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第5章《二次函数》章节测试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
2．若A（0，y1），B（3，y2），C（4，y3）为二次函数y＝（x﹣3）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（　　）
A．b2＞4ac B．a+b+c＞0 C．a﹣b+c＜0 D．abc＞0
4．如图，已知该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，点M（0，n）是y轴上的一点，将点M向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与L只有一个公共点，那么n的取值范围是（　　）
A．n＝﹣4 B．n＝﹣4或0＜n＜5
C．0≤n＜5 D．n＝﹣4或0＜n≤5
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）之间（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：①3a+c＝0；②a＜1：③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中结论正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y＝m2﹣2tm﹣3的最小值为3，则t的值为（　　）
A． B．或 C．或 D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点P在线段CD上移动，点C、D的坐标分别为（﹣1，1）和（3，4）．当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．在整个移动过程中，点A移动的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝ 　 　．
10．若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在x轴上，且不等式﹣x2+bx+c＞m的解集为﹣1＜x＜3，则m的值为 　 　．
11．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点，则t的值为 　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是 　 　．
13．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 　 　．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（2，﹣m），C（3，n），D（4，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　 　．
15．如图，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为 　 　．
16．若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为 　 　．
17．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m的值是　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围．
20．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
21．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣1，0），且顶点为（1，﹣4），解答完成下列问题：
（1）当x＜1时，y随x增大而 　 　（填“增大”或“减小”）；
（2）当0≤x≤3时，y的取值范围是 　 　；
（3）方程ax2+bx+c+3＝0的两个根是 　 　．
22．（8分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
23．（8分）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积；
（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
24．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，
①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°，求点E的坐标；
②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若，求点P的坐标．
26．（10分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3），且其函数表达式可以变形为y＝a（x+1）（x﹣3）的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．
（1）求出点A、点B的坐标和该二次函数的表达式；
（2）连接BC，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点N，直线AP交y轴于点M，连接MN．
①求出直线AP的函数表达式（用含有m的代数式表示）；
②设四边形MNQO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）如图2，若直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点H，直线AP，BP分别交直线l于点E、F．在点P运动的过程中，HF+HE是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，顶点为（3，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故A正确；
B、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故B错误；
C、二次函数y＝a（x﹣3）2+c的对称轴直线x＝3，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣3）2+c的顶点（3，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：A．
2．
【分析】根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为x＝3，根据离对称轴越远，值越大即可求解．
【解答】解：由抛物线解析式y＝（x﹣3）2+m可知，图象开口向上，对称轴为x＝3，
∴离对称轴越远，值越大，
∵A（0，y1）距离对称轴3个单位长度，
B（3，y2）距离对称轴0个单位长度，
C（4，y3）距离对称轴1个单位长度，
∴y2＜y3＜y1，
故选：A．
3．
【分析】由抛物线与x轴交点个数可判断可判断A选项，由图象可得x＝1时y＞0，可判断B选项．由图象可得x＝﹣1时y＜0可判断C选项．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断选项D．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项A正确．
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，选项B正确．
由图象可得x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0，选项C正确．
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，选项D错误．
故选：D．
4．
【分析】先根据题意得出点N的坐标为（5，n），再对n的取值范围进行分类讨论，结合抛物线的性质即可解决问题．
【解答】解：因为点M坐标为（0，n），且点N由点M向右平移5个单位长度得到，
所以点N的坐标为（5，n）．
当n＞0时，
将x＝5代入抛物线的函数解析式，
y＝52﹣4×5＝5，
所以线段MN与L只有一个公共点时，n≤5，
故此时n的取值范围是：0＜n≤5．
当n≤0时，
令y＝0，
则x2﹣4x＝0，
解得x＝0或4，
即抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0），
则此时线段MN与抛物线只有一个交点，此点只能是抛物线的顶点．
因为抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），
所以n＝﹣4，
故此时n的取值为﹣4．
综上所述，n的取值范围是：n＝﹣4或0＜n≤5．
故选：D．
5．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，再利用x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，则3a+c＝0，于是可对①进行判断；由于﹣3≤c≤﹣2，c＝﹣3a，所以﹣3≤﹣3a≤﹣2，解不等式组可对②进行判断；利用x＝1时，二次函数有最小值n，则可对③进行判断；利用直线y＝n与y＝ax2+bx+c只有一个公共点，则直线y＝n+1与y＝ax2+bx+c有两个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＝0，
即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）之间（包含端点），
∴﹣3≤c≤﹣2，
而c＝﹣3a，
∴﹣3≤﹣3a≤﹣2，
∴a≤1，所以②错误；
∵顶点D的坐标为（1，n）．抛物线开口向上，
