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泉州七中2025届高三年第一阶段模拟考
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号 姓名 考试科目”与考生本人准考证号 姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.某系统通过摄像头识别手势，准确率为.若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A.-1 B.3 C. D.13
5.已知，则（ ）
A. B. C.2 D.3
6.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线的准线上，点在上，若，且，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A.2025 B.2024 C.2023 D.2022
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9.在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A.边上的高为 B.
C. D.边上的中线为
10.已知一组样本数据，若，则下列说法正确的是（ ）
A.该样本数据的上四分位数为
B.若样本数据的方差为，则这组样本数据的平均数为2
C.剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D.若的均值为2，方差为的均值为6，方差为2，则的方差为5
11.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称 和谐 简洁 统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石.也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线经过5个整点（横 纵坐标均为整数的点）
B.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
C.曲线关于直线对称的曲线方程为
D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分 共15分.若有两空，则第一空2分，第二空3分.）
12.若的展开式中的系数是20，则实数的值为__________.
13.已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为__________.
14.从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示）
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.（13分）
已知数列为等差数列，且满足.
（1）若，求数列的前项和；
（2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式.
16.（15分）
甲 乙两人对比进行射击训练，共进行100个回合，每个回合甲 乙各射击一次，甲 乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲击中8环，9环，10环的概率分别为，乙击中8环，9环，10环的概率分别为，且甲 乙两人射击相互独立.记第个回合甲 乙击中的环数分别为.
（1）在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中10环的概率；
（2）中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.根据该定理，设满足的值有个，利用正态分布估计的概率.（结果保留小数点后两位）
附：若，则，.
17.（17分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值.
18.（17分）
已知，函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在零点.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
19.（17分）
已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，分别交轴于，点为该部分图象与轴的交点，且与轴的交点为.将绘有该图象的纸片沿轴折成如图2所示的二面角.折叠后，当二面角的值为时，.
（1）求函数的解析式；
（2）在图2中，的图象上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由；
（3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围.
泉州七中2025届高三年第一阶段模拟考数学试卷
参考答案
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1~4：BDAB 5~8：CDDA
7.【详解】如图，过作于，由抛物线的定义知，
又，则，
设，则，
因为，则，
所以，由于轴，所以，
则，则，
所以，则.
8.【详解】定义在上的函数满足，
取，得，
则，
取，得，
于是，
而，则，当时，，
因此，则，
所以.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9：ABD 10：BC 11：BCD
11.【详解】当时，或2或-2，三个整点，
当无解，共有3个整点，A错误；
由得上往取一点到原点距离，B正确；
曲线上往取一点关于的对称点为，设，
则在曲线上，，C正确；
与曲线一定有公共点与曲线只有一个公共点，，
则或，D正确.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.若有两空，则第一空2分，第二空3分.）
12：6 13：2 14：（或）
14.【详解】设三组中的数的个数分别为，则，
所以，利用隔板法可得：.
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）当时，由，则，由，则，
所以等差数列的公差为，
所以，
故，
故；
（2）当时，
，
当时，，满足上式，
综上所述，所以，
又因为且，所以，
又因为，则，
则等差数列的公差为3，所以，
由，则.
16.解：（1）设在一个回合训练中，乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，甲击中10环为事件，
则，
，
则所求概率为；
（2）由题意100个回合中，满足的值有个，
由（1）知：，
所以，
又，所以，
故，
又，由正态分布的对称性可知，
估计的概率为.
17.解：（1）由题意得，
又点在椭圆上，所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，直线的方程为，
则，
由，得，
所以
则直线的方程为，
令，得
，即，
则，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
18.解：（1）时，，
当时，，函数单调递增，
既无极大值也无极小值，
当时，，函数单调递减，
，函数单调递增，
函数的极小值是，无极大值；
（2）（i）当时，因为函数存在零点，故有解，
若，此时无解，所以有解，
，
①若单调递增，此时不存在零点，
②若，令，
由零点存在定理可知存在，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，
故；
（ii）因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故，
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
，所以，
当时，要证，只需证，
即证，
令，则，
令，故在上为增函数，
故，即在上为增函数，
故，故，即成立.
19.解：（1）由题意，当绘有图象的纸片折叠前有，
于是①
又当二面角的值为时，可得，
于是，②，
联立（1）（2），解得：，所以，
又与轴的交点为，可得，解得（舍）或，所以；
（2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，
又点，
故连线的斜率连线的斜率，
于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2，
因为，故直线一定交的图象于，
②在平面上，过作平行于的交于，连接，
由，且，可得平面平面，
又平面，从而平面，
综上，可确定存在两个点满足条件，即平面；
（3）依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设二面角，
于是，
所以，
设平面的法向量，
于是，取，则，
设平面的法向量，于是，
取，则，
结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为，
令
即，
令，
于是，
易知，该函数为定区间上的单调递增函数，
所以，，二面角的余弦值的取值范围是.

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