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第五节　二次函数与一元二次方程、不等式
　　
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.了解一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系.
教材再回首
1.三个“二次”间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1,x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　　 　　　　 　　　 　　　
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　　 　　　　 　　　 　　　
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x-a)· (x-b)>0 {x|xb} 　　　 　　　 　　　
(x-a)· (x-b)<0 {x|a3.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0. (　　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0. (　　)
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. (　　)
2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　)
A.{x|-25}
C.{x|-52}
3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)
A.{x|x<-n或x>m} 　B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} 　D.{x|-m4.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)若二次函数y=ax2+bx+2,使函数值大于0的x的取值范围是,则a+b=　　　　.
5.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的最小值是　　　　.
题点一　不含参数的一元二次不等式的解法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
|习得方略|
　　解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时,可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母.
|思维建模|
解一元二次不等式的4个步骤
(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式.
(3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.
[即时训练]
1.已知集合A={x|1<2x-1<},B={x|y=},则A∪B= (　　)
A.{x|1≤x≤2} B.
C. D.
2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　　　.
题点二　含参数的一元二次不等式的解法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).
|思维建模|
含参数的不等式分类讨论的关键点
　　对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
[即时训练]
3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R).
题点三　三个“二次”之间的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5},则下列说法正确的是 (　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-5}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c>0
|思维建模|
　　已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[即时训练]
4.[多选]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则下列说法正确的是 (　　)
A.a<0
B.a+b=-5
C.不等式ax2+x-b>0的解集是
D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1,+∞)
|谨记结论|
　　对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1第五节　二次函数与一元二次方程、不等式
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.{x|x>x2,或x2.{x|x≠a}　{x|xa}　 　{x|b[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.A
3.选B　不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解集为{x|-n4.解析:依题意知解得
故a+b=-14.
答案:-14
5.解析:要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则2×100≥3 000,整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,解得3≤x≤10.故x的最小值是3.
答案:3
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选ABD　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确;因为-1=≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误;由|x-1|<1,可得-1[即时训练]
1.选A　因为A==,B={x|-x2+3x-2≥0}={x|1≤x≤2},所以A∪B={x|1≤x≤2}.
2.解析:方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3,故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1答案:{x|-1题点二
[例2]　解:原不等式变为(ax-1)(x-1)<0.
(易错提醒:二次项系数为参数时,不要忽略参数为0的情况)
当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0,
所以当a>1时,解得当a=1时,解集为 ;
当0当a=0时,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.
当a<0时,<1,原不等式可化为(x-1)>0,解得x>1或x<.综上,当0当a>1时,不等式的解集为,
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1},
当a<0时,不等式的解集为.
[即时训练]
3.解:原不等式可化为(x-a)(x+2)>0(a∈R).
当a=-2时,不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);
当a>-2时,不等式的解集为(-∞,-2)∪(a,+∞);
当a<-2时,不等式的解集为(-∞,a)∪(-2,+∞).
题点三
[例3]　选AC　由题意得,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,即a>0,故A正确;因为-4,5是方程ax2+bx+c=0的根,所以解得所以bx+c>0,即-ax-20a>0,解得x<-20,故B错误;不等式cx2-bx+a<0等价于-20ax2+ax+a<0,即20x2-x-1>0,即(5x+1)·(4x-1)>0,解得x<-或x>,故C正确;因为1 {x|x≤-4或x≥5},所以a+b+c<0,故D错误.
[即时训练]
4.选ABC　由题意得,a<0,且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=-1,x2=,
则解得a+b=-3-2=-5,故A、B正确;
由上知ax2+x-b>0,即-3x2+x-(-2)>0,即(3x+2)(x-1)<0,解得-0的解集为,故C正确,D不正确.
5.解:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根,所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=.(共54张PPT)
第五节
二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.三个“二次”间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象
续表
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1，x2 (x1实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _______________ _____________ ____
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 _____________ _____ _____
{x|x>x2，或x{x|x1

R
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x-a)·(x-b)>0 {x|xb} _________ _______________
(x-a)·(x-b)<0 {x|a{x|x≠a}
{x|xa}

{x|b3.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
×
√
×
×
2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　)
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>5}
C.{x|-5D.{x|x<-5或x>2}
√
3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)
A.{x|x<-n或x>m} 　B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} 　D.{x|-m解析：不等式变形为(x-m)(x+n)<0，方程(x-m)(x+n)=0的两根为m，-n，显然由m+n>0得m>-n，所以不等式的解集为{x|-n√
4.(人A必修①P50“思考”：一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)若二次函数y=ax2+bx+2，使函数值大于0的x的取值范围是，则a+b=_____.
