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第五章《二次函数》 章节测试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
2．若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
3．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．将抛物线y＝x2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣3）2+2
C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x﹣3）2﹣2
5．二次函数y＝﹣2（x+2）2+1图象的对称轴是直线（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中b＞0，c＜0，则该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣1或m＞3 C．﹣1＜m＜3 D．﹣1＜m≤3
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 　 　．
10．已知二次函数y＝3（x﹣2）2，当x＞2时，y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）．
11．在二次函数ax2+bx+c＝0中，x与y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
则下列结论：
①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随着x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，与y轴交于点（0，﹣2），则当y＜﹣2时，x的取值范围是 　 　．
13．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为 　 　秒．
14．抛物线y＝mx2﹣（m2﹣4）x+1与x轴的两个交点关于y轴对称、且开口向下，则m＝　 　．
15．二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 　 　．
16．若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 　 　．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根之和为 　 　．
18．若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　.（用“＜”连接）．
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（8分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上．
20．（8分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
21．（8分）一座拱型桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米，大雨过后，桥下水面宽度EF是12米，求水面上涨了多少米？若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图），可设抛物线的表达式为y＝ax2+c，请你求出此时水面上涨了多少米？
22．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）这个二次函数的解析式是 　 　；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　．
23．（8分）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
24．（8分）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝﹣x+b的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
25．（8分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？
（3）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
26．（8分）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m．
（1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式；
（2）求出篮球在该运动员出手时的高度．
参考答案
一．选择题
1．
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
2．
【分析】分别把x＝﹣1和x＝3代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣4x+k＝1+4+k＝k+5；
当x＝3时，y2＝x2﹣4x+k＝9﹣12+k＝k﹣3，
所以y1＞y2．
故选：A．
3．
【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
4．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣3）2+2，
故选：B．
5．
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，根据抛物线解析式可求二次函数y＝﹣2（x+2）2+1的对称轴．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+2）2+1图象的对称轴是直线x＝﹣2，
故选：D．
6．
【分析】根据二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系进行判断后排除不符合条件的选项即可解决问题．
【解答】解：∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴A、C排除；
∵B中抛物线开口向上，
∴a＞0，
当a＞0，b＞0时，对称轴在y轴左侧，
∴B排除；
∵D中抛物线开口向下，
∴a＜0，
当a＜0，b＞0时，对称轴在y轴右侧，
∴D符合题意，该函数的图象可能是D．
故选：D．
7．
【分析】利用二次函数的性质，可得出当x时y的值随x值的增大而减小，结合“当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小”，即可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2+（m+1）x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x，
∴当x时y的值随x值的增大而减小．
∵当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，
∴，
解得：﹣1＜m≤3，
∴m的取值范围是﹣1＜m≤3．
故选：D．
8．
【分析】根据抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点坐标进行判断．
【解答】解：如图所示，抛物线的开口方向向下，则a＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
综上所述，a＜0，c＞0．
故选：C．
二．填空题
9．
【分析】代入x＝0，求出y值，进而可得出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣（0+2）2+6＝2，
∴抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2）．
故答案为：（0，2）．
10．
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2，a＝3＞0，