∴x＝1时，二次函数有最小值n，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
即对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，所以③正确；
∵顶点D的坐标为（1，n）．
∴直线y＝n与y＝ax2+bx+c只有一个公共点，
∴直线y＝n+1与y＝ax2+bx+c有两个公共点，
即关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个实数根，所以④错误．
故选：B．
6．
【分析】由题意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，求得1≤m≤2，再分类求解即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，
解得：1≤m≤2，
当t≥2时，
则m＝2时，y取得最小值，
即4﹣4t﹣3＝3，则t（舍去）；
当t≤1时，
则m＝1时，y取得最小值，
即1﹣2t﹣3＝3，则t；
当1＜t＜2时，
当m＝t时，y取得最小值，
即t2﹣2t2﹣3＝3，
方程无解，
故选：D．
7．
【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x1，
∴1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c．
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③正确，符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴，
解得，
∴yx+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a．
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a．
∴S△QBC4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a．
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④正确，符合题意；
故选：D．
8．
【分析】通过“当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．”可以算出此时抛物线的解析式，由此可找出此时A点所在的位置记为A1，由于在整个运动中保持抛物线的形状与大小不变，即保持a不变，算出抛物线顶点在D点时抛物线的解析式，可以得出此时A点所在的位置记为A2，当P在CD上运动时，A在A1A2上运动，由此可得出结论．
【解答】解：抛物线顶点在点C（﹣1，1）时，故设此时的抛物线解析式为y＝a（x+1）2+1．
∵此时原点（0，0）在抛物线上，
∴有0＝a（0+1）2+1，即a+1＝0，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1．
令y＝0，即﹣（x+1）2+1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝0，
即此时A1点的坐标为（﹣2，0）．
∵保持抛物线的形状与大小不变，即保持a不变，
∴当抛物线顶点运动到点D（3，4）时，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．
令y＝0，即﹣（x﹣3）2+4＝0，
解得x3＝1，x4＝5，
即此时A2点的坐标为（1，0）．
∵抛物线顶点P在线段CD上移动，
∴A点在A1A2上运动，
∴在整个移动过程中，点A移动的距离为1﹣（﹣2）＝3．
故选：C．
二．填空题
9．
【分析】将（2，1）代入y＝ax2﹣bx﹣1得4a﹣2b﹣1＝1，即可求得2a﹣b＝1，代入2024+2a﹣b即可求解．
【解答】解：将（2，1）代入y＝ax2﹣bx﹣1得4a﹣2b﹣1＝1，
∴2a﹣b＝1，
∴2024+2a﹣b＝2024+1＝2025．
故答案为：2025．
10．
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c的顶点在x轴上得出，再根据不等式x2+bx+c＞m的解集为﹣1＜x＜3可以得出x＝﹣1或x＝3是关于x的方程x2+bx+c﹣m＝0的解，然后解方程组即可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴b2﹣4c＝0，
∴，
∵不等式x2+bx+c＞m的解集为﹣1＜x＜3，
∴x＝﹣1或x＝3是关于x的方程x2+bx+c﹣m＝0的解，
，
解得
∴m的值为﹣4，
故答案为：﹣4．
11．
【分析】根据抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点，可得，解得b＝2，即可求得抛物线为y＝﹣x2+2x+4，把A的坐标代入即可求得t的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣2，t）、B（4，t）两点，
∴，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+4，
∴t＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．
【分析】依据题意，设动点运动的时间为t s，从而PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2t cm，故S△PBQBQ PB2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），再结合二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：由题意，设动点运动的时间为t s，
∴PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2t cm，
∴S△PBQBQ PB2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2）．
∴S＝﹣t2+3t＝﹣（t）2，
∴t时，S最大（cm2）．
故答案为：cm2．
13．
【分析】设P（x，﹣x2+x+3），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设P（x，﹣x2+x+3），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为8．
故答案为：8．
14．
【分析】把A，B，D的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），求出a，b，c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【解答】解：点A（0，m），B（2，﹣m），D（4，﹣m）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴，解得，
∴二次函数解析式为：，
∵点C（3，n）在函数图象上，
∴，
∴．
故答案为：
15．
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，设直线y＝x与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，然后解方程组求出点M坐标，求出OM即可．
【解答】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，
设直线y＝x与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，
∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：
联立方程组得：，
解得或，
∴点M坐标为（，），
∴OM，
即OB，
∵对称性，
∴OA＝OB，
∴△OAB的面积为OB2（）2．
故答案为：．
16．
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由函数图象可知，
当x＜1或x＞3时，
二次函数y＝ax2+bx+c的图象在x轴的下方，
所以关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为：x＜1或x＞3．
故答案为：x＜1或x＞3．
17．
【分析】根据题意求得k＝0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y＝0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①过交点（﹣1，0），根据待定系数法，可得m的值；②不过点（﹣1，0），直线与y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切，根据判别式，可得答案．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，
∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，
解得k＞﹣1，
当k取最小整数时，k＝0，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1＝（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．
①因为y2＝x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2＝x+m得﹣1+m＝0 所以m＝1，
②y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）与y＝x+m相切时，图象有三个交点，
﹣（x﹣1）2+4＝x+m，