解析：依题意知解得故a+b=-14.
-14
5.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是__.
解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10，所以5x2-14x-3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3.
3
课堂·题点精研
02
[例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　)
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
题点一　不含参数的一元二次不等式的解法
√
√
解析：因为方程x2+x-2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}，故A正确；因为-1=≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3
≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x-1|<1，可得-1解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时，可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.
习得方略
解一元二次不等式的4个步骤
(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式.
(3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)利用"大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
思维建模
1.已知集合A={x|1<2x-1<}，B={x|y=}，则A∪B=(　　)
A.{x|1≤x≤2} B.
C. D.
解析：因为A==，B={x|-x2+3x-2≥0}={x|1≤x≤2}，所以A∪B={x|1≤x≤2}.
即时训练
√
2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为____________.
解析：方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1{x|-1[例2]　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).
解：原不等式变为(ax-1)(x-1)<0.
(易错提醒：二次项系数为参数时，不要忽略参数为0的情况)
当a>0时，原不等式可化为(x-1)<0，
所以当a>1时，解得当0题点二　含参数的一元二次不等式的解法
当a=0时，原不等式等价于-x+1<0，解得x>1.
当a<0时，<1，原不等式可化为(x-1)>0，解得x>1或x<.
综上，当0当a=1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
含参数的不等式分类讨论的关键点
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
思维建模
3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R).
解：原不等式可化为(x-a)(x+2)>0(a∈R).
当a=-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(-2，+∞)；
当a>-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(a，+∞)；
当a<-2时，不等式的解集为(-∞，a)∪(-2，+∞).
即时训练
[例3]　(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5}，则下列说法正确的是 (　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-5}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c>0
√
题点三　三个“二次”之间的关系
√
解析：由题意得，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，即a>0，故A正确；因为-4，5是方程ax2+bx+c=0的根，所以解得所以bx+c>0，即-ax-20a>0，解得x<-20，故B错误；不等式cx2-bx+a<0等价于-20ax2+ax+a<0，即20x2-x-1>0，即(5x+1)·
(4x-1)>0，解得x<-或x>，故C正确；因为1 {x|x≤-4或x≥5}，所以a+b+c<0，故D错误.
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
思维建模
4.[多选]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为，则下列说法正确的是(　　)
A.a<0
B.a+b=-5
C.不等式ax2+x-b>0的解集是
D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1，+∞)
即时训练
√
√
√
解析：由题意得，a<0，且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=-1，x2=，则解得a+b=-3-2=-5，故A、B正确；
由上知ax2+x-b>0，即-3x2+x-(-2)>0，即(3x+2)(x-1)<0，解得
-0的解集为，故C正确，D不正确.
对于不等式ax2+bx+c>0，若其解集为(-∞，m)∪(n，+∞)，则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m，n，且m谨记结论
5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1解：由题知x1，x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根，所以Δ=4a2+32a2=36a2>0，且x1+x2=2a，x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15，所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2，又a>0，解得a=
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.不等式x2+x-2<0的解集为(　　)
A.{x|-2C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2}
解析：因为x2+x-2<0，即(x+2)(x-1)<0，解得-2√
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2.不等式≤1的解集为(　　)
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2C.{x|x≤-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥1}
解析：由≤1，即≤0，
得解得x≥1或x<-2.
√
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3.若0A. B.
C. D.
解析：因为0m，所以(x-m)<0的解集为.
√
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4.若不等式>1的解集为{x|x<-1或x>4}，则不等式≥0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：因为不等式>1可转化为>0，
其解集为或，所以a>1，且方程=0的两个根为x1=-1，x2=4，则或解得或(舍去).所以≥0，即解得-6≤x<-.
所以不等式≥0的解集为.
