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六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷（三）
时间：120分钟 满分:150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则(　 　
A．， B．， C． D．，
2．已知复数,，并且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 ．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是两个随机事件，且，，则下列结论正确的是(　　 )
A． B．
C．若，则与相互独立 D．与有可能是对立事件
5．一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ）
A． B．
C． D．
6．六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）种.
A．348 B．288 C．360 D．60
7．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为
11．已知，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在上是单调函数
C．的图象关于直线对称 D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，且，则 ．
13．甲乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制。如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概为 ．
14．已知函数．若存在实数，使得方程有6个不相等实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含，的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．
（1）求证：；
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
16．（本小题满分15分）
在中，角所对的边分别为，已知，且满足
（1）求角B的大小；
（2）的内心为，求周长的取值范围．
（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求证：无论a取何值，都有两个极值点；
（3）设的极大值点为，极小值点为，求证：.
18．（本小题满分17分）
已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值；
（3）在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，…，是公差为1的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，以此类推．
（1）当，时，求；
（2）求的最小值（用含的代数式表示）；
（3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）．
六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷（三） 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C C A B C ABD BD BCD
12、 13、 14、
6、348解析：①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法，再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法.
②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法.
7、B 解析：依题意则得 ，即，所以,；设，因为，
所以,，解得,；因此；,，可得，结合图象可得，解得.
8、C解析：由，得，，即可得，，
即有，函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，
由反函数性质知，关于对称，则，，，、、错误，..在上单调递增，且，，
.点在直线上，即，
.故正确.
10、BD 解析：设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：
，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；原点到：的距离为，D正确；轨迹图形是平行四边形，面积为，B正确．
11 解析：因为.对于A，因为
，所以的最小正周期为，故A错误；
对于B，因为，
令，可得，其图象开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，且在内单调递增，所以在上是单调函数，故B正确；
对于C，，
所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，因为，
所以函数为周期函数，且是函数的一个周期，
只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，由，
则，
当时，，故，
此时，函数在上单调递增，当时，，，此时，函数在上单调递减，
所以当时，，又因为，则，
则函数的值域为，故D正确.故选：BCD.
14 解析：对于，，对其求导，，
易得，
故函数在单调递减，在单调递增，且．
当时，，如要满足题意，作出其大致图象需如图：
由题得，，．
∵函数的图象和直线有六个交点，∴，，三点的高度应满足或，即或．显然，由三点高度知道，，∴解不等式可得或，综合得．故答案为：．
（1）证明：连接，因为BC是直径，所以，因为 是直径，所以，，所以.
(2)取弧中点，则，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
平面，平面，，又，，
，平面，为平面的一个法向量，又，由平面，可得，又，，解得，此时，2，，，2，，设是平面的一个法向量，
则，取，则，，则是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，取，则，，
则是平面的一个法向量，则平面与平面夹角的余弦值为；
16、解析：（1）由，根据正弦定理，得，由，则，即,而，故，又，所以
（2）由（1）可得，即，设的内心为，即，故.设，则，在中，由正弦定理得，所以，所以的周长为；因为，所以，所以，所以，故的周长取值范围为.
17、（1）函数中，，解得或，所以函数的定义域为.
（2）求导得，
令，由，，得，，因此方程有两个不等实根，显然，当或时，，当或时，，则有两个变号零点，所以函数始终有两个极值点.
（3）由（2）知，，，
，
，
由，得，，
，，，
令，则，令，求导得，函数在上单调递增，，所以.
18、【详解】（1）因为，所以，因为双曲线E渐近线的方程为，所以，解得，，则双曲线的标准方程为．
（2）易知，，如图，设，，直线l的方程为，联立，得，则，，，，得到，故，.
（3）由题可知：，：，下面我们给出示意图，
联立可得：，所以，即，同理．假设在x轴上存在定点满足条件，则，即，则，得到，
，
，
即，解得，则在x轴上存在定点满足条件．
19、(1); (2); (3)
解析：（1）由题可知：，，…，为公差为1的等差数列，故，
，，…，为公差为的等差数列，故， 解得；
（2）由题可知：，，…，为公差为1的等差数列，故；
，，…，为公差为的等差数列，故．
，，…，为公差的等差数列，故．
，又为正整数，故， 即的最小值为；
（3）由题可知：，当时，，，…，是公差为的等差数列， 而，依次类推得 ，，…，，
累加得． 当时，． 当，． 也即．由题，，则， 当时，，仍然满足上式．综上，．

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