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东三省名校联盟2025届高三《最后一卷》联合模拟考试
数学
(考试时间：120分钟试卷满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上，并认真阅读答题卡上的注意事项。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.(0，2)
2.等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B.20 C. D.
3.已知，且，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.在中，已知，，，是边上的中线，则（ ）
A. B. C. D.
6.设为任意给定的大于1的整数，每个正整数均可以唯一地表示成，我们将称为的进制表示.例如：由可知，2024的三进制表示为2024=.那么，2025的二进制可表示为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正三棱锥有一个半径为的内切球，则所有这样的正三棱锥中体积最小的一个的体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在[35，95]之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（ ）
A.图中的值为0.029
B.参赛学生分数位于区间的概率约为0.85
C.样本数据的75%分位数约为79
D.参赛学生的平均分数约为69.4
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A.在区间上单调递增
B.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称
C.若是偶函数，则
D.若在区间上恰有3个零点，则
11.定义在上的函数满足，，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数关于点(2，0)对称B.函数关于直线对称
C.函数的周期为4D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_____.
13.把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为_____.(用数字作答)
14.已知为正数，且满足，则的最小值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程证明或验算步骤.
15.(13分)如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面分别为线段的中点.
(1)求证：平面.
(2)求平面和平面夹角的正弦值.
16.(15分)2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人UnitreeA1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控、物流运输、安防与救援等场景.现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表：
月份 2 3 4 5 6
销售量 45 55 70 110
用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差.
(1)求的值(结果精确到0.1)；
(2)(i)求的值；
(ii)现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差.
附：回归系数，相关系数.
17.(15分)已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
18.(17分)已知函数.
(1)当时，求的极小值点与极小值.
(2)讨论函数的单调性.
(3)若函数有两个零点，且，证明：.
19.(17分)如图，椭圆和圆，过点作两条相互垂直的直线，，其中与圆相切于点与椭圆相交于不同的两点.
(1)若，求直线的方程；
(2)求的取值范围;
(3)求面积的最大值.
东三省名校联盟2025届高三《最后一卷》联合模拟考试数学
参考答案及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A B C D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AC ACD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程证明或验算步骤.
15.(1)证明：如图1，连接，交于点，连接.(1分)
四边形为菱形，
为线段的中点.(2分)
为线段的中点，
.(3分)
平面平面，(4分)
平面.(5分)
图1 图2
(2)解：如图2，连接.
四边形为菱形，，
为正三角形.
为正三角形，为线段的中点，
.
侧面底面，
数学D1两两垂直.(6分)如图2，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.，
.
如图2，过点作交的延长线于点，则在中，，
.
，
.(7分)
设为平面的法向量，
则(8分)
令，则，
为平面的一个法向量.(9分)
设为平面的法向量，
则(10分)
令，则，
为平面的一个法向量，(11分)
.(12分)
设平面和平面的夹角为，
则.(13分)
16.解：(1)由表得，.(2分)
由，得.(3分)
，(4分)
.(5分)
(2)(i)回归直线过样本中心点，且，
，即，解得.(7分)
(ii)这5个月中销量大于60的月份有3个，
每次抽取到销量大于60的月份的概率为，
，(8分)
，
，(12分)的分布列为(13分)
0 1 2 3
.(15分)
17.(1)解：，①
当时，，②
①-②，得，(2分)
两边同时除以，得.(3分)
当时，.
，
，解得，(5分)
此时，也满足，(6分)
数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，即.(8分)
(2)证明：当时，，(9分)
当时，，(12分)
.(15分)
18.(1)解：当时，，
，(1分)令，即，解得.
，
当时，单调递减;
当时，单调递增，(3分)
的极小值点为，极小值为.(4分)
(2)解：，
.
当时，恒成立，在上单调递减;(6分)
当时，令，即，解得，
当时，单调递减;
当时，单调递增.(9分)
综上所述，当时，在上单调递减;
当时，在上单调递减，在上单调递增.(10分)
(3)证明：方法一：当时，.
由(2)知，在(0，e)上单调递减，在上单调递增.
，
.(11分)
，
.(12分)
要证，只需证.
在(0，e)上单调递减，且，
只要证明即可.(13分)
，
，(14分)
令，(15分)，
在(e，2e)上单调递增，
，即，
.(17分)
方法二：当时，.
有两个零点，
，即，
化简得，(12分)
两边同时除以，得，
设，(14分)
则，
在上单调递增，
，
，
令，则，(16分)
化简得，
.
，解得.(17分)
方法三：当时，.
有两个零点，
，即，则.(12分)令，则，
代入上式中，得，化简得，
，
，(14分)
要证，只需证，即证.
设，(16分)
，
在上单调递增，
，
，
.(17分)
19.解：(1)由题意得，直线过点，设直线的斜率为，显然存在且不为0，
则直线的方程为，即.(1分)
直线与圆相切于点，
，解得，(2分)
直线的方程为或.(3分)
(2)由题意得，直线和直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，即，
则直线的方程为，即.(4分)
直线与圆相切，
，即(5分)
联立得，(6分)
，(7分)
即，解得.(8分)
，
，即的取值范围为.(9分)
(3)设.
由(2)得，，(10分)
(11分)
圆心到直线的距离，(12分)
.(13分)
令，则.(14分)
由(2)知，，
，
，(15分)
，(16分)
当时，.(17分)

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