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5.已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)，则+3ab的最小值是(　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
√
1
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2
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13
解析：由一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)可得m>0，
利用根与系数的关系可得即可得a+b=3ab，且a>0，
b>0，+=3，所以+3ab=+3ab=3a-1+a+b=4a+b-1.易知4a+b-
1=(4a+b)-1=-1≥-1=2，当
且仅当=，即a=，b=1时等号成立，故+3ab的最小值是2.
1
5
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2
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13
6.若关于x的不等式组的整数解只有-2，则k的取值范围为(　　)
A.(1，2) B.[1，2]
C.(1，2] D.[-3，2)
解析：易得x2-x-2>0的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)，2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)·(x+k)<0，当k<时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为，
√
1
5
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9
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2
3
4
13
因为关于x的不等式组的整数解只有
-2，所以-2<-k≤3，即-3≤k<2；
当k=时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集，不满足题意；
当k>时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为，不满足题意.
综上，k的取值范围为[-3，2).

1
5
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二、多选题
7.已知不等式ax2+2x+c>0的解集为，则下列选项正确的是(　　)
A.a=-12 B.c=-12
C.c=2 D.a=2
√
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√
解析：由于不等式ax2+2x+c>0的解集为，
所以x1=-和x2=是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，故-+=-且
-×=，
解得a=-12，c=2，故选AC.
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8.若存在m，n(mA.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n}
C.c=-n
D.a2+2a>4b-4c
√
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√
解析：因为m1，所以n-m=
=>1，两边平方得a2+2a>4b-4c，D正确.
1
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13
9.已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A.(1，a)
B.(-∞，1)∪(a，+∞)
C.(-∞，a)∪(1，+∞)
D.
√
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√
√
解析：当a<0时，不等式等价于(x-1)·(x-a)<0，解得a当a=0时，不等式的解集是 ；
当00，解得x>1或x当a=1时，不等式等价于(x-1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0，解得x>a或x<1.
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三、填空题
10.不等式>2的解集为_____________________.
解析：因为>2，所以-2=>0，等价于(1-2x)(x+2)>0，解得-2即不等式>2的解集为.
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11.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为________.
解析：依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，
因此不等式x2+bx+c<0，即x2-x-6<0，
解得-2所以原不等式的解集为(-2，3).
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(-2，3)
四、解答题
12.(10分)已知二次函数f(x)=x2-ax-2a2，a∈R.
(1)若f(1)<0，求实数a的取值范围；(4分)
解：由已知得f(1)=1-a-2a2<0，
即(a+1)(2a-1)>0，解得a<-1或a>.
所以实数a的取值范围为(-∞，-1)∪.
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(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.(6分)
解：f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，
令f(x)=0，得x1=2a，x2=-a，
当2a<-a，即a<0时，解得x<2a或x>-a；
当2a=-a，即a=0时，解得x≠0；
当2a>-a，即a>0时，解得x<-a或x>2a.
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综上所述，当a<0时，
不等式的解集为(-∞，2a)∪(-a，+∞)；
当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)∪(0，+∞)；
当a>0时，不等式的解集为(-∞，-a)∪(2a，+∞).
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13.(10分)已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞).
(1)求a和b的值；(3分)
解：由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0，
由根与系数的关系得解得
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(2)求不等式ax2-(2a+b+2)x+1-c2<0的解集.(7分)
解：由a=1，b=-2，得不等式可化为x2-2x+1-c2<0，即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0，则该不等式对应方程的实数根为1+c和1-c.
当c>0时，1+c>1-c，解得1-c当c=0时，1+c=1-c，不等式的解集为空集；
当c<0时，1+c<1-c，解得1+c1
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综上，当c>0时，不等式的解集为(1-c，1+c)，
当c=0时，不等式的解集为空集，
当c<0时，不等式的解集为(1+c，1-c).
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13课时跟踪检测(六)　二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1.不等式x2+x-2<0的解集为 (　　)
A.{x|-2C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2}
2.不等式≤1的解集为 (　　)
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2C.{x|x≤-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥1}
3.若0A. B.
