资源简介 第六节 一元二次不等式恒成立问题题点一 在实数集R上的恒成立问题[例1] 若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 ( )A.[2,18] B.(-18,-2)C.(2,18) D.(0,2)|思维建模| 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定.(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或[即时训练]1.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为 ( )A.(0,1] B.[0,1]C.(1,+∞) D.[1,+∞)题点二 在给定区间上的恒成立问题[例2] 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.方法引入:解决此题可从两方面入手,一是函数法,对m>0,m<0分别讨论,从而确定g(x)在[1,3]上的单调性,求出最大值;二是分离参数,再求出对应函数在[1,3]上的最小值.|思维建模| 在给定区间上恒成立问题的求解策略策略一:若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围.策略二:转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.[即时训练]2.已知函数f(x)=ax2-2x+a,对x∈都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是 ( )A.[1,+∞) B.C. D.3.已知函数f(x)=x2-x+1.(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若 x∈[1,2],f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.|习得方略| 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值,即a>f(x)能成立 a>f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.题点三 变换主元解决恒成立问题[例3] 已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 ( )A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)|思维建模| 给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立 即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立 [即时训练]4.若命题“ -1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 ( )A.{x|-1≤x≤4}B.C.D.第六节 一元二次不等式恒成立问题题点一[例1] 选C 当k=0时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不符合题意;当k≠0时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,所以解得2[即时训练]1.选B 由题意,不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.当a=0时,1≥0恒成立,符合题意.当a≠0时,则解得0综上,a的取值范围是[0,1].题点二[例2] 解:法一 要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m+m-6<0在[1,3]上恒成立.令g(x)=m+m-6,x∈[1,3],当m>0时,g(x)在区间[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0当m<0时,g(x)在区间[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是.法二 要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m(x2-x+1)-6<0.又x2-x+1=+>0,所以m<.因为函数y==在区间[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是.[即时训练]2.快审准解:根据不等式恒成立,分离参数,可得a≥,对x∈恒成立,构造函数,结合函数的单调性求其最小值,即可求得答案.选A 由题意知ax2-2x+a≥0对x∈恒成立,即a≥=,对x∈恒成立.设g(x)=x+,由于g(x)在上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2,则≤1,当且仅当x=1时等号成立,故a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞),故选A.3.解:(1)由题意得Δ=-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].(2)由题意 x∈[1,2],使得≤x-成立.令g(x)=x-,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=,∴≤,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].题点三[例3] 选C 把不等式的左端看成关于a的函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组得x<1或x>3.[即时训练]4.选C 由题意可得命题“ -1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立,则解得-1≤x≤0或≤x≤4,即实数x的取值范围为.(共43张PPT)第六节一元二次不等式恒成立问题目录01.题点一 在实数集R上的恒成立问题02.题点二 在给定区间上的恒成立问题04.课时跟踪检测03.题点三 变换主元解决恒成立问题[例1] 若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 ( )A.[2,18] B.(-18,-2)C.(2,18) D.(0,2)解析:当k=0时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不符合题意;当k≠0时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,所以解得2√题点一 在实数集R上的恒成立问题不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定.(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 思维建模1.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为( )A.(0,1] B.[0,1]C.(1,+∞) D.[1,+∞)即时训练√解析:由题意,不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.当a=0时,1≥0恒成立,符合题意.当a≠0时,则解得0综上,a的取值范围是[0,1].[例2] 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.方法引入:解决此题可从两方面入手,一是函数法,对m>0,m<0分别讨论,从而确定g(x)在[1,3]上的单调性,求出最大值;二是分离参数,再求出对应函数在[1,3]上的最小值.题点二 在给定区间上的恒成立问题解:法一 要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m+m-6<0在[1,3]上恒成立.令g(x)=m+m-6,x∈[1,3],当m>0时,g(x)在区间[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0当m<0时,g(x)在区间[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是 .法二 要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m(x2-x+1)-6<0.又x2-x+1=+>0,所以m<.因为函数y==在区间[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是 .在给定区间上恒成立问题的求解策略思维建模策略一 若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围策略二 转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a2.已知函数f(x)=ax2-2x+a,对x∈都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞) B.C. D.