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2025河南省漯河市召陵区高三三模数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
2.若，，则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
、、均为直线；
、是直线，是平面；
是直线，、是平面；
、、均为平面．
其中使“且”成立的个数( )
A. B. C. D.
4.若等边边长为，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率
B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C. 数据，，，的方差是数据，，，的方差的一半
D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
6. 已知向量，满足，，与的夹角为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列，，，，，则是该数列的第几项？( )
A. B. C. D.
8.若方程为表示双曲线，则实数满足( )
A. 或 B. 且
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则有关函数的说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为
10.已知函数，及其导函数，的定义域均为，若，，且为奇函数，则( )
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. D.
11.已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于，两点，且下列说法正确的是( )
A. 与双曲线的实轴长相等
B.
C. 若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为
D. 若，则直线的斜率为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，，分别为，的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有______个．
13.将函数图象上的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，所得图象的对称轴方程为______．
14.已知等比数列的各项都为正数，且当时，，则数列，，，，，，的前项和等于
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，数列的前项和为，且．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别，，，已知且．
求角的大小；
若是的中点，，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，在正方体中，为棱的中点．
求证：；
平面平面C.
18.本小题分
已知函数，．
求证：当时，；
已知函数有个不同的零点，，，
求证：；
求证：是自然对数的底数．
19.本小题分
第二十五届中国国际高新技术成果交易会简称“高交会”在深圳闭幕会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义若极限存在为曲线在点处的曲率其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数
已知抛物线的焦点到准线的距离为，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为若，，是数列的前项和，证明．
参考答案
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14.
15.解：Ⅰ由，，可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则；
由，得，
当时，，可得，
即，则数列是以为首项，以为公比的等比数列．
；
Ⅱ．
则
．
16.解：由且得：，
由正弦定理得，
，，，，
又，，即；
由，得到，
则，化简得，
，当且仅当时，等号成立，
面积，
即面积的最大值为．
17.证明：连结，交于点，连结，
在正方体中，为棱的中点．
，
平面，平面，
．
解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得．
，
平面平面C.
18.证明：当，，，即证，
令，，
令，
则当时，，
所以在上单调递减，
则有当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，
所以成立，
当时，，，
即证，，
令，，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
综上所述，当时，．
，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
又函数有个不同的零点，，，
所以，，
所以，，
令，，
，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，
又因为，，
所以在上单调递减，
所以，
即，
所以．
在处的切线方程与交点的横坐标，
过点和的直线方程与交点的横坐标，
所以，
由取，
则与在轴右侧交点横坐标为，，
所以，
综上所述，．
19.解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
即抛物线方程为，即，则，，
又抛物线在点处的曲率，则，
即在该抛物线上点处的曲率为；
因为，
所以在上为奇函数，又在上为减函数．
所以对于恒成立，等价于对于恒成立．
又因为两个函数都是偶函数，记，，
则曲线恒在曲线上方，，，
又因为，所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，
即；
又因为，，，，
所以，解得：，因此的取值范围为；
由题可得，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
令，得，即，
显然，所以，即；
由，知，同理，
所以，即，
设，即，所以数列是等比数列，
故，即，从而，
所以，所以，
由，
当时，显然；
当时，，
所以，
综上，．

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