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六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷(三)
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则(
A., B., C. D.,
2.已知复数,,并且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3 .已知向量,则( )
A. B. C. D.
4.设是两个随机事件,且,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.若,则与相互独立 D.与有可能是对立事件
5.一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,且.设这组数据的平均数为,中位数为m.下列条件一定能使得的是( )
A. B.
C. D.
6.六安市旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人陪同,则不同的乘船方式共有( )种.
A.348 B.288 C.360 D.60
7.如图,在函数的部分图象中,若,则点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知,,则( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中,已知,动点满足,且,则下列说法正确的是( )
A.动点的轨迹是一个圆 B.动点的轨迹所围成的面积为6
C.动点的轨迹跟坐标轴不相交 D.动点离原点最短距离为
11.已知,则( )
A.的最小正周期为 B.在上是单调函数
C.的图象关于直线对称 D.
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若,且,则 .
13.甲乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制。如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概为 .
14.已知函数.若存在实数,使得方程有6个不相等实数根,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
如图所示,半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中,是半圆弧上(不含,的动点,为圆柱的一条母线,点在半圆柱下底面所在平面内,.
(1)求证:;
(2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.
16.(本小题满分15分)
在中,角所对的边分别为,已知,且满足
(1)求角B的大小;
(2)的内心为,求周长的取值范围.
(本小题满分15分)
已知函数.
(1)求的定义域;
(2)求证:无论a取何值,都有两个极值点;
(3)设的极大值点为,极小值点为,求证:.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线E:的左,右顶点分别为,,,双曲线E渐近线的方程为,过作斜率非零的直线l交E于,直线与直线交于点P,直线与直线交于点Q.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设直线与直线的斜率分别为,,求证为定值;
(3)在x轴上是否存在定点,使得定点恰好在以为直径的圆上,若存在,求出T的坐标;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分17分)
已知为正整数且,为非零实数,数列满足,且,,…,是公差为1的等差数列,,,…,是公差为的等差数列,,,…,是公差为的等差数列,以此类推.
(1)当,时,求;
(2)求的最小值(用含的代数式表示);
(3)记除以的整数部分为,余数为,求的通项公式(用含,,,,的代数式表示).
六安一中2025届高三综合模拟试卷
数学试卷(三) 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C C A B C ABD BD BCD
12、 13、 14、
6、348解析:①若6人乘坐3只船:先将4个大人分成三组有种方法,然后将三组排到3只船有种方法,再将两个小孩排到3只船有种方法,所以共有种方法.
②若6人乘坐2只船:共有种方法,综上共有:种方法.
7、B 解析:依题意则得 ,即,所以,;设,因为,
所以,,解得,;因此;,,可得,结合图象可得,解得.
8、C解析:由,得,,即可得,,
即有,函数与互为反函数,
在同一坐标系中分别作出函数,,的图象,
如图所示,则,,
由反函数性质知,关于对称,则,,,、、错误,..在上单调递增,且,,
.点在直线上,即,
.故正确.
10、BD 解析:设P点坐标为,则由已知条件可得,整理得.
又因为,所以P点坐标对应轨迹方程为.
,且时,方程为;,且时,方程为;
,且时,方程为;,且时,方程为.
P点对应的轨迹如图所示:
,且,所以P点的轨迹为菱形,故A、C错误;原点到:的距离为,D正确;轨迹图形是平行四边形,面积为,B正确.
11 解析:因为.对于A,因为
,所以的最小正周期为,故A错误;
对于B,因为,
令,可得,其图象开口向上,对称轴为,
可知在内单调递增,且在内单调递增,所以在上是单调函数,故B正确;
对于C,,
所以函数的图象关于直线对称,故C正确;
对于D,因为,
所以函数为周期函数,且是函数的一个周期,
只需求出函数在上的值域,即为函数在上的值域,由,
则,
当时,,故,
此时,函数在上单调递增,当时,,,此时,函数在上单调递减,
所以当时,,又因为,则,
则函数的值域为,故D正确.故选:BCD.
14 解析:对于,,对其求导,,
易得,
故函数在单调递减,在单调递增,且.
当时,,如要满足题意,作出其大致图象需如图:
由题得,,.
∵函数的图象和直线有六个交点,∴,,三点的高度应满足或,即或.显然,由三点高度知道,,∴解不等式可得或,综合得.故答案为:.
(1)证明:连接,因为BC是直径,所以,因为 是直径,所以,,所以.
(2)取弧中点,则,以为坐标原点,
以,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系,
平面,平面,,又,,
,平面,为平面的一个法向量,又,由平面,可得,又,,解得,此时,2,,,2,,设是平面的一个法向量,
则,取,则,,则是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,取,则,,
则是平面的一个法向量,则平面与平面夹角的余弦值为;
16、解析:(1)由,根据正弦定理,得,由,则,即,而,故,又,所以
(2)由(1)可得,即,设的内心为,即,故.设,则,在中,由正弦定理得,所以,所以的周长为;因为,所以,所以,所以,故的周长取值范围为.
17、(1)函数中,,解得或,所以函数的定义域为.
(2)求导得,
令,由,,得,,因此方程有两个不等实根,显然,当或时,,当或时,,则有两个变号零点,所以函数始终有两个极值点.
(3)由(2)知,,,
,
,
由,得,,
,,,
令,则,令,求导得,函数在上单调递增,,所以.
18、【详解】(1)因为,所以,因为双曲线E渐近线的方程为,所以,解得,,则双曲线的标准方程为.
(2)易知,,如图,设,,直线l的方程为,联立,得,则,,,,得到,故,.
(3)由题可知:,:,下面我们给出示意图,
联立可得:,所以,即,同理.假设在x轴上存在定点满足条件,则,即,则,得到,
,
,
即,解得,则在x轴上存在定点满足条件.
19、(1); (2); (3)
解析:(1)由题可知:,,…,为公差为1的等差数列,故,
,,…,为公差为的等差数列,故, 解得;
(2)由题可知:,,…,为公差为1的等差数列,故;
,,…,为公差为的等差数列,故.
,,…,为公差的等差数列,故.
,又为正整数,故, 即的最小值为;
(3)由题可知:,当时,,,…,是公差为的等差数列, 而,依次类推得 ,,…,,
累加得. 当时,. 当,. 也即.由题,,则, 当时,,仍然满足上式.综上,.
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