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2025河南省周口市项城市高三三模数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，母线长为现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是参考数据：( )
A. B. C. D.
5.过圆：外的点作的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线，和平面，其中，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知为的一个内角，且，则( )
A. B. C. D.
8.若数轴上有一个质点位于处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第次运动后首次到达处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点在第一象限，中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，则下列结论正确的是( )
A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时，
C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是
10.已知三个正态密度函数的图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则存在实数，使得
11.已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：则( )
A. 的通项公式是 B. 函数是增函数
C. 可能是等比数列 D. 若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，满足，则 ______．
13.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
14.设直线与抛物线：相交于点，，点为抛物线的焦点若，则点的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知，，为边上的靠近点的三等分点．
求角；
求．
16.本小题分
已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，．
求数列与的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，，，得到如图所示的五棱锥．
证明：在翻折过程中，总有．
若平面平面，线段上是否存在一点可与点重合，使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，与曲线经过轴上的同一点．
求的方程；
作曲线在处的切线．
若，与相交于，两点，是上任意一点，求面积的最大值；
当时，证明与有两个公共点．
19.本小题分
若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“函数”．
判断以下函数是否为“函数”，请说明理由．
；
；
．
若非常值函数存在二阶导数，证明：为“函数”的充要条件是为常值函数．
已知非常值函数为“函数”，且记为不超过的最大整数，讨论函数在区间上的单调性．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
．
16. 解：已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，
且，，，，
设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
由可得，
所以，
则，
两式相减得
，
所以数列的前项和．
17. 解：证明：因为四边形是菱形且，
所以，．
因为，分别是边，的中点，，所以．
因为，所以，．
即在五边形中，，，，
在中，．
在折叠过程中，，又因为，所以，
又，，，平面，
所以平面．
连接，因为平面，所以．
又，所以垂直平分线段，
所以．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面因为平面，所以．
又因为，所以，，两两垂直，故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设菱形的边长为，则，
，
所以，
．
假设线段上存在符合题意的点，设，
则．
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因为，
则，所以
可取．
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
因为，
所以点到平面的距离，
即，
即，
化简得，解得舍去．
综上，当点到平面的距离是菱形边长的时，
点在线段的中点处，此时平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18. 解：因为椭圆经过点，
所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，
又，
解得，，
则椭圆的方程为；
当时，切线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，
所以，
设，
此时点到的距离，
因为点在椭圆上，
所以，
令，
此时，
所以，
令，
解得，
所以，，
则面积的最大值为，
当且仅当，即，时，等号成立；
证明：易知切线，
即，
联立，消去并整理得，
此时，
此时需证，
即证，
设，函数定义域为，
可得，
设，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递减，
因为，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
则．
故与有两个公共点．
19. 解：因为，所以，，
故，故不是“函数”；
因为，，，
所以不恒为，故不是“函数”；
因为，，，
所以恒成立，故是“函数”．
证明：由为非常值函数，得不恒为．
是常值函数，
恒成立，
恒成立，
为“函数．
所以为“函数；
由设为正常数，
令，，其中为关于的函数，记为，
因此，
故恒成立，
即为常数，
因此，，
又，得，
进而解得，
故．
因此
所以函数
可得函数在上单调递减，在上单调递增．

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