快审准解:根据不等式恒成立,分离参数,可得a≥,对x∈恒成立,构造函数,结合函数的单调性求其最小值,即可求得答案.即时训练√解析:由题意知ax2-2x+a≥0对x∈恒成立,即a≥=,对x∈恒成立.设g(x)=x+,由于g(x)在上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2,则≤1,当且仅当x=1时等号成立,故a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞),故选A.3.已知函数f(x)=x2-x+1.(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;解:由题意得Δ=-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].(2)若 x∈[1,2],f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.解:由题意 x∈[1,2],使得≤x-成立.令g(x)=x-,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=,∴≤,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值,即a>f(x)能成立 a>f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.习得方略[例3] 已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 ( )A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)√题点三 变换主元解决恒成立问题解析:把不等式的左端看成关于a的函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组得x<1或x>3.给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立 即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立 思维建模4.若命题“ -1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 ( )A.{x|-1≤x≤4}B.C.D.即时训练√解析:由题意可得命题“ -1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立,则解得-1≤x≤0或≤x≤4,即实数x的取值范围为.课时跟踪检测04一、单选题1.已知命题p: x∈R,(a+1)x2-2(a+1)x+3>0为真命题,则实数a的取值范围是( )A.(-1,2) B.[1,+∞]C.(-∞,-1) D.[-1,2)解析:当a=-1时,3>0恒成立;当a≠-1时,需满足解得-1√1567891011122342.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是 ( )A.[0,4] B.(-∞,4]C. D.(-∞,5]√156789101112234解析:不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则 x∈[1,3],a≤x+恒成立,而x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,因此a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].1567891011122343.若命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1>0”为假命题,则m的取值范围为 ( )A.[3,+∞) B.C. D.√156789101112234解析:因为命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1>0”为假命题,所以命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1≤0”为真命题.因为函数f(x)=x2-4x-2m+1在(-∞,2]上单调递减,所以只需f(-1)=(-1)2-4×(-1)-2m+1≤0,解得m≥3,即m的取值范围为[3,+∞).1567891011122344.若关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,则实数a的取值范围是 ( )A. B.C. D.(1,+∞)√156789101112234解析:关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即a>-x在[1,5]上有解,(关键点拨:对于一元二次不等式在给定区间上有解的问题,一般通过分离参数求解)所以a>.设f(x)=-x,x∈[1,5],易知f(x)在[1,5]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(5)=-5=-,所以实数a的取值范围是.1567891011122345.“关于x的不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件快审准解:求出不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时的a的取值范围,再由必要不充分条件的定义判断可得答案.√156789101112234解析:当2a-3=0,即a=时,不等式0×x2-0×x+4≥0的解集为R,符合题意;当2a-3≠0,即a≠时,若不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R,则解得156789101112234综上,当不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时,≤a≤,充分性不成立;若所以“不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“1567891011122346.已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是 ( )A.[4,+∞) B.[0,+∞)C.[6,+∞) D.[8,+∞)快审准解:首先将不等式转化为关于的不等式,再根据参变分离,转化为求函数的最值.√156789101112234解析:因为x∈[1,2],y∈[2,3],则∈,所以∈[1,3].又y2-xy-mx2≤0,所以m≥-.令t=∈[1,3],则原命题等价于 t∈[1,3],m≥t2-t,即m≥(t2-t)max .因为y=t2-t=-,当t=3时,y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6,所以实数m的取值范围是[6,+∞).156789101112234二、多选题7.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值可能是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:由题意可知ax2-2ax+3≠0对一切实数恒成立.当a=0时,3≠0对 x∈R恒成立;当a≠0时,Δ=(-2a)2-4a×3<0,解得0√156789101112234√√8.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是 ( )A.4 B.5C.6 D.7√156789101112234√解析:画出函数f(x)=x2+5x+m的大致图象如图所示,关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合,由函数f(x)=x2+5x+m图象的对称轴为x=-,知为使得不等式的解集中有且仅有2个整数,只需使得解得4≤m<6.156789101112234三、填空题9.对任意x∈[1,+∞),不等式(m-3)x2≥x+1恒成立,则实数m的取值范围是_________. 解析:由题意得m≥3++=+对任意x∈[1,+∞)恒成立,由复合函数的单调性可知y=+在[1,+∞)上单调递减,所以m≥3+1+1=5,即实数m的取值范围是[5,+∞).156789101112234[5,+∞)10.若mx2-1<0对于m∈[0,2]恒成立,则实数x的取值范围为_________________. 解析:令f(m)=x2m-1(m∈[0,2]),因为x2m-1<0对于m∈[0,2]恒成立,所以即解得-156789101112234四、解答题11.(10分)已知不等式mx2-mx+2≥0.(1)当x∈R时,不等式恒成立,求实数m的取值范围;(5分)解:若m=0,则原不等式可化为2≥0,显然恒成立;若m≠0,则不等式mx2-mx+2≥0恒成立,等价于解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤8}.156789101112234(2)当3≤x≤5时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.