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泸县五中高2022级高考适应性考试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．已知，则
A． B． C． D．
3．设函数,则
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为
A．1 B． C． D．3
5．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
6．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
7．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是
A．当时， B．当时，事件与事件不独立
C．当时， D．当时，事件与事件不独立
8．已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A．499 B．500 C．501 D．502
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若z是非零复数，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是
A． B．
C． D．
11．如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则
A． B．
C．的最小值为0 D．的最大值为
第II卷（非选择题共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12． ．
13．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且与的图象关于点对称，那么的最小值等于 .
14．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（Ⅰ）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（Ⅱ）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．（15分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求A．
（Ⅱ）若，，求的周长．
17．（15分）
如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面BEF；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.
18．（17分）
如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；
（Ⅱ）求焦点到直线的距离（用表示）；
（Ⅲ）在中，记，，求的最大值．
19．（17分）
已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．泸县五中高2022级高考适应性考试
数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D A B D D BCD BCD
题号 11
答案 ABD
二．填空题
12．2 13．6 14．
三．解答题
15．解：（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得，因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
16．解：（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
17．解：（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，
设平面的法向量为，则，得，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
（3）法一：过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.

法二：平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，
因为，所以，故二面角的正弦值为.
18．解：（1）将点代入抛物线方程可得：，抛物线
设，与抛物线方程联立可得：
，∴
用代可得：
因此，即．
（2）由（Ⅰ）可知，，，
因此
到直线的距离．
（3）
∵
∴
，
令，由得
∴
当且仅当时取等号．
19．解：（1）的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即． ①
（2）；；
．
由此推测： ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当时，左边右边，②成立．
（2）假设当时，②成立，即．
当时，，
由归纳假设可得．
所以当时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立．
（3）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得
．即．

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