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杨浦区2024-2025学年第二学期高二年级数学期中统考
2025.4
一、填空题（每题3分，满分36分）
1．直线的斜率为 ．
2．椭圆的长轴长为 ．
3．抛物线的准线方程是 ．
4．已知空间向量，，若，则实数的值为 ．
5．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ．
6．已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．
7．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则 ．
8．已知圆与圆内切，则实数 ．
9．已知直线与直线平行，其中，则直线与之间的距离等于 ．
10．已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小
为______．
11．斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 ．
12．如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ．
二、选择题（每题3分，满分12分）
13．若直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
14．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与该双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．过原点的直线与双曲线交于、两点，其中点在第二象限，将下半平面沿轴折起，使之与上半平面成直二面角，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
三、解答题（满分52分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．已知三个顶点坐标分别为、、．
（1）求的面积；
（2）求边上的中线与边上的高的交点坐标．
18．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线交抛物线于、两点，若，求直线的方程．
20．如图所示，在直三棱柱中，，，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
21．已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，交轴于点．若，，求证：为定值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 ．
【答案】
【解析】斜率为1的直线过抛物线的焦点，
设直线1的方程为，若与圆相切，可得，
解得或18．故答案为：2或18．
12．如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：，设，则，
可得，因为，则解得，即点的横坐标为．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.A 16.B
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与该双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点在以为直径的圆上，，可得①
又点在双曲线的渐近线上，②，
①②联解，得且，可得双曲线的方程，故选A.
16．过原点的直线与双曲线交于、两点，其中点在第二象限，将下半平面沿轴折起，使之与上半平面成直二面角，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【解析】设过原点的直线为，与双曲线联立得交点.
折叠后，点Q的坐标为
线段PO的长度为：
令，则.当时，，故选B.
三．解答题
17.（1） （2）
18.
19.（1） （2）
20．如图所示，在直三棱柱中，，，，是棱的中点．
（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系.
由题意知，，，，，
又平面
（2）设是平面的法向量．则，
又，，取，得．
由（1）知，是平面的一个法向量，
记与的夹角为，则，
结合三棱柱可知，二面角是锐角，所求二面角的大小是．
21．已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，交轴于点．若，，求证：为定值．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，椭圆的方程；
（2）证明：设的坐标分别为，，
由知，可得，
又在椭圆上，则，整理得，
由，同理得，
由于不重合，即，故是一元二次方程，的两根，，为定值．

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