踪检测
04
一、单选题
1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则该模型的最大面积为(　　)
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm，0√
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2.已知a，b都是正数，则“ab≥4”是“ab≥a+b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
快审准解：举出反例以及结合基本不等式判断“ab≥4”和“ab≥a+b”的逻辑关系，即得答案.
√
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解析：由题意可知，当ab≥4时，可取a=1，b=4，
显然不能推出ab≥a+b；
当ab≥a+b时，且a>0，b>0，所以ab≥a+b≥2，
即(ab)2≥4ab，解得ab≥4，
所以“ab≥4”是“ab≥a+b”的必要不充分条件.
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3.已知二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则+的最小值为(　　)
A. B.2
C.3 D.4
√
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解析：依题意，二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，令ax2-2x+2b=0，所以Δ=(-2)2-4a·2b=0，所以ab=1.因为a>0，所以b>0，所以+≥2=2，当且仅当=，即a=，b=时，等号成立.
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4.若不等式+-m≥0对任意x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
√
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解析：将不等式化为+≥m，只需当x∈时，
≥m即可.因为0+++1≥5+2=5+4=9，当且仅当x=时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.
1
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5.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+A.{m|-12}
C.{m|-21}
快审准解：根据题意，利用基本不等式求得x+的最小值，把不等式x+2，即可求解.
√
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解析：由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，得+=2，
则x+==≥=2，
当且仅当=，即y=4x=4时取等号.
又由不等式x+2，解得m<-1或m>2，所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}.故选B.
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6.(2024·宁夏二模)若直线ax+by-1=0过函数f(x)=x+图象的对称中心，则+的最小值为(　　)
A.9 B.8
C.6 D.5
快审准解：先利用函数图象平移与奇函数的性质求得f(x)的对称中心，从而得到a+b=1，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
√
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解析：因为y=x+为奇函数，所以函数图象关于(0，0)中心对称，函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得函数f(x)=x+的图象，所以f(x)的对称中心为(1，1)，所以a+b=1，所以+=(a+b)·=5++≥5+2=9，当且仅当=，即a=2b=时，等号成立，故+的最小值为9.
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7.函数f(x)=2x-+ln x，若f(m)+f=0，则3m+的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.2 D.1
√
1
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9
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12
2
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4
解析：由f'(x)=2++>0得函数f(x)单调递增，
由f(x)=-2·+-ln=-f，∴f(x)+f=0，则=，
即m=n2，3m+=3n2+≥2=2，当且仅当n2=时，等号成立，故选C.
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二、多选题
8.已知正实数x，y满足x+y=4，则下列选项正确的是(　　)
A.ex+ey的最小值为2e2
B.lg x+lg y的最大值为lg 4
C.x2+y2的最小值为8
D.x(y+4)的最大值为16
√
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√
√
解析：由于ex+ey≥2=2=2e2，当且仅当ex=ey，即x=y=2时取等号，故A正确；由基本不等式得xy≤=4，
故lg x+lg y=lg(xy)≤lg 4，当且仅当x=y=2时取等号，故B正确；
x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2xy≥8，当且仅当x=y=2时取等号，故C正确；
由正实数x，y满足x+y=4，得y=4-x，x∈(0，4)，
故x(y+4)=x(8-x)=-(x-4)2+16∈(0，16)，故D错误.
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三、填空题
9.已知x>0，y>0，向量a=(x，y)，b=(2，1)，a·b=1，则xy的最大值为____.
解析：由题意得2x+y=1，
又x>0，y>0，所以1=2x+y≥2，故xy≤，当且仅当2x=y，2x+y=1，即2x=y=时取等号，故xy的最大值为.
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10.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1，则(4a+1)(4b+1)的最小值为______.
快审准解：令m=2a，n=2b，结合基本不等式可得01
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解析：不妨设m=2a，n=2b，则m>0，n>0，
所以1=m+n≥2，即0所以(4a+1)(4b+1)=(m2+1)(n2+1)=(mn)2+m2+n2+1=(mn)2+(m+n)2-2mn+1=(mn)2-2mn+2=(mn-1)2+1，所以当m=n=时，(4a+1)(4b+1)取得最小值.
四、解答题
11.(10分)已知x>0，y>0，且x+y=2.
(1)求+的最小值；(5分)
解：因为x>0，y>0，且x+y=2，所以1=(x+y)，所以+=(x+y)=≥=8，
当且仅当=，即x=，y=时取等号，所以+的最小值为8.
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(2)若4x+y-mxy≥0恒成立，求m的最大值.(5分)
解：因为4x+y-mxy≥0(x>0，y>0)恒成立，所以m≤+恒成立.因为1=(x+y)，x>0，y>0，
所以+=(x+y)=≥=，当且仅当=，即x=，y=时取等号.所以+的最小值为，所以m≤，故m的最大值为.
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12.(10分)(2025·吉林模拟)李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入.调研过程中发现，此珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与投入成本30x(单位：元)满足如下关系：W(x)=已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求，水果树单株获得的利润为f(x)(单位：元).
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(1)求f(x)的函数关系式；(5分)
快审准解：由题意可知f(x)=10W(x)-30x，结合题意代入运算即可.
解：由题意可知f(x)=10W(x)-30x
=
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(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大 最大利润是多少 (5分)
快审准解：分0≤x≤2和21
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解：由(1)可知，若0≤x≤2，则f(x)=30x2-30x+，
可知其图象开口向上，对称轴为x=，
此时f(x)的最大值为f(2)=；若2则f(x)=-20x=340-20
≤340-20×2=180，
1
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当且仅当x+1=，即x=3时，等号成立，
此时f(x)的最大值为f(3)=180.
又因为180>，可知f(x)的最大值为f(3)=180，
所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元.
