资源简介

第7章《相交线与平行线》单元知识点复习题
【题型1 对顶角、邻补角的运用】
1.如图，下列说法正确的是（　　）
A．∠1和∠4互为内错角 B．∠2的同位角只有∠4
C．∠6和∠7互补 D．∠2和∠1互为邻补角
2.数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角
3.如图所示，图中同旁内角的数量共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4.如图，下列说法正确的是（ ）
①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】
1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）
2.若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ．
3.如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是 ．

4.已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【题型3 添加条件判定平行】
1.如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．

3.如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，则一定能判定的条件有 (填写所有正确的序号)．

4.如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（ ）

A． B．
C． D．
【题型4 由平行线的性质求角度】
1.已知，在同一平面内，，，的平分线交直线于点，那么度数为 ．
2.如图，，，求的度数．

3.如图，，，，若，则 ．

4.如图，已知，，，点E在线段上，，点F在直线上，．

(1)图中与相等的角有__________；
(2)若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数．
【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】
1.如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
4.如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】
1.补全证明过程，并在（ ）内填写推理的依据．
已知：如图，于点D，于点G，，
求证：是的角平分线．

证明：∵，
∴（①___________）
∴（②___________）
∴③___________，
（④___________）
∵
∴
∴是的角平分线（⑤___________）
2.请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．
如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．

解：，理由如下：
∵
又∵（______）（邻补角定义）
∴（______）（__________________）
∴（______）（__________________）
∴（__________________）
∵，
∴（______）（__________________）
∴（__________________）
∴（__________________）
3.推理填空：
如图，点D，E，H分别在的边上，连接，过点C作交的延长线于点F且满足；若，．求证：．

证明：∵（已知）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
4.在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点，分别为三角形的边，上的点，点，分别在，上，，，．求证．
证明：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】
1.已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
2.如图，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
3.如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，．
(1)试说明：；
(2)如图2，连接，已知，．
①当时，，求的度数；
②若，则__________．（用含m的代数式表示）
4.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，且是直角三角形，，操作发现：
（1）如图1．若，求的度数；
（2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由．
（3）如图3，若∠A=30°，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由．
【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】
1.如图， ，连接，E是直线上的一点，．

(1)判断与平行吗？为什么？
(2)若，，则是否平分？请说明理由．
2.已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF．

3.如图，已知．求证：

(1)
(2)
4.点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．
(1)如图，当点在右侧时，求证：；
(2)如图，当点在左侧时，求证：；
(3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少．
参考答案
【题型1 对顶角、邻补角的运用】
1.D
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．
【详解】A、∠1和∠4互不是内错角，故此选项错误；
B、∠2的同位角不是只有∠4，还有几个，如∠5也是，故此选项错误；
C、∠6和∠7不一定互补，只有c∥d才互补，故此选项错误；
D、∠2和∠1互为邻补角，故此选项正确；
故选：D．
2.D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
3.C
【分析】根据同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：直线、被射线所截，可以得到两对同旁内角，与，与；
直线、射线被直线所截，可以得到两对同旁内角，与，与；
直线、射线被直线所截，可以得到一对同旁内角，与；
因此共有5对同旁内角，
故选：C．
4.C
【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可．
【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误；
两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确；
两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误；
综上，正确的为，
故选：C．
【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】
1.（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°．
（3）设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°-x，
∴∠BOF=90°﹣x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，
解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，
当x=（）°+α°时，
∠AOC=2x=（）°+α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；
当x=（）°﹣α°时，
∠AOC=2x=（）°﹣α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．
2.145
【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案．
【详解】解：的余角是，，
，
的邻补角是，
，
的对顶角是，
，
故答案为：145．
3.120
【分析】根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解．
【详解】，与的度数之比为，
，
直线、相交于点，
，
，
，
故答案为：120．
4.解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【题型3 添加条件判定平行】
1.B
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、∵，根据内错角相等，两直线平行可得，故该选项不符合题意；
B、根据，不能判断直线，故该选项符合题意
C、∵，根据同位角相等，两直线平行可得，故该选项不符合题意；
D、∵，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故该选项不符合题意；
故选：B．
2.（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案．
【详解】解：根据平行线的判定定理可得：
；；都可判断，
故答案为：（答案不唯一）
3.①③④
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断．
【详解】解：①若，根据同旁内角互补，两直线平行可得，符合题意；
②若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
③若，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；
④若，根据同位角相等，两直线平行可得，符合题意；
⑤若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意；
故答案为①③④．
4.D
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：、平分，，
，故不符合题意；
、，
平分
，故不符合题意；
、，
平分
，故不符合题意；
、，
不能判断，故符合题意，
故选：．
【题型4 由平行线的性质求角度】
1.或
【分析】画出相应的简图，再利用平行线的性质及角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
综上所述，的度数为：或．
故答案为：或．
2.解：，，
，
又，
，
的度数为．
3.
【分析】由平角关系可求得，过点H作，则，由平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：．

4.（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
；
与相等的角为，，；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①如图a，当点C在线段上时，点F在的延长线上，此时，
，
；
②如图b，当点C在的延长线上时，点F在线段上．
，，
，
综上所述，的度数为或．


【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】
1.B
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
设，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
综上，①②正确，共2个，
故选：B．
2.D
【分析】结合已知条件，利用平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，故A选项结论正确，不合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故B选项结论正确，不合题意；
∴，
又∵，
∴，，
∴，故C选项结论正确，不合题意；
∵，不一定等于，
∴现有条件无法推出，故D选项结论不正确，符合题意；
故选D．
3.D
【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．
【详解】∵，
∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，
，
∴，
故①②正确；
∴ 与不一定相等，
由题意可知，
∴与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴与是等底等高的三角形，
∴，
∴，
故④正确，
∴①②④正确．
故选：D．
4.C
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵，
∴，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
要使，就要使且，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：C．
【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】
1.证明：∵，，
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等、两直线平行），
∴ ，
（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴是的角平分线（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等、两直线平行, ，两直线平行，内错角相等，角平分线的定义．
2.解：，理由如下：
∵
又∵ （邻补角定义）
∴ （同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ （等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
3.证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
故答案为：；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；．
4.解：证明：，
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
，
，
，
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
（垂线的定义）
【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】
1.证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
2.（1），
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，，
，
，
，
，
．
3.（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）①∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：
4.解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，
∴∠3=180°-∠BCA -∠1=180°-90°-48°=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B作BD∥a．如图2所示：
则∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC -∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C 作CP∥a，如图3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，
又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA -∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】
1.（1），
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）平分，理由如下：
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴平分．
2.证明：∵∠BAP+∠APD =180°
∴AB∥CD
∴∠BAP=∠CPA
∵∠1 =∠2
∴∠BAP-∠1=∠CPA -∠2，即∠EAP=∠FPA
∴AE∥PF
3.（1）证明： （已知）
（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）)
（2） （已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
，
，
（等式的性质）
4.（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作，交于点，如图，
由（1）可知：，
，
，，
，
；
（3）解：设，
则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．

展开更多......

收起↑