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绍兴一中2025届高三校模拟考试（数学）试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于方程，（），“方程有两个不等实根”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
8．已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则直线
10．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递增
C． D．
11．曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称 B．存在点P，使得
C．面积的最大值是1 D．存在点P，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
13．已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是 ．
14．一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答）
四、解答题：本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)求直线到平面的距离.
16．（本小题满分15分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工程延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数的均值与方差；
(2)在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.
17．（本小题满分15分）
已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与y轴交于点Q，与E交于两个相异点，且，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知函数，其中．
(1)若是偶函数，求；
(2)当时，讨论在上的零点个数；
(3)已知，若，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
若对，都有，则称与为“k级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的个数．绍兴一中2025届高三校模拟考试（数学）试题参考答案
BACC CCBD AC ABD BCD 9450
15．【解答】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
又为线段的中点，所以，
所以，
又平面的法向量可以为，
所以，即，
又平面，所以平面.
（2）由（1）可得，所以，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为，平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
又，所以点到平面的距离，
即直线到平面的距离为.
16．【解答】（1）由已知条件和概率的加法公式有：，，
，
，
所以的分布列为：
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是，，
.
故工期延误天数的均值为，方差为；
（2）由对立事件的概率公式可得，
又，
由条件概率得，
故在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率是．
17．【解答】（1）依题意，设，，则，
且，即，
又点在圆上，
故，即点的轨迹的方程为．
（2）根据已知得，设，
由得，
由已知得，即.且.
由得，即.∴,
∴，即.
当时，不立.
∴,∵,∴,即.
∴，所以的取值范围为(1,4).
18．【解答】（1）因为函数是偶函数，所以.
即，，
所以，
所以，所以，又，所以.
（2）当时，，，可得，
令，则.
当时，，所以，
当时，，所以在单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，，，所以在上存在一个零点.
综上，函数在有两个零点.
（3）当时，
若时，，所以，
若时，
因为，可得，则成立；
只需考虑，此时令，
则，在递增，
又，，
所以存在，使得，
可得，
若，则，在递减；
若，则，在上递增.
所以，解得.
此时，所以，从而.
所以的取值范围为．
19．【解答】（1）当时，，
当时，，
当时，也成立，所以，
所以，
所以，
所以，
所以与是“2级相邻数列”
（2）由，
所以，
又与为“4级相邻数列”，所以，得，又
令，得，
所以单调递减，所以的最大值为，且，
所以，
（3）因为与为“1级相邻数列”，所以
当时，有2种不同选择；时，有3种不同选择；时，有3种不同选择，时，有2中不同选择.
由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，所以有共6种不同的情况.
当M＝{1，2}时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）；也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）；还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）.
1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有种不同的情况，
贡献个不同的数列；
同样时也各贡献528个不同的数列；
时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）；也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）；还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列），贡献个不同的数列；
时贡献个不同的数列；
共计有个不同的数列；
即满足条件的数列的个数为3470．

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