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4课时跟踪检测(五)　基本不等式的综合应用
一、单选题
1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则该模型的最大面积为 (　　)
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
2.已知a,b都是正数,则“ab≥4”是“ab≥a+b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点,则+的最小值为 (　　)
A. B.2
C.3 D.4
4.若不等式+-m≥0对任意x∈恒成立,则实数m的最大值为 (　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
5.若两个正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+A.{m|-12}
C.{m|-21}
6.(2024·宁夏二模)若直线ax+by-1=0过函数f(x)=x+图象的对称中心,则+的最小值为 (　　)
A.9 B.8
C.6 D.5
7.函数f(x)=2x-+ln x,若f(m)+f=0,则3m+的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.2 D.1
二、多选题
8.已知正实数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是 (　　)
A.ex+ey的最小值为2e2 B.lg x+lg y的最大值为lg 4
C.x2+y2的最小值为8 D.x(y+4)的最大值为16
三、填空题
9.已知x>0,y>0,向量a=(x,y),b=(2,1),a·b=1,则xy的最大值为　　　　.
10.早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项,毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1,则(4a+1)(4b+1)的最小值为　　　　.
四、解答题
11.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=2.
(1)求+的最小值;(5分)
(2)若4x+y-mxy≥0恒成立,求m的最大值.(5分)
12.(10分)(2025·吉林模拟)李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”,他决定为该地改良某种珍稀水果树,增加产量,提高收入.调研过程中发现,此珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与投入成本30x(单位:元)满足如下关系:W(x)=已知这种水果的市场售价为10元/千克,且供不应求,水果树单株获得的利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数关系式;(5分)
(2)当投入成本为多少时,该水果树单株获得的利润最大 最大利润是多少 (5分)
课时跟踪检测(五)
1.选C　设矩形的长为x cm,宽为y cm,02.快审准解:举出反例以及结合基本不等式判断“ab≥4”和“ab≥a+b”的逻辑关系,即得答案.
选B　由题意可知,当ab≥4时,可取a=1,b=4,显然不能推出ab≥a+b;
当ab≥a+b时,且a>0,b>0,所以ab≥a+b≥2,即(ab)2≥4ab,解得ab≥4,所以“ab≥4”是“ab≥a+b”的必要不充分条件.
3.选B　依题意,二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点,令ax2-2x+2b=0,所以Δ=(-2)2-4a·2b=0,所以ab=1.因为a>0,所以b>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立.
4.选C　将不等式化为+≥m,只需当x∈时,≥m即可.因为0当且仅当x=时取等号,故m≤9,故m的最大值为9.
5.快审准解:根据题意,利用基本不等式求得x+的最小值,把不等式x+2,即可求解.
选B　由两个正实数x,y满足4x+y=2xy,得+=2,
则x+=
=≥=2,
当且仅当=,即y=4x=4时取等号.
又由不等式x+2,解得m<-1或m>2,所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}.故选B.
6.快审准解:先利用函数图象平移与奇函数的性质求得f(x)的对称中心,从而得到a+b=1,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
选A　因为y=x+为奇函数,所以函数图象关于(0,0)中心对称,函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度可得函数f(x)=x+的图象,所以f(x)的对称中心为(1,1),所以a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=2b=时,等号成立,故+的最小值为9.
7.选C　由f'(x)=2++>0得函数f(x)单调递增,
由f(x)=-2·+-ln=-f,
∴f(x)+f=0,则=,即m=n2,3m+=3n2+≥2=2,当且仅当n2=时,等号成立,故选C.
8.选ABC　由于ex+ey≥2=2=2e2,当且仅当ex=ey,即x=y=2时取等号,故A正确;由基本不等式得xy≤=4,故lg x+lg y=lg(xy)≤lg 4,当且仅当x=y=2时取等号,故B正确;
x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2xy≥8,当且仅当x=y=2时取等号,故C正确;
由正实数x,y满足x+y=4,得y=4-x,x∈(0,4),
故x(y+4)=x(8-x)=-(x-4)2+16∈(0,16),故D错误.
9.解析:由题意得2x+y=1,
又x>0,y>0,所以1=2x+y≥2,
故xy≤,当且仅当2x=y,2x+y=1,
即2x=y=时取等号,故xy的最大值为.
答案:
10.快审准解:令m=2a,n=2b,结合基本不等式可得0解析:不妨设m=2a,n=2b,则m>0,n>0,所以1=m+n≥2,即0所以(4a+1)(4b+1)=(m2+1)(n2+1)=(mn)2+m2+n2+1=(mn)2+(m+n)2-2mn+1=(mn)2-2mn+2=(mn-1)2+1,所以当m=n=时,(4a+1)(4b+1)取得最小值.
答案:
11.解:(1)因为x>0,y>0,且x+y=2,所以1=(x+y),所以+=(x+y)=≥=8,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为8.
(2)因为4x+y-mxy≥0(x>0,y>0)恒成立,
所以m≤+恒成立.
因为1=(x+y),x>0,y>0,所以+=·(x+y)=≥=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号.
所以+的最小值为,所以m≤,故m的最大值为.
12.快审准解:(1)由题意可知f(x)=10W(x)-30x,结合题意代入运算即可;
(2)分0≤x≤2和2解:(1)由题意可知f(x)=10W(x)-30x
=
(2)由(1)可知,若0≤x≤2,则f(x)=30x2-30x+,
可知其图象开口向上,对称轴为x=,
此时f(x)的最大值为f(2)=;
若2当且仅当x+1=,即x=3时,等号成立,
此时f(x)的最大值为f(3)=180.
又因为180>,可知f(x)的最大值为f(3)=180,
所以当投入成本为90元时,该水果树单株获得的利润最大,最大利润是180元.

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