C. D.
4.若不等式>1的解集为{x|x<-1或x>4},则不等式≥0的解集为 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a,b),则+3ab的最小值是 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
6.若关于x的不等式组的整数解只有-2,则k的取值范围为 (　　)
A.(1,2) B.[1,2]
C.(1,2] D.[-3,2)
二、多选题
7.已知不等式ax2+2x+c>0的解集为,则下列选项正确的是 (　　)
A.a=-12 B.c=-12
C.c=2 D.a=2
8.若存在m,n(mA.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}
B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n}
C.c=-n
D.a2+2a>4b-4c
9.已知a∈R,关于x的不等式>0的解集可能是 (　　)
A.(1,a) B.(-∞,1)∪(a,+∞)
C.(-∞,a)∪(1,+∞) D.
三、填空题
10.不等式>2的解集为　　　　　　.
11.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知二次函数f(x)=x2-ax-2a2,a∈R.
(1)若f(1)<0,求实数a的取值范围;(4分)
(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.(6分)
13.(10分)已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞).
(1)求a和b的值;(3分)
(2)求不等式ax2-(2a+b+2)x+1-c2<0的解集.(7分)
课时跟踪检测(六)
1.选A　因为x2+x-2<0,即(x+2)(x-1)<0,解得-22.选D　由≤1,即≤0,
得解得x≥1或x<-2.
3.选D　因为0m,所以(x-m)<0的解集为.
4.选A　因为不等式>1可转化为[(a-1)x-b+1](x+b)>0,其解集为或,
所以a>1,且方程=0的两个根为x1=-1,x2=4,
则或解得
或(舍去).所以≥0,
即解得-6≤x<-.
所以不等式≥0的解集为.
5.选A　由一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a,b)可得m>0,利用根与系数的关系可得
即可得a+b=3ab,且a>0,b>0,+=3,
所以+3ab=+3ab=3a-1+a+b=4a+b-1.
易知4a+b-1=(4a+b)-1=-1≥-1=2,当且仅当=,即a=,b=1时等号成立,故+3ab的最小值是2.
6.选D　易得x2-x-2>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)(x+k)<0,
当k<时,2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为,
因为关于x的不等式组的整数解只有-2,
所以-2<-k≤3,即-3≤k<2;
当k=时,2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集,不满足题意;
当k>时,2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为,不满足题意.综上,k的取值范围为[-3,2).
7.选AC　由于不等式ax2+2x+c>0的解集为,
所以x1=-和x2=是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,故-+=-且-×=,
解得a=-12,c=2,故选AC.
8.选AD　因为m1,所以n-m==>1,两边平方得a2+2a>4b-4c,D正确.
9.选BCD　当a<0时,不等式等价于(x-1)(x-a)<0,解得a当a=0时,不等式的解集是 ;
当00,解得x>1或x当a=1时,不等式等价于(x-1)2>0,解得x≠1;
当a>1时,不等式等价于(x-1)(x-a)>0,解得x>a或x<1.
10.解析:因为>2,所以-2=>0,
等价于(1-2x)(x+2)>0,解得-2即不等式>2的解集为.
答案:
11.解析:依题意知,c=-3×2=-6,-b=-3+4=1,即b=-1,
因此不等式x2+bx+c<0,即x2-x-6<0,
解得-2答案:(-2,3)
12.解:(1)由已知得f(1)=1-a-2a2<0,
即(a+1)(2a-1)>0,解得a<-1或a>.
所以实数a的取值范围为(-∞,-1)∪.
(2)f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,
令f(x)=0,得x1=2a,x2=-a,
当2a<-a,即a<0时,解得x<2a或x>-a;
当2a=-a,即a=0时,解得x≠0;
当2a>-a,即a>0时,解得x<-a或x>2a.
综上所述,当a<0时,
不等式的解集为(-∞,2a)∪(-a,+∞);
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a>0时,不等式的解集为(-∞,-a)∪(2a,+∞).
13.解:(1)由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0,
由根与系数的关系得解得
(2)由a=1,b=-2,得不等式可化为x2-2x+1-c2<0,即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0,则该不等式对应方程的实数根为1+c和1-c.
当c>0时,1+c>1-c,解得1-c当c=0时,1+c=1-c,不等式的解集为空集;
当c<0时,1+c<1-c,解得1+c综上,当c>0时,不等式的解集为(1-c,1+c),
当c=0时,不等式的解集为空集,
当c<0时,不等式的解集为(1+c,1-c).

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