△＝1﹣4（m﹣3）＝0，
解得m．
故答案为：1或．
18．
【分析】过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，设A（m，m2），B（n，n2），C（x，y），根据四边形OACB是矩形，可得，即可解得y＝x2+2．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，如图：
设A（m，m2），B（n，n2），又C（x，y），
∵四边形OACB是矩形，
∴AB与OC中点重合，AB＝OC，
而AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2，
∴，
消去m、n得：（x2﹣y）＝0，
∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0，
∴y＝x2（舍去）或y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
三．解答题
19．解：（1）由题意设y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，﹣4）代入得﹣4＝﹣8a，
∴a，
∴y（x+2）（x﹣4），
∴二次函数的解析式为yx2﹣x﹣4；
（2）在yx2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4x2﹣x﹣4，
解得x＝0或x＝2；
∴当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2．
20．解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，wmax＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，
故当x＝30时，w有最大值，此时w＝2000．
21．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，
故答案为：减小；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴二次函数方程ax2+bx+c+3＝0的两个根（a≠0）的图象与x轴的另一交点为（3，0），
∵顶点为（1，﹣4），
∴0≤x≤3时，y的取值范围是﹣4≤y≤0，
故答案为：﹣4≤y≤0；
（3）方程ax2+bx+c+3＝0的两个根可以看成是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过与直线y＝﹣3交点的横坐标，
由函数的图象和性质可知，两个函数交点坐标为（0，﹣3）和（2，﹣3），
方程ax2+bx+c+3＝0的两个根是x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
22．解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a，
∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4，
即yx2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1，
∴将＝1代入yx2+2x，
解得：y1.75
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
23．（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵yx2x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x2x+2＝0，
解得：x＝﹣1或x＝4，
∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝1，OC＝4，
∴AB，BC＝5，AC＝2，
∵，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，2），C（4，0），
∴，
解得：
∴直线AC的解析式为：yx+2，
∵点P（m，n）是抛物线yx+2在第一象限部分上的点，PH⊥x轴，
∴P（m，m2m+2），H（m，0），Q（m，m+2），
∴PQm2m+2﹣（m+2）m2+2m，
∵S△OAC OA OC2×4＝4，
S△APCPQ（xC﹣xA）（m2+2m）（4﹣0）＝﹣m2+4m，
∴S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，
∴S＝﹣m2+4m+4，
∴当m＝2时，S四边形OAPC的最大值为8，此时P（2，3），
∴Q（2，1），H（2，0），
∴S△QHC CH QH2×1＝1；
（3）存在，
理由如下：∵yx2x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x，
设M（，t），
由（1）（2）可知，P（2，3），C（4，0），
∴PM2＝（2）2+（3﹣t）2＝t2﹣6t，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（4）2+（t﹣0）2＝t2，
由菱形的对称性可知，若P，C，M，N为顶点的四边形是菱形，
∴△PCM为等腰三角形，
①当PM＝PC时，
t2﹣6t13，
解得：t，
∴M（（，）或（，）；
②当CM＝PC时，
t213，
解得：t＝±，
∴M（，）或（，）；
③当MC＝MP时，
t2﹣6tt2，
解得：t，
∴M（，）；
综上所述，点M坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
24．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（3）设点P的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
S△COE1×3，S△ABP4n＝2n，
∵S△ABP＝4S△COE，
∴2n＝4，
∴n＝3，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P的坐标为（2，3）．
25．解：（1）把A（2，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为yx2﹣x+4；
（2）①在yx2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
∵yx2﹣x+4（x+1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，
∴D与C关于直线x＝﹣1对称，
∴D（﹣2，4），
设E（﹣1，t），
∵∠DEB＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
∵B（﹣4，0），
∴9+t2+1+（t﹣4）2＝20，
解得t＝3或t＝1，
∴E的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，1）；
②设DP交x轴于T，延长CD到K，如图：
∵∠KDP＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠DEC，∠BDP＝45°∠DEC，
∴∠KDB＝∠KDP﹣∠BDP＝90°+∠DEC﹣（45°∠DEC）＝45°∠DEC，
∴∠KDB＝∠BDP，
∵∠KDB＝∠DBT，
∴∠BDP＝∠DBT，
∴DT＝BT，
设T（m，0），
∵D（﹣2，4），B（﹣4，0），
∴（m+2）2+16＝（m+4）2，
解得m＝1，
∴T（1，0），
由D（﹣2，4），T（1，0）得直线DP的解析式为yx，
联立，解得或，
∴P的坐标为（，）．
26．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），其函数表达式可以变形为y＝a（x+1）（x﹣3）的形式，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
把点C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得，3＝a×1×（﹣3），
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵点P为该抛物线在第一象限内的一点，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AP的函数表达式为y＝（﹣m+3）x﹣m+3；
②∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∵PQ⊥x轴于点Q，交BC于点N，
∴N（m，﹣m+3），Q（m，0）
在y＝（﹣m+3）x﹣m+3中，当x＝0时，y＝﹣m+3，
∴M（0，﹣m+3），
∴OM＝NQ，
∵OM⊥x轴，
∴OM∥QN，
∴四边形MNQO是矩形，
∴S＝OQ OM＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m；
即S关于m的函数关系式为S＝﹣m2+3m；
∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m）2，
∴S的最大值为；
（3）HF+HE为定值，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
设直线BP的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得，
∴直线BP的解析式为y＝﹣（m+1）x+3m+3，
∴E（1，﹣2m+6），F（1，2m+2），
∴HF+HE＝﹣2m+6+2m+2＝8，
故HF+HE为定值，定值为8．

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