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：增大．
11．
【分析】依据二次函数的性质，待定系数法求解析式，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝0，x＝3时，y＝3，
∴
解得：
∴y＝x2﹣2x，
∵c＝0，
∴图象经过原点，故①正确；
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
把x＝﹣1代入得，y＝3，
∴图象经过点（﹣1，3），故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线ax2+bx+c＝0与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
12．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2及抛物线经过点（0，﹣2）可得抛物线经过（4，﹣2），进而求解．
【解答】解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（0，﹣2），
由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，﹣2），
∴当0＜x＜4时，y＜﹣2，
故答案为：0＜x＜4．
13．
【分析】把10代入关系式解方程可求出t．
【解答】解：当h＝10时，15t﹣5t2＝10，
解得t1＝1，t2＝2，
∵小球第一次距离地面10m，
∴t＝1，
故答案为：1．
14．
【分析】抛物线y＝mx2﹣（m2﹣4）x+1与x轴的两个交点关于y轴对称，则一次项系数等于0，开口向下，则二次项系数小于0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：﹣（m2﹣4）＝0且m＜0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．
【分析】根据函数图象中的数据，可以写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
当x＜1或x＞4时，二次函数的图象在一次函数的图象上方，
∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜1或x＞4，
故答案为：x＜1或x＞4．
16．
【分析】有两种情况：①当m＝0时，函数为y＝2x+1，是一条直线则与x轴有一个交点，②当m≠0时，则mx2+2x+1＝0的Δ＝0即可求得．
【解答】解：有两种情况：
①当m＝0时，函数为y＝2x+1，
∵图象为一条直线，与x轴有一个交点，
∴m＝0；
②当m≠0时，y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
令y＝0，则mx2+2x+1＝0，
∴Δ＝4﹣4m＝0，
解得：m＝1，
故答案为：0或1．
17．
【分析】由抛物线的对称轴为x＝1，可得出b＝﹣2a，再根据根与系数的关系即可得出关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为2．
故答案为：2．
18．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据x＜3时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，
A（4，y3））关于直线x＝3的对称点是（2，y3），
∵﹣1＜1＜2＜3，
在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3，．
三．解答题
19．解：（1）把A（﹣2，﹣8）代入线y＝ax2得：﹣8＝4a，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2；
（2）在y＝﹣2x2中，令x＝1得y＝﹣2≠4，
∴点B（1，4）不在此抛物线上．
20．解：（1）∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣8，
把（0，﹣6）代入得：
﹣6＝a（0+1）2﹣8，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：y＝2（x+1）2﹣8；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
21．解：由题意可知抛物线顶点为（0，4），
设抛物线解析式为：y＝ax2+4，
将点B（8，0）代入，得：64a2+4＝0，
解得：a，
∴该抛物线解析式为：yx2+4，
当x＝6时，y36+4，
故水位上涨了米；
如图，连接OB、OF，记EF与OD交点为P，
根据题意知，BCAB＝8m，PFEF＝6m，CD＝4m，
设⊙O半径为r，则OC＝r﹣4，
由OB2＝OC2+BC2，可得r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
∴OC＝6m，
在RT△OPF中，由OF2＝PF2+OP2，得：102＝62+OP2，
解得：OP＝8m，
∴PC＝OP﹣OC＝8﹣6＝2（m）
故此时水面上涨了2米．
22．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣0时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
23．解：（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意得：
（16+x﹣12）（100﹣10x）＝480，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵要尽可能让利于顾客，只能取x＝2，
∴售价应为16+2＝18（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）设每天获得的利润为W，销售价格为x，则：
W＝（x﹣12）[100﹣10（x﹣16）]
＝（x﹣12）（﹣10x+260）
＝﹣10x2+380x﹣3120
＝﹣10（x﹣19）2+490，
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
24．解：（1）∵令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，0），B（3，0），
将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，
1+b＝0，解得b＝﹣1；
（2）方程组，
解得：或，
∴点C坐标为（2，﹣3），
∴△ABC的面积4×3＝6；
（3）根据图象可知，﹣1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值．
25．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
，
∴．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）把y＝0代入函数解析式中可得：，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
由图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，函数图象在x轴的上方，
∴当x＜﹣1或x＞4时y＞0；
（3）∵，
∴当时，y取最小值，
把x＝﹣2代入得：
，
把x＝2代入得：
，
∴当﹣2≤x≤2时，．
26．解：（1）根据题意得：B（0，3.5），A（1.5，3.05），点C的横坐标为﹣2.5．
设y与x满足的函数解析式为y＝ax2+3.5，
把点A（1.5，3.05）代入得：3.05＝1.52a+3.5，
解得：a＝﹣0.2，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.2x2+3.5；
（2）由（1）知y＝﹣0.2x2+3.5，
令x＝﹣2.5，则y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米．

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