(5分)解:当m=0时,原不等式可化为2≥0,显然恒成立;当m>0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向上,对称轴为直线x=,若x∈[3,5]不等式恒成立,则解得m>0;156789101112234当m<0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向下,对称轴为直线x=,若x∈[3,5]不等式恒成立,则解得-≤m<0.综上,实数m的取值范围是 .15678910111223412.(10分)已知集合A={x|x2+x-2<0},B={x|x2-3mx+2m2<0}.(1)若m=-1,且A,B同时成立,求x的取值范围;(4分)解:解不等式x2+x-2<0,得-2当m=-1时,解不等式x2+3x+2<0,得-2156789101112234(2)设命题p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,若命题 p为真命题,求a的取值范围.(6分)解:因为p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,所以 p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a≤8为真命题,设f(x)=x2+(1-2a)x+a2+a-8,则f(x)≤0在(-2,1)上有解,所以f(-2)=a2+5a-6≤0或f(1)=a2-a-6≤0 -6≤a≤1或-2≤a≤3,即-6≤a≤3.所以a的取值范围为[-6,3].156789101112234课时跟踪检测(七) 一元二次不等式恒成立问题一、单选题1.已知命题p: x∈R,(a+1)x2-2(a+1)x+3>0为真命题,则实数a的取值范围是 ( )A.(-1,2) B.[1,+∞]C.(-∞,-1) D.[-1,2)2.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是 ( )A.[0,4] B.(-∞,4]C. D.(-∞,5]3.若命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1>0”为假命题,则m的取值范围为 ( )A.[3,+∞) B.C. D.4.若关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,则实数a的取值范围是 ( )A. B.C. D.(1,+∞)5.“关于x的不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是 ( )A.[4,+∞) B.[0,+∞)C.[6,+∞) D.[8,+∞)二、多选题7.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值可能是 ( )A.0 B.1C.2 D.38.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是 ( )A.4 B.5C.6 D.7三、填空题9.对任意x∈[1,+∞),不等式(m-3)x2≥x+1恒成立,则实数m的取值范围是 . 10.若mx2-1<0对于m∈[0,2]恒成立,则实数x的取值范围为 . 四、解答题11.(10分)已知不等式mx2-mx+2≥0.(1)当x∈R时,不等式恒成立,求实数m的取值范围;(5分)(2)当3≤x≤5时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.(5分)12.(10分)已知集合A={x|x2+x-2<0},B={x|x2-3mx+2m2<0}.(1)若m=-1,且A,B同时成立,求x的取值范围;(4分)(2)设命题p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,若命题 p为真命题,求a的取值范围.(6分)课时跟踪检测(七)1.选D 当a=-1时,3>0恒成立;当a≠-1时,需满足解得-12.选B 不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则 x∈[1,3],a≤x+恒成立,而x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,因此a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].3.选A 因为命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1>0”为假命题,所以命题“ x∈[-1,1],x2-4x-2m+1≤0”为真命题.因为函数f(x)=x2-4x-2m+1在(-∞,2]上单调递减,所以只需f(-1)=(-1)2-4×(-1)-2m+1≤0,解得m≥3,即m的取值范围为[3,+∞).4.选C 关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即a>-x在[1,5]上有解,(关键点拨:对于一元二次不等式在给定区间上有解的问题,一般通过分离参数求解)所以a>.设f(x)=-x,x∈[1,5],易知f(x)在[1,5]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(5)=-5=-,所以实数a的取值范围是.5.快审准解:求出不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时的a的取值范围,再由必要不充分条件的定义判断可得答案.选B 当2a-3=0,即a=时,不等式0×x2-0×x+4≥0的解集为R,符合题意;当2a-3≠0,即a≠时,若不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R,则解得综上,当不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时,≤a≤,充分性不成立;若所以“不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“6.快审准解:首先将不等式转化为关于的不等式,再根据参变分离,转化为求函数的最值.选C 因为x∈[1,2],y∈[2,3],则∈,所以∈[1,3].又y2-xy-mx2≤0,所以m≥-.令t=∈[1,3],则原命题等价于 t∈[1,3],m≥t2-t,即m≥(t2-t)max.因为y=t2-t=-,当t=3时,y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6,所以实数m的取值范围是[6,+∞).7.选ABC 由题意可知ax2-2ax+3≠0对一切实数恒成立.当a=0时,3≠0对 x∈R恒成立;当a≠0时,Δ=(-2a)2-4a×3<0,解得08.选AB 画出函数f(x)=x2+5x+m的大致图象如图所示,关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合,由函数f(x)=x2+5x+m图象的对称轴为x=-,知为使得不等式的解集中有且仅有2个整数,只需使得解得4≤m<6.9.解析:由题意得m≥3++=+对任意x∈[1,+∞)恒成立,由复合函数的单调性可知y=+在[1,+∞)上单调递减,所以m≥3+1+1=5,即实数m的取值范围是[5,+∞).答案:[5,+∞)10.解析:令f(m)=x2m-1(m∈[0,2]),因为x2m-1<0对于m∈[0,2]恒成立,所以即解得-答案:11.解:(1)若m=0,则原不等式可化为2≥0,显然恒成立;若m≠0,则不等式mx2-mx+2≥0恒成立,等价于解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤8}.(2)当m=0时,原不等式可化为2≥0,显然恒成立;当m>0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向上,对称轴为直线x=,若x∈[3,5]不等式恒成立,则解得m>0;当m<0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向下,对称轴为直线x=,若x∈[3,5]不等式恒成立,则解得-≤m<0.综上,实数m的取值范围是.12.解:(1)解不等式x2+x-2<0,得-2当m=-1时,解不等式x2+3x+2<0,得-2(2)因为p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a>8,所以 p: x∈A,x2+(1-2a)x+a2+a≤8为真命题,设f(x)=x2+(1-2a)x+a2+a-8,则f(x)≤0在(-2,1)上有解,所以f(-2)=a2+5a-6≤0或f(1)=a2-a-6≤0 -6≤a≤1或-2≤a≤3,即-6≤a≤3.所以a的取值范围为[-6,3]. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第六节 一元二次不等式恒成立问题.docx 第六节 一元二次不等式恒成立问题.pptx 课时跟踪检测(七) 一元二次不等式恒